董化玲，董立華，劉艷芹

(德州學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 德州 253023）

二重積分的“變量替換”問題*

董化玲，董立華，劉艷芹

(德州學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 德州 253023）

二重積分的概念和計(jì)算是多元函數(shù)微積分學(xué)的一個重點(diǎn)，變量替換法是計(jì)算二重積分的重要方法.新變量的選取是否恰當(dāng)是簡化積分運(yùn)算的關(guān)鍵.結(jié)合例題，從簡化被積函數(shù)及積分區(qū)域方面較詳細(xì)地介紹了新積分變量的選取方法.

二重積分;積分變量;變量替換

多元函數(shù)微積分學(xué)在幾何、物理和力學(xué)等方面都有著重要的應(yīng)用，熟練掌握二重積分的計(jì)算是教學(xué)大綱的基本要求之一.二重積分的計(jì)算關(guān)鍵在于掌握方法和技巧，有些二重積分的被積表達(dá)式很復(fù)雜，積分難以算出;有些二重積分的區(qū)域較復(fù)雜難以按一定的方法和步驟化成兩次定積分，這時采用變量替換法會使問題簡化.但教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往不知何時用變量替換，或者不會替換，或者對相應(yīng)的積分區(qū)域想像不出.作者就該問題的解決，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談幾點(diǎn)看法.

1 變量替換與“條件反射”

定理1［1］設(shè)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上可積，變換T:x=x(u，v)，y=y(u，v)將uv平面由按段光滑封閉曲線圍成的閉區(qū)域Δ一對一的映成xy平面的閉區(qū)域D，函數(shù)x(u，v)，y(u，v)在Δ內(nèi)都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，其函數(shù)行列式為:

則:

式(1)叫做二重積分的變量替換公式.

在式(1)中我們看到積分區(qū)域從xy平面的D變成了uv平面的Δ，這里的兩個平面都是直角坐標(biāo)平面.但當(dāng)變換為

2 新積分變量的選取原則

在二重積分的變量代換中，新的積分變量的選取是很關(guān)鍵的，選取不合適可能使積分更加復(fù)雜.

2.1 根據(jù)被積函數(shù)選取積分變量使被積函數(shù)簡化

在二重積分中，如果被積函數(shù)比較復(fù)雜，我們可選取簡化函數(shù)的方法.

分析:被積函數(shù)中含有x+y，x－y，為了簡化被積函數(shù)，可作變換u=x－y，v=x+y.

2.2 根據(jù)積分區(qū)域選擇積分變量使積分區(qū)域易于定限

在二重積分中，有時積分區(qū)域很復(fù)雜，無法將二重積分化作二次積分，這時選擇合適的積分變換可將積分區(qū)域簡化.在選擇新積分變量時，一般將積分區(qū)域的邊界曲線化為

的形式，則令f(x，y)=u，g(x，y)=v，可將積分區(qū)域化為矩形a≤u≤b，c≤v≤d或者將復(fù)雜的區(qū)域邊界化為簡單的邊界曲線.

例3 計(jì)算由橢圓(a1x+b1y+c1)2+(a2x+b2y+c2)2=1(a1b2－a2b1≠0)所圍圖形的面積.

區(qū)域D變?yōu)榉e分區(qū)域Δ:u2+v2≤1，因此所求面積為:

2.3 根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域選擇積分變量

1)當(dāng)被積函數(shù)和積分區(qū)域都比較復(fù)雜時，應(yīng)二者兼顧，當(dāng)二者矛盾時，優(yōu)先考慮困難大一些的［3］

例4 計(jì)算二重積分:

總之，二重積分的變量替換靈活多變，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)時，應(yīng)認(rèn)真掌握這些技巧和方法.

［1］華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析［M］.第4版.北京:高等教育出版社，2006.

［2］陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析［M］.第2版.北京:高等教育出版社，2004.

［3］裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法［M］.北京:高等教育出版社，1993.

［4］郭曉梅.極坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算方法淺析［J］.科技信息，2008，(31):221.

［5］汪皎月.重積分計(jì)算的教學(xué)補(bǔ)充［J］.黔東南民族師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2006，24(6):12－13.

The Study on Variable Substitution of Double Integral

DONG Hua－ling，DONG Li－h(huán)ua，LIU Yan－qin

(Dept.of Math，Dezhou University，Dezhou Shandong 253023，China)

The concept and calculation of the double integral is one of the focuses of the multivariate function calculus，and the variable substitution method is an important method to calculate the double integral.Selecting appropriate new variable is the key to simplify integral computation.In this paper，method for selecting new integral variable is illustrated by examples through simplifying of the integrand and the integral area.

double integral;integral variable;variable substitution

O 172.2

A

1673－2103(2011)02－0119－04

2011－02－21

山東省教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(2010JZ123).

董化玲(1962－)，女，山東陵縣人，副教授，研究方向:函數(shù)論.