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        一種積分因子的存在定理及應(yīng)用

        2011-12-20 03:49:24張若峰
        城市建設(shè)理論研究 2011年23期

        張若峰

        摘要本文給出了微分方程 的一種積分因子的定義,得出了這

        種積分因子存在的充要條件和計(jì)算公式。

        關(guān)鍵詞積分因子;通積分;全微分方程

        An Existence Theorem of Integral Factor and Application

        Zhang Ruofeng

        (Tianshui Norm college, Tianshui Gansu 741001)

        Abstract: This paper gives an existence theorem of integral defination, and finally gets the necessary and sufficient condition and fomula of the subject.

        ? Key Words: integral factor, application, total differential equation

        一引言

        由于全微分方程計(jì)算方便和簡(jiǎn)單,因此尋求微分方程)(1)

        , (1)

        的積分因子 ,使得微分方程(2)

        (2)

        成為全微分方程,使問題得以有效且簡(jiǎn)便解決。對(duì)一些特殊結(jié)構(gòu)的積分因子,如 中僅含 或 ,或者型等,已經(jīng)得到了判別定理和求積分因子 的計(jì)算公式(詳見文 )。本文主要對(duì)積分因子 中既含 又含 的比較復(fù)雜的一種情形,給出定義和判定定理,并建立積分因子的計(jì)算公式。

        二主要結(jié)果

        定義 1若連續(xù)可微函數(shù),(x,y) ,使方程(2)為全微分方程,則 稱為方程(1)的積分因子。

        定義2若方程(1)積分因子 為

        = ,(x,y)(3)

        則稱 為復(fù)合型積分因子(這里 為連續(xù)函數(shù))

        引理 方程(2)為全微分方程的充要條件是

        (x,y) (4)

        定理若方程(1)滿足 ,(x,y) ,則方程(1)存在復(fù)合型積分因子 = 的充要條件是存在連續(xù)函數(shù) ,使得

        (5)

        并且,積分因子 由下式確定

        = ,(6)

        (6)式中的 由(5)給出。

        證明必要性:由引理,積分因子 滿足

        (7)

        將 = 代入(7)整理后得

        (8)

        由 可得

        (9)

        所以有

        (10)

        取一元函數(shù) ,由(10)得知(5)式的正確性。

        再證明充分性:取二元函數(shù) 滿足

        = , (11)

        式中 由(5)使給出。下面證明 為方程(1)的積分因子。

        (12)

        (13)

        (13)減(12),并利用(5)得

        推論 方程(1)有復(fù)合型積分因子 的充分必要是存在連續(xù)函數(shù) ,滿足

        并且積分因子為

        證明取 ,由定理即知結(jié)論的正確性。

        容易看出,當(dāng)取 時(shí),是一般文獻(xiàn)中所介紹的存在 型積分因子的條件。

        三應(yīng)用

        例求方程 的通解。(14)

        解這里 ,所以有

        (15)

        取 (16)

        將(15),(16)代入(5)式左端得

        (17)

        因此取(18)

        由(17),(18)式可知,定理中條件(5)成立.根據(jù)定理,方程(14)具有復(fù)合型積分因子 ,經(jīng)計(jì)算得

        =(19)

        所以,方程(14)可化為全微分方程

        =0(20)

        =

        = +

        故得原方程通解為:

        = , 為任意常數(shù)。

        參考文獻(xiàn)

        1 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。常微分方程 。高等教育出版社,2001,12,35~45

        2 王高雄等編。常微分方程 。北京:高等教育出版社,1984,3,44~49

        Existence Theorem of a Integrating Factor and its Application

        Zhangruofeng

        (Department of Mathematics and statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu )

        AbstractThis paper give the definition of a integrating factor about differential equation,then obtains thenecessary and sufficient condition of the existence of the integrating factor and its calculating formula..

        Key WordsComplex integrating factor;General integral;Fully differential equation

        注:文章內(nèi)所有公式及圖表請(qǐng)以PDF形式查看。

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