喻力華,陳昌勝,劉書龍,項林川

(華中科技大學,湖北武漢 430074)

用Matlab軟件模擬振動實驗

喻力華,陳昌勝,劉書龍,項林川

(華中科技大學,湖北武漢 430074)

采用Matlab軟件求解簡諧振動、阻尼振動與受迫振動的微分方程,通過得到的位移-時間關(guān)系,來分析不同振動方式的物理特征。

Matlab軟件;簡諧振動;阻尼振動;受迫振動

振動是“大學物理”課程中的一個重要教學內(nèi)容,在實際的課堂教學中通常采用一些演示實驗來說明所涉及的物理概念,例如用關(guān)聯(lián)單擺來演示共振現(xiàn)象,但某些重要的振動特性卻較難通過實驗來清晰地演示,如阻尼力對共振條件的影響等。由于振動的許多特征是由運動微分方程的解在不同參數(shù)的情況下表現(xiàn)出來的,而在“大學物理”課程中通常直接給出物體振動的位移表達式,因此,為了較清晰地演示和說明振動的特點,本文采用Matlab數(shù)學軟件中的符號數(shù)學工具箱(SymbolicMathToolbox)求解振動微分方程,并且利用軟件的作圖功能直觀地將振動的位移-時間關(guān)系顯示出來,從而清晰地展示了許多振動的物理特征,這種方法是課堂演示實驗的一種很好的補充。

1 振動微分方程的求解

以機械振動為例,物體振動微分方程的一般形式為[1]:

式中:x為物體的位移,t為時間,ω0為振動的固有圓頻率,β為阻尼因子,反映阻尼力的大小(由阻尼系數(shù)和振子質(zhì)量決定),h反映外強迫力的大小(由外強迫力振幅和振子質(zhì)量決定),ω為周期性外強迫力的圓頻率。若h=0,則為阻尼振動;若h=0,β=0,則為簡諧振動;若h≠0,β≠0,則為受迫振動。

利用Matlab軟件求解上述微分方程的語句如下[2]:

2 簡諧振動與阻尼振動

當h=0時,β2＜ω20為弱阻尼振動;β2＞ω20為過阻尼振動,β2=ω20為臨界阻尼振動,β=0為簡諧振動。如圖1所示,(a)為簡諧振動,其他為弱阻尼振動。可以看出,簡諧振動的振幅不變,而當阻尼因子增大時,弱阻尼振動的振幅隨時間衰減得更快,并且從圖中還可看出阻尼力的增大導(dǎo)致振動周期增大,這一特征很難通過實驗演示。圖2為弱阻尼、臨界阻尼和過阻尼振動的比較,可以看出,臨界阻尼和過阻尼振動由于阻尼力太大,使振子無法完成一次振動,只能逐漸趨近平衡位置。從圖中可以清楚地看出,臨界阻尼使振子最快回到平衡位置,因此在需要使振動盡快停止的實驗裝置中(如天平、電表表頭),應(yīng)該采用臨界阻尼。

圖1 簡諧振動與弱阻尼振動

3 受迫振動

圖3、圖4分別為外強迫力頻率小于和大于固有振動頻率時的受迫振動。由于受迫振動的解由兩項組成[1],其中一項振幅隨時間指數(shù)衰減,在阻尼力很小的情況下,其頻率主要由固有振動頻率決定,另一項為振幅不變的簡諧振動形式,其頻率為外強迫力頻率。可以看出,在兩種外強迫力頻率的情況下,經(jīng)過一段時間,振動均逐漸趨近于外強迫力頻率的簡諧振動形式。圖5為外強迫力頻率等于固有振動頻率的情況,由于阻尼力較小(β=0.1s1),根據(jù)振幅共振外強迫力頻率需滿足的條件[1]:

因此出現(xiàn)了明顯的共振現(xiàn)象,其穩(wěn)定振動的振幅明顯大于圖3、圖4的情況。

圖3 受迫振動

圖2弱阻尼、臨界阻尼和過阻尼振動

圖4 受迫振動

圖5 弱阻尼情況下的共振

圖6為阻尼力較強情況下的共振。顯然,由于阻尼因子較大,指數(shù)衰減項很快趨近于零,因此振動很快過渡為簡諧振動的形式。根據(jù)(2)式,外強迫力圓頻率ω=1s-1時滿足振幅共振條件,這時的穩(wěn)定振動振幅明顯大于外強迫力圓頻率等于固有振動頻率的情況。

圖6 強阻尼情況下的共振

4 總 結(jié)

通過以上討論可以看出,利用Matlab軟件求解振動微分方程,可以很容易地獲得振動的一些基本特征,并可方便地修改相關(guān)參數(shù)來觀察振動的變化,因此這種方法特別適合用于教學演示。

[1]張三慧.大學物理學[M].北京:清華大學出版社,1999.

[2]D.Hanselman,B.Littlefield.精通Matlab綜合輔導(dǎo)與指南[M].李人厚,張平安,譯.西安:西安交通大學出版社,1998.

Simulate the Oscillation Experiment by Matlab Soft ware

YU Li-hua ,CHEN Chang-sheng ,LIU Shu-long ,XIANG Lin-chuan

( Huazhong University of Science and Technology , Hubei ,Wuhan 430074)

:Using Matlab softw are the differential equations of simp le harmonic oscillation、damped os-cillation and forced oscillation are solved,the physical charactersof different oscillation modes are ana-lysed by the obtained relations betw een the disp lacement and time.

Matlab software;simple harmonic oscillation;damped oscillation;forced oscillation

O411.3

A

1007-2934(2011)03-0079-03

2010-10-17