劉 軒

（韓山師范學院基礎(chǔ)教育師資系,廣東潮州 521041）

Lurie時滯系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的時滯相關(guān)條件

劉 軒

（韓山師范學院基礎(chǔ)教育師資系,廣東潮州 521041）

討論了具有控制時滯的Lurie系統(tǒng)在非線性項滿足有限扇形區(qū)域條件下的絕對穩(wěn)定性．依據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，構(gòu)造一個適當?shù)腖yapunov泛函，利用線性矩陣不等式的方法，通過一個積分不等式獲得了系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的時滯相關(guān)條件．并應用Schur補引理將以上結(jié)果推廣到了具有范數(shù)有界的不確定Lurie時滯系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)魯棒絕對穩(wěn)定的時滯相關(guān)的充分條件．通過算例驗證了本文結(jié)果的有效性.

Lurie控制系統(tǒng)；絕對穩(wěn)定；時滯相關(guān)；線性矩陣不等式

1 引言與預備

Lurie控制系統(tǒng)是一類非常典型的非線性系統(tǒng)，其非線性項被約束在有限或無限的扇形區(qū)域內(nèi)，它的絕對穩(wěn)定性研究受到了許多學者的關(guān)注[1-3]．2002年，馮俊濤、年曉紅[4]應用Lyapunov泛函方法討論了具有結(jié)構(gòu)參數(shù)擾動和范數(shù)擾動界的不確定滯后型Lurie直接控制系統(tǒng)和間接控制系統(tǒng)的魯棒絕對穩(wěn)定性，給出了系統(tǒng)絕對魯棒穩(wěn)定性的充分條件．2004年，Wu[5-6]等對固定模型變換的方法進行了推廣，提出自由權(quán)矩陣的的方法，得到了系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的時滯相關(guān)條件．2005年，陳東彥，劉偉華[7]考慮了多時滯Lurie控制系統(tǒng)，利用Lyapunov穩(wěn)定性方法并結(jié)合Moon引理,得到了多時滯Lurie控制系統(tǒng)的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性判別條件．2008年，文獻[8]對具有非線性干擾項的多時滯Lurie控制系統(tǒng)，通過一個改進的新積分不等式,給出了一個判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯相關(guān)條件．

本文利用Lyapunov-Krasovskil穩(wěn)定性定理，引入了自由權(quán)矩陣，并利用了一個新的積分不等式獲得了判斷具有控制時滯的Lurie系統(tǒng)及具有范數(shù)有界的不確定Lurie時滯系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的時滯相關(guān)條件.這些條件均以線性矩陣不等式的形式給出，可以利用matlab工具箱進行方便求解．

引理1[7]（Schur補引理）假設(shè)對稱矩陣的分塊可以表示為

其中，Z∈Rn×n，W∈Rm×m和Y∈Rn×m，則以下兩個結(jié)論等價

（1）W是非奇異的，則F＞0的充分必要條件是W＞0且Z-YW-1YT＞0.

（2）W是非奇異的，則F＞0的充分必要條件是Z＞0且W-YTZ-1Y＞0.

引理2[9]（S-程序） 設(shè)Fi∈Rn×n， (i=0,1,2,…,p)是對稱矩陣，如果存在實數(shù)τi≥0，(i=0,1,2,…,p)使得

那么，對于Fi(i=0,1,2,…,p)，對任意的ξ≠0,ξ∈Rn，若ξTFiξ≥0成立，則有ξTF0ξ≥0.

引理3[13]對于給定的矩陣Z(x)=ZT(x)和適當維數(shù)的矩陣H,L，如果對于任意的F滿足FTF≤I，則Z+HFL+LTFTHT＜0成立的充要條件是存在ε＞0，使得Z+εHHT+ε-1LTL＜0.

引理4[8]設(shè)x(t)為Rn上具有連續(xù)一階導數(shù)的向量函數(shù)，則對任意的正定矩陣W∈Rn×n和任意的h＞0，有下列積分不等式成立：

2 主要結(jié)果

3 仿真示例

利用MATLAB解LMI（3）可得τ＜0.9015，而在文獻[10-12]中，該系統(tǒng)時滯界分別為：τ＜0.3053,τ＜0.3230,τ＜0.7128.由于本文提高了系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯界，因此本文結(jié)果具有更好的有效性和較小的保守性.

[1]GAO Z X,HAN J Q.Lyapunov function of general Lurie systems with multiple nonlinearities[J].Applied Mathematics Letters,2003，16（l）：119-126．

[2]GAO JIN-FENG,SU HONG-YE,JI XIAO-FU,et al.New delay-dependent absolute stability criteria for Lurie control systems[J].Acta Automatica Sinica,2008,34（10）：1275-1280．

[3]王玉紅，包俊東．一類非線性時滯Lurie控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性[J]．內(nèi)蒙古師范大學學報，2007，36（1）：30-34．

[4]馮俊濤，年曉紅．不確定滯后型Lurie控制系統(tǒng)的魯棒絕對穩(wěn)定性-LMI方法[J]．長沙鐵道學院學報，2002，20（2）：37-42．

[5]WU M,HE Y.Delay-dependent criteria for robust stability of time-varying delay systems[J].Automatica,2004，40（8）：1435-1439.

[6]WU M,HE Y,LIU G P,et al.On absolute stability of Lurie control systems with multiple nonlinearities[J].European Journal of Control,2005，11（l）：19-28．

[7]陳東彥，劉偉華．多時滯Lurie控制系統(tǒng)的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性[J]．控制理論與應用，2005，22（3）：499-502.

[8]趙崢嶸，王偉，楊斌．多時滯非線性Lurie控制系統(tǒng)時滯相關(guān)絕對穩(wěn)定性[J]．大連理工大學學報，2008，48（5）：759-764.

[9]WU M,HE Y,SHE J H,et al.Robust stability for delay Lurie control systems with multiple nonlinearities[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2005，12（4）：371-380．

[10]年曉紅．Lurie控制系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的時滯相關(guān)條件[J]．動化學報，1999，25（4）：564-566．

[11]徐炳吉，廖曉昕．Lurie控制系統(tǒng)的時滯相關(guān)絕對穩(wěn)定性判據(jù)[J]．自動化學報，2002，28（2）：317-320．

[12]田俊康，鐘守明．具有控制時滯的滯后型Lurie控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性判據(jù)[J]．魯東大學學報，2006，22（3）:180-182.

[13]廖曉昕．穩(wěn)定性的理論、方法和應用[M]．武漢：華中科技大學出版社，1999：236-256．

DELAY-DEPENDENT CONDITIONS FOR THE ABSOLUTE
STABILITY OF LURIE CONTROL SYSTEMS WITH TIME DELAYS

LIU Xuan
（Department of Basic Education,Han Shan Normal University,Chaozhou 521041,china）

The absolute stability of Lurie systems with control time-delays and finite sector-bounded nonlinearity is discussed.Based on Lyapunov stability theory,by constructing a suitable Lyapunov-krasovskii functional and with linear matrix inequality(LMI)as research means,delay-dependent conditions of the absolute stability for Lurie systems are obtained by an integral inequality.Then,using Schur complement lemma,delay-dependent sufficient condition for the absolute stability of uncertain time-delays Lurie control system with norm bounded is obtained by extending above result.

Lurie control system；absolute stability；delay-dependent；linear matrix inequality（LMI）

O231.2

A

1007-6883(2011)06-0029-05

2011-09-19

劉 軒（1983-），女，遼寧本溪人，韓師師范學院基礎(chǔ)教育師資系教師.

責任編輯 朱本華