付莉婭

摘要：函數(shù)概念是初中數(shù)學(xué)的主要概念之一，函數(shù)思想貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容．函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)最終目的是對函數(shù)思想的領(lǐng)悟和掌握，而學(xué)習(xí)過程中函數(shù)思想方法的滲透，又可以加深對函數(shù)概念的理解．

關(guān)鍵詞：函數(shù)；函數(shù)概念；函數(shù)思想方法

Teaching strategy on junior middle school function concept

Xinjiang KuChe county experimental middle school teachers Fu Liya

Abstract: function concept is one of the key concepts of junior middle school mathematics, function is full of the middle school mathematics thought content. the final purpose of the function mainly included comprehen and master, and in the learning process function penetration of thought method can deepen understanding of the concept of function.

Keywords: functions; Function concept; Function thought method

一、背景：

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程將致力于使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)事實(shí)（包括數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能．函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容，以函數(shù)思想來貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容更有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量．在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程中，函數(shù)思想方法具有其它思想方法所不及的指導(dǎo)作用．因此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)大力加強(qiáng)對函數(shù)思想方法的進(jìn)一步研究，并努力將函數(shù)思想方法滲透到一切可能的教學(xué)內(nèi)容中去.

函數(shù)在我們生活，生產(chǎn)的方方面面都有體現(xiàn)，或者說，我們的生活離不開函數(shù)．函數(shù)與每個(gè)人都息息相關(guān)，如，一個(gè)人的身高、體重等都是時(shí)間（年齡）的函數(shù)；函數(shù)與生活密切相關(guān)，如：電話費(fèi)、水電費(fèi)、出租費(fèi)等都是時(shí)間的函數(shù)；物理學(xué)中的自由落體運(yùn)動(dòng)、生物學(xué)中的細(xì)胞繁殖速度等也是時(shí)間的函數(shù)；生產(chǎn)成本的核算、生產(chǎn)工效的提高等都是相應(yīng)自變量的函數(shù).最大利潤的獲得等都是相應(yīng)自變量的函數(shù)。就函數(shù)思想而言，它是用運(yùn)動(dòng)，變化的觀點(diǎn)來分析問題中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)的形式把這種數(shù)量關(guān)系表示出來，并加以研究，從而使問題加以解決。函數(shù)思想的建立，可有效的揭示運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律，反映事物之間的聯(lián)系。因此加強(qiáng)函數(shù)概念的教學(xué)和函數(shù)思想的滲透，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。

然而，在教學(xué)實(shí)踐表明函數(shù)概念是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感到最困難的內(nèi)容之一，盡管在實(shí)際教學(xué)中采取了適當(dāng)?shù)臐B透，教材也安排了螺旋上升的方法，分段有序的安排函數(shù)知識(shí)，但學(xué)生的函數(shù)概念仍比較低，學(xué)生對函數(shù)概念的理解往往局限于會(huì)解題的模糊狀態(tài)。那么是否存在一條邏輯上更完善，認(rèn)識(shí)上更容易，更簡潔的途徑，來引導(dǎo)學(xué)生形成函數(shù)概念呢？這便是本文探討的現(xiàn)實(shí)背景。

二、函數(shù)概念學(xué)習(xí)困難的原因分析：

劉緒文老師認(rèn)為：函數(shù)概念較難理解，是因?yàn)閷W(xué)生第一次接觸到變量，并且兩個(gè)變量之間存在一個(gè)對應(yīng)法則。概念的抽象性給概念的理解帶來一定的困難【1】，尤小平老師探討了函數(shù)概念學(xué)習(xí)的三個(gè)難點(diǎn)：（1）函數(shù)概念從17世紀(jì)開始拓展多次，越來越抽象。（2）函數(shù)概念敘述語言嚴(yán)謹(jǐn)，深刻。學(xué)生較難理解概念的內(nèi)涵和外延。（3）學(xué)生不習(xí)慣用集合，對應(yīng)的觀點(diǎn)解釋函數(shù)關(guān)系?！?】

函數(shù)概念是中學(xué)生感到最難學(xué)的數(shù)學(xué)概念之一．朱文芳老師依據(jù)心理學(xué)理論【3】，分別從學(xué)生的概念形成水平，不同數(shù)學(xué)氣質(zhì)類型的影響以及學(xué)生思維發(fā)展水平等三個(gè)方面對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的心理進(jìn)行了分析。分析指出，函數(shù)是個(gè)較難形成的概念，當(dāng)學(xué)生概念形成水平比較低時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的困難。學(xué)生數(shù)學(xué)氣質(zhì)類型上的差異在函數(shù)概念學(xué)習(xí)表現(xiàn)的尤為顯著。許多數(shù)學(xué)家和心理學(xué)家把數(shù)學(xué)氣質(zhì)類型一般分為分析型，幾何型和調(diào)和型三種。幾何型學(xué)生善于使用形象表示（圖象，表格），理解形象化形式的函數(shù)關(guān)系。且當(dāng)函數(shù)關(guān)系或解析式，能給于函數(shù)圖形的解釋時(shí)，才能感到它是清楚，可信的，進(jìn)行純粹解析表示運(yùn)算時(shí)，感覺困難。相反的，分析型學(xué)生雖也能做簡單函數(shù)的圖象，但常把圖象置于函數(shù)本身之外，不把它看做函數(shù)的一部分，在函數(shù)解答中，只靠解析法處理信息。不善于依靠已有的圖象理解函數(shù)，解釋于理解的能力差。調(diào)和型學(xué)生也在實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，符號(hào)語言和圖形語言的靈活轉(zhuǎn)換過程中存在障礙。

此外，李吉寶教授也從函數(shù)概念本身和學(xué)生思維發(fā)展水平【4】兩個(gè)方面論述了函數(shù)概念難學(xué)的原因。指出：造成這一結(jié)果的主要原因有2個(gè)：第一：函數(shù)概念本身的原因從數(shù)學(xué)自身的發(fā)展過程看，變量與函數(shù)概念的引入，標(biāo)志著數(shù)學(xué)由常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)的邁進(jìn)．函數(shù)概念是用“變量說”來定義的，這種定義方式有易于學(xué)生接受的一面，也有其不足的一面．例如，“變量”、“對應(yīng)”這些詞匯，并沒有給出比較明確的定義，這就造成了學(xué)生對函數(shù)定義理解的困難．另外，函數(shù)概念可以用列表、圖像、解析式等方法來表示．每一種表示形式都可以獨(dú)立地表示函數(shù)概念．這又是一個(gè)與其它概念不同的地方．由于函數(shù)概念需要同時(shí)考慮幾種表示形式，并且要協(xié)調(diào)好各種表示之間的關(guān)系，常常需要在各種表示之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換．故容易造成學(xué)習(xí)上的困難．第二：學(xué)生思維發(fā)展水平方面的原因在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生能進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的思維運(yùn)算，進(jìn)行符號(hào)語言與圖形語言之間的靈活轉(zhuǎn)換．但在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，數(shù)與形基本上是割裂的．這就要求學(xué)生的思維能在靜止與運(yùn)動(dòng)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化．但學(xué)生的思維水平還處于很不成熟的階段，他們看問題往往是局部的、靜止的，還不善于把抽象的概念與具體事例聯(lián)系起來，還不能用辯證思維的思想來理解函數(shù)概念．函數(shù)概念的運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的特點(diǎn)是不相適應(yīng)的。

曾丕珠教授對函數(shù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程進(jìn)一步細(xì)分，將其分為六個(gè)認(rèn)知層次。（1）認(rèn)識(shí)變量，實(shí)現(xiàn)由靜到動(dòng)的轉(zhuǎn)變；（２）認(rèn)識(shí)變量之間的聯(lián)系；（３）運(yùn)用函數(shù)表達(dá)式；（４）理解函數(shù)的本質(zhì)屬性；（５）掌握函數(shù)形式化描述。（６）逐步深刻理解函數(shù)概念，形成整體對象。并指出學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識(shí)層次往往是線性的，只有把各知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)式的聯(lián)接，才會(huì)有較完整的理解?！荆怠?/p>

三、函數(shù)概念實(shí)際教學(xué)采取的策略：

怎樣才能讓學(xué)生掌握這一重要概念呢？可按照“早、實(shí)、清”3個(gè)字進(jìn)行導(dǎo)學(xué)．所謂“早”，是指在初一、初二的教學(xué)中，抓住相關(guān)內(nèi)容及早向?qū)W生滲透函數(shù)的思想方法．我們知道，函數(shù)在本質(zhì)上反映了2個(gè)集合中元素之間的一種對應(yīng)關(guān)系．在初一和初二的教學(xué)內(nèi)容中，2個(gè)變量之間對應(yīng)關(guān)系的例子是相當(dāng)多的．我們在教這些內(nèi)容時(shí)，可以很容易地向?qū)W生們滲透函數(shù)的思想方法，在學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生朦朧的變化意識(shí)．例如，在引入“等式”概念前，課本選了下面這些式子： 1+2=3，a+b=b+a，S=ab，4+x=7．在對這 4個(gè)式子進(jìn)行分析時(shí)，為了照顧到后面學(xué)習(xí)函數(shù)的需要，可對式子 S=ab，這樣分析：當(dāng) S一定時(shí)，a與 b的積不變．如 S=12，若 a=3，則 b=4；若 a=6，則 b=2．可見在 S的值不變的前提下，a與b成反比關(guān)系；當(dāng)a一定時(shí)，S與b成正比關(guān)系；當(dāng)b一定時(shí)，S與a成正比關(guān)系．實(shí)踐證明，以上這些問題學(xué)生在當(dāng)時(shí)是完全能接受的．如果我們能注意在學(xué)習(xí)與函數(shù)有關(guān)的知識(shí)時(shí)，經(jīng)常地向?qū)W生滲透“對應(yīng)”的觀點(diǎn)，那么到初三學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)，就不會(huì)感到生疏和突然，他們就能順利地接受函數(shù)概念，并把函數(shù)知識(shí)盡快地內(nèi)化到自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去．所謂“實(shí)”，是指由實(shí)例引入函數(shù)概念．由實(shí)例引入概念，反映了概念的物質(zhì)性和現(xiàn)實(shí)性，符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，給學(xué)生留下的印象比較深刻和長久．這樣教學(xué)，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到函數(shù)概念是從客觀現(xiàn)實(shí)中抽象出來的，有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)概念．在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)，可用概念形成的方式，按以下的步驟進(jìn)行：