喻力華,陳昌勝,劉書龍,項林川

(華中科技大學(xué),湖北武漢 430074)

用Matlab軟件模擬振動實驗

喻力華,陳昌勝,劉書龍,項林川

(華中科技大學(xué),湖北武漢 430074)

采用Matlab軟件求解簡諧振動、阻尼振動與受迫振動的微分方程,通過得到的位移-時間關(guān)系,來分析不同振動方式的物理特征。

Matlab軟件;簡諧振動;阻尼振動;受迫振動

振動是“大學(xué)物理”課程中的一個重要教學(xué)內(nèi)容,在實際的課堂教學(xué)中通常采用一些演示實驗來說明所涉及的物理概念,例如用關(guān)聯(lián)單擺來演示共振現(xiàn)象,但某些重要的振動特性卻較難通過實驗來清晰地演示,如阻尼力對共振條件的影響等。由于振動的許多特征是由運動微分方程的解在不同參數(shù)的情況下表現(xiàn)出來的,而在“大學(xué)物理”課程中通常直接給出物體振動的位移表達(dá)式,因此,為了較清晰地演示和說明振動的特點,本文采用Matlab數(shù)學(xué)軟件中的符號數(shù)學(xué)工具箱(SymbolicMathToolbox)求解振動微分方程,并且利用軟件的作圖功能直觀地將振動的位移-時間關(guān)系顯示出來,從而清晰地展示了許多振動的物理特征,這種方法是課堂演示實驗的一種很好的補(bǔ)充。

1 振動微分方程的求解

以機(jī)械振動為例,物體振動微分方程的一般形式為[1]:

式中:x為物體的位移,t為時間,ω0為振動的固有圓頻率,β為阻尼因子,反映阻尼力的大小(由阻尼系數(shù)和振子質(zhì)量決定),h反映外強(qiáng)迫力的大小(由外強(qiáng)迫力振幅和振子質(zhì)量決定),ω為周期性外強(qiáng)迫力的圓頻率。若h=0,則為阻尼振動;若h=0,β=0,則為簡諧振動;若h≠0,β≠0,則為受迫振動。

利用Matlab軟件求解上述微分方程的語句如下[2]:

2 簡諧振動與阻尼振動

當(dāng)h=0時,β2＜ω20為弱阻尼振動;β2＞ω20為過阻尼振動,β2=ω20為臨界阻尼振動,β=0為簡諧振動。如圖1所示,(a)為簡諧振動,其他為弱阻尼振動。可以看出,簡諧振動的振幅不變,而當(dāng)阻尼因子增大時,弱阻尼振動的振幅隨時間衰減得更快,并且從圖中還可看出阻尼力的增大導(dǎo)致振動周期增大,這一特征很難通過實驗演示。圖2為弱阻尼、臨界阻尼和過阻尼振動的比較,可以看出,臨界阻尼和過阻尼振動由于阻尼力太大,使振子無法完成一次振動,只能逐漸趨近平衡位置。從圖中可以清楚地看出,臨界阻尼使振子最快回到平衡位置,因此在需要使振動盡快停止的實驗裝置中(如天平、電表表頭),應(yīng)該采用臨界阻尼。

圖1 簡諧振動與弱阻尼振動

3 受迫振動

圖3、圖4分別為外強(qiáng)迫力頻率小于和大于固有振動頻率時的受迫振動。由于受迫振動的解由兩項組成[1],其中一項振幅隨時間指數(shù)衰減,在阻尼力很小的情況下,其頻率主要由固有振動頻率決定,另一項為振幅不變的簡諧振動形式,其頻率為外強(qiáng)迫力頻率?？梢钥闯?在兩種外強(qiáng)迫力頻率的情況下,經(jīng)過一段時間,振動均逐漸趨近于外強(qiáng)迫力頻率的簡諧振動形式。圖5為外強(qiáng)迫力頻率等于固有振動頻率的情況,由于阻尼力較小(β=0.1s1),根據(jù)振幅共振外強(qiáng)迫力頻率需滿足的條件[1]:

因此出現(xiàn)了明顯的共振現(xiàn)象,其穩(wěn)定振動的振幅明顯大于圖3、圖4的情況。

圖3 受迫振動

圖2弱阻尼、臨界阻尼和過阻尼振動

圖4 受迫振動

圖5 弱阻尼情況下的共振

圖6為阻尼力較強(qiáng)情況下的共振。顯然,由于阻尼因子較大,指數(shù)衰減項很快趨近于零,因此振動很快過渡為簡諧振動的形式。根據(jù)(2)式,外強(qiáng)迫力圓頻率ω=1s-1時滿足振幅共振條件,這時的穩(wěn)定振動振幅明顯大于外強(qiáng)迫力圓頻率等于固有振動頻率的情況。

圖6 強(qiáng)阻尼情況下的共振

4 總 結(jié)

通過以上討論可以看出,利用Matlab軟件求解振動微分方程,可以很容易地獲得振動的一些基本特征,并可方便地修改相關(guān)參數(shù)來觀察振動的變化,因此這種方法特別適合用于教學(xué)演示。

[1]張三慧.大學(xué)物理學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,1999.

[2]D.Hanselman,B.Littlefield.精通Matlab綜合輔導(dǎo)與指南[M].李人厚,張平安,譯.西安:西安交通大學(xué)出版社,1998.

Simulate the Oscillation Experiment by Matlab Soft ware

YU Li-hua ,CHEN Chang-sheng ,LIU Shu-long ,XIANG Lin-chuan

( Huazhong University of Science and Technology , Hubei ,Wuhan 430074)

:Using Matlab softw are the differential equations of simp le harmonic oscillation、damped os-cillation and forced oscillation are solved,the physical charactersof different oscillation modes are ana-lysed by the obtained relations betw een the disp lacement and time.

Matlab software;simple harmonic oscillation;damped oscillation;forced oscillation

O411.3

A

1007-2934(2011)03-0079-03

2010-10-17