張福恒

（海南師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，海南 海口 571158）

均勻直線式天線陣方向圖分析

張福恒

（海南師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，海南 ?？?571158）

分析了常見文獻(xiàn)中關(guān)于均勻直線式天線陣分析所存在的問題及不足.對均勻直線式天線陣空間方向圖進(jìn)行了詳細(xì)分析，給出了數(shù)學(xué)分析計(jì)算公式.以實(shí)例介紹了如何分析均勻直線式天線陣立體空間方向圖.文中的方法及結(jié)論也適用于由磁偶極子、短偶極子、半波或全波單元天線組成的均勻直線式天線陣.

單元天線；天線陣；方向因子；天線陣方向因子；方向圖

天線的方向性是天線的一個(gè)重要特性.為了改善和控制天線的方向性，通常使用多個(gè)簡單天線構(gòu)成復(fù)合天線，即天線陣.適當(dāng)設(shè)計(jì)各單元天線的類型、數(shù)目、電流幅值及相位、單元天線的取向及間隔，可得到所需的天線陣方向性.天線陣方向性原理可由最簡單的均勻直線式天線陣說明.通常文獻(xiàn)對于均勻直線式天線陣方向性分析側(cè)重于天線陣陣因子的方向性分析，其方法如下[1-5]：

考慮n單元均勻直線式天線陣，各單元天線平行于z軸沿x軸均勻排列，每兩單元天線之間相隔距離為d，見圖1.場點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于天線陣的尺寸，因此每一個(gè)單元天線到場點(diǎn)的連線可看成是平行的，因此相鄰兩單元天線的波程差均可認(rèn)為為Δr，Δr=dcosφ.φ為場點(diǎn)位置矢量r與天線陣軸線x軸的夾角.各單元天線中的電流相同，幅值均為I0，相位依次遞減α，分析得出天線陣的方向因子為[2-3]：

圖1n單元均勻直線式天線陣Fig.1A n-element uniform linear antenna array

式中 f1(θ,φ)為單元天線的方向因子；

為天線陣陣因子，ψ=kdcosφ-α.

將（2）式對ψ求導(dǎo)，可得陣因子達(dá)到最大值的條件.即[1-5]

以上對n單元均勻直線式天線陣陣因子的分析存在一些問題：1）因天線方向圖函數(shù)是天線方向因子的絕對值，求解（3）式從數(shù)學(xué)上來講求出的是極大值，而不是最大值；2）（6）式的解并不是（5）式的全部解，它應(yīng)該是ψ/2=±m(xù)π,m=0，1，2，…，這樣才符合（3）式的解.另外，對于等式的運(yùn)算應(yīng)避免等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)零值，以避免漏根或增根，文獻(xiàn)[1-5]中的運(yùn)算過程中沒有考慮到這一點(diǎn).例如當(dāng)單元天線數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，ψ/2=±m(xù)π±π/2也是（3）式的解，而文獻(xiàn)[1-5]中沒有這一結(jié)論.（8）式中應(yīng)有一個(gè)正負(fù)號；3）僅分析了均勻直線式天線陣陣因子的方向性問題，天線陣的方向性應(yīng)和單元天線一起分析；4）天線的方向性在空間應(yīng)是立體的，而上面的討論并未涉及到.

針對以上問題，我們有必要對均勻直線式天線陣重新加以分析.下面我們將給出均勻直線式天線陣立體方向圖的分析方法.

1 均勻直線式天線陣方向因子

注意到場點(diǎn)P（r）并不一定在xy平面上.在圖2中，x軸即為均勻直線式天線陣軸線.由圖2，易求得：

圖2 φ,θ,φ關(guān)系圖Fig.2 The relation among the anglesφ,θand φ

因此，天線陣陣因子（2）式可寫成：

天線陣的方向因子仍為（1）式.由此我們看到，天線陣方向圖與單元天線方向因子、單元天線數(shù)n、單元天線間間隔d、單元天線的遞減相位差α以及方位角φ和θ有關(guān).即（1）式給出了天線陣輻射方向空間立體圖.

因（10）式中分子為 sin(n ψ/2) ，而分母為sin(n ψ/2) ，n＞1，因此（10）式在分母 sin(ψ /2)=0時(shí)有最大值.即 ψ=±2mπ 時(shí)有最大值，m=0，1，2，….利用羅必塔法則可求得（10）式最大值為n，可稱為天線陣陣因子主極大值.

2 均勻直線式天線陣方向圖分析

天線陣方向圖由（1）式給出，結(jié)合（10）式，它在空間給出的是一個(gè)立體方向圖.我們可分別在xy平面、yz平面上和xz平面上分析天線陣方向圖.

為簡單，我們考慮由赫茲單元天線組成的n單元赫茲均勻直線式天線陣.赫茲單元天線方向因子f1(θ ,φ )=sinθ[1-5].

1）在xy平面，θ=π/2,f1(θ ,φ )=sinθ=1，天線陣方向圖決定于陣因子 f(ψ )，且僅是φ的函數(shù).此時(shí)，天線陣方向因子為：

同前面分析，上式出現(xiàn)最大值條件為分母為零.即在xy平面最大值條件為：

因此最大輻射方向滿足：

在sin(ψ/2)≠0，即非最大值的條件下，令（11）式為零可得場強(qiáng)為零的ψ值，此值對應(yīng)的點(diǎn)為方向圖零點(diǎn)，這些零點(diǎn)值涉及到單元天線數(shù)n、間隔d、遞減相位差α等天線陣參數(shù).令（11）式為零得：

任意兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間，場方向圖有一個(gè)次極大點(diǎn)，且sin(nψ/2)≠0.因此兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的次極大值點(diǎn)，可由（11）式中令分子sin(nψ/2)=1求出.因?yàn)槭莾上噜徚泓c(diǎn)之間的次極大值，因此出現(xiàn)次極大滿足：ψ=ψ0+β,β為小于兩相鄰零點(diǎn)值角度差的角度.因此有：

2）在yz平面，φ=π/2.由（10）式知，對于給定的相位差α，此時(shí)天線陣的方向圖由 f1(θ ,φ )=sinθ來確定.即：

注意到方向圖函數(shù)為上式的絕對值，因此輻射最大方向?yàn)椤捆?2；零點(diǎn)值在0和π.

要注意的是，若α=0，則由羅必塔法則可求得天線陣陣因子為n，即在這情況下yz平面方向圖仍為以上結(jié)論.

3）在xz平面，φ=0，天線陣的方向圖因子

上式對于求解極大值較為困難，但我們可以求出其零點(diǎn)值.將（9）帶入上式，可以判定零點(diǎn)值出現(xiàn)在sin(ψ/2)≠0處.因此根據(jù)上式，零點(diǎn)值可由單元天線方向因子sinθ=0和下式給出，

式中(± 2qπ/nkd+α/kd )≤1.兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間，場方向圖有一個(gè)極大點(diǎn)，此極大點(diǎn)原則上可以通過求導(dǎo)數(shù)的方法求得.但由（16）式可看出，若n越大，零點(diǎn)越多.即在要求不嚴(yán)或n很大時(shí)，極大點(diǎn)可近似認(rèn)為處于兩零點(diǎn)的中間值.

由以上討論，可知不同α值有不同的方向圖，這就是相控陣?yán)走_(dá)的原理.

因磁偶極子天線[1-3，5]、短偶極子天線[5]的方向因子和赫茲天線一樣均為sinθ，因此以上的結(jié)論也適用于由磁偶極子、短偶極子單元組成的均勻直線式天線陣.

因?qū)ΨQ天線方向因子為[2-3]：

對于半波和全波單元天線，kl=π/2和π.

在xy平面，θ=π/2，半波和全波天線的方向因子為1和2.即半波天線組成的天線陣方向圖和赫茲的一樣，而全波天線組成的天線陣方向圖和赫茲的相似.

在yz平面，φ=π/2.此時(shí)天線陣的方向圖由單元天線方向因子 f1(θ ,φ)確定.由羅必塔法則可求得半波和全波天線在θ→0和π時(shí)，其為方向圖零點(diǎn)解.對 f1(θ ,φ )求導(dǎo)后可判定只有在 θ=±π/2時(shí)有最大值.即和赫茲天線陣一樣結(jié)論.

在xz平面，φ=0，由上討論知 f1(θ ,φ )的零點(diǎn)值在0和π，也和赫茲天線陣結(jié)論一樣.

由此得出，由半波或全波單元天線組成的均勻直線式天線陣在三個(gè)平面上與赫茲單元天線組成的均勻直線式天線陣有相同或相似的方向圖.

3 例

雖然分析天線陣方向圖用計(jì)算機(jī)作圖工具比上面的數(shù)學(xué)分析更為方便，但一般的作圖工具只能作定性的分析，有時(shí)不易得到確切值.因此，上面的討論分析還是有意義的.

下面我們以陣元間距為λ/2、滯后相移α=π/4的4單元赫茲均勻直線式天線陣為例來說明.此時(shí)：

取上式絕對值，利用計(jì)算機(jī)畫出xy平面方向圖見圖3.由圖看出最大值、零點(diǎn)值及次極大值方向與計(jì)算結(jié)果符合.

圖3xy平面方向圖Fig.3 Field pattern in the xy plan

2）yz平面方向圖.

在yz平面，φ=π/2.由前面求得輻射最大方向?yàn)椤捆?2；零點(diǎn)值在0和π.天線陣因子

其給出的方向圖見圖4.最大值、零點(diǎn)值方向和計(jì)算結(jié)果符合.

圖4 yz平面方向圖Fig.4 Field pattern in the yz plan

取上式絕對值，畫出xz平面方向圖見圖5.零點(diǎn)值、極大值方向和計(jì)算結(jié)果符合.

根據(jù)（1）式，本例的天線陣空間方向圖見圖6.

以上討論表明，對天線陣方向圖的分析，采用計(jì)算機(jī)一般作圖工具的方法更直觀清晰，但數(shù)學(xué)分析的方法可得到精確數(shù)值.

4 結(jié)語

本文指出了常見文獻(xiàn)中分析天線陣方向圖存在的一些問題，給出了分析均勻直線式天線陣立體方向圖的一般方法.

圖5xz平面方向圖Fig.5 Field pattern in the xz plan

圖6 空間方向圖Fig.6 Spatial directivity pattern

一般國內(nèi)文獻(xiàn)僅分析了天線陣陣因子方向圖問題[1-5]，也有國外文獻(xiàn)[6]分析了xy和xz兩個(gè)平面天線陣方向圖的問題.我們分別討論了天線陣在三個(gè)平面的輻射方向圖問題，即使在依次遞減相位差α=0時(shí)也可討論天線陣在三個(gè)平面的輻射方向圖問題.并借助計(jì)算機(jī)畫出了天線陣三個(gè)平面上的方向圖及空間方向圖.本文討論方法及結(jié)論也適用于由磁偶極子、短偶極子、半波或全波單元單元天線組成的均勻直線式天線陣.

本文中對xy平面方向圖的分析，實(shí)際上就是均勻直線式天線陣陣因子方向圖的分析.

[1]謝處方,饒克謹(jǐn).電磁場與電磁波[M].3版.北京:高教出版社,1999:225-237．

[2]沈熙寧.電磁場與電磁波[M].北京:科學(xué)出版社,2006:423-447．

[3]楊儒貴.電磁場與電磁波[M].2版.北京:高教出版社,2007:295-309．

[4]馮林,楊顯清,王園.電磁場與電磁波[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2004:215-217．

[5]王家禮,朱滿座,路宏敏.電磁場與電磁波[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2000:223-226．

[6]Bhag Singh Guru Hüseyin R Hizro?lu.Electromagnetic Field Theory Fundamentals(Second Edition)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2005:552-575．

Analysis of Uniform Linear Antenna Array Directivity Patterns

ZHANG Fuheng
（College of Physical and Electrical Engineering，Hainan Normal University，Haikou571158，China）

This paper pointes out some problems and insufficiency existing in some familiar literatures relating to the directivity pattern analysis of the uniform linear antenna array.On the other hand,it analyzes in detail the spatial direc?tivity pattern of the uniform linear antenna array and gives the calculating formulas about antenna array spatial directivi?ty pattern.It introduces how to analyze mathematically three-dimensional directivity pattern of the uniform linear anten?na array with an example.The method and the conclusions in this paper are applicable for the uniform linear antenna ar?ray constructed by magnetic dipole antenna,short dipole antenna,half-wave dipole antenna or full-wave antenna.

elemental antenna；antenna array；directivity factor；directivity factor of antenna array；directivity pattern

TN 820.1+2

A

1674-4942（2011）04-0403-05

2011-10-15

黃 瀾