詹 森，王輝豐

（1.廣東技術(shù)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣州 510665；2.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158）

構(gòu)造奇數(shù)階對稱幻方及奇偶分開對稱幻方的新方法

詹 森1，王輝豐2

（1.廣東技術(shù)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣州 510665；2.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158）

用匹配兩步法構(gòu)造出奇數(shù)n=2m+1（m為自然數(shù)）階對稱幻方，用匹配余函數(shù)兩步法構(gòu)造出奇數(shù)n階奇偶分開對稱幻方，具有普遍性，并給出了證明.這些方法可分別得到2m(m !)·2m-1(( m-1)!) 個(gè)不同的n階對稱幻方；當(dāng)n=2m+1（m=2k，k=1，2，…）時(shí)，可構(gòu)造出2m(k !)·2m-1(k!)(( k-1)!) 個(gè)不同的n階奇偶分開的對稱幻方；當(dāng)n=2m+1（m=2k+1，k=0，1，2，…）時(shí)，可構(gòu)造出2m(( k+1)!)(k!)·2m-1(k!)2個(gè)不同的n階奇偶分開的對稱幻方.

對稱幻方；奇偶分開對稱幻方；匹配基數(shù)；余函數(shù)

我們在文[1]中討論了構(gòu)造奇數(shù)n=2m+1（m為自然數(shù)）階對稱幻方、奇偶分開對稱幻方的兩步法，其基數(shù)的安裝具有以下局限性：從左到右是按由小到大的順序進(jìn)行的，基數(shù)下方、上方元素的安裝是按自然數(shù)的順序安裝；只能構(gòu)造出一個(gè)n階對稱幻方或一個(gè)n階奇偶分開對稱幻方.然而，這方法給出了通項(xiàng)公式，為克服上述局限性奠定了基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上，我們下面將利用匹配基數(shù)和文[2]的余函數(shù)進(jìn)一步研究以上兩類幻方的構(gòu)造方法，得到新的更好的更一般的結(jié)果.

1 奇數(shù)n=2m+1（m為自然數(shù)）階對稱幻方的構(gòu)造法

我們已知n階基方陣A[2]的基數(shù)共有n個(gè)，它們是

1，n+1，2n+1，…，（m-1）n+1，mn+1，（m+1）n+1，…，（n-1）n+1.值得注意的是，基數(shù)k·n+1與（n-1-k）n+1（k=0，1，…，n-1但k≠m）之和都等于（n-1）n+2，這樣的一對基數(shù)叫做匹配基數(shù).這是不同于文[1]之處.而把第j列與笫n-j+1列（j=1，2，…，n）叫做對稱列.

第一步 安裝基方陣.

設(shè)n=2m+1（m=1，2，…）階基方陣[2]A位于第i行、第j列的元素為a（i，j）（i，j=1，2，…，n），將基數(shù)按如下方式安裝到n階方陣A中，取定a（1，m+1）=mn+1，其余n-1個(gè)基數(shù)

1，n+1，2n+1，…，（m-1）n+1，（m+1）n+1，…，（n-1）n+1，

可隨意安裝到如下n-1個(gè)位置：

a（m+1-k，k+1））（k=0，1，2，…，m-1），

a（m+1+k，n-k+1）（k=1，2，…，m）.

但匹配基數(shù)必須置于對稱列中，安裝于第j列的基元記作ncj+1（j=1，2，…，n），基數(shù)安裝完畢后，得到方陣A的全部基元（或站點(diǎn)）.

取定d1=1，dm+1=m+1，dn=n，注意到1～n的自然數(shù)列中處于中心對稱位置上的兩個(gè)自然數(shù)，其和都等于n+1，除d1=1和dn=n外，我們共有m-1對這樣的自然數(shù)，在每對自然數(shù)中隨意選取一個(gè)自然數(shù)，將這m-1個(gè)自然數(shù)隨意排序依次記為dk（k=2，3，…，m）；余下的m-1個(gè)自然數(shù)記為dn-k+1（k=2，3，…，m），但必須滿足條件dk+dn-k+1=n+1（k=1，2，…，m）.在第j列基元ncj+1的下方（包括該基元），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n）的順序安裝相繼的數(shù)至該列最下面的笫n行；接著，在該站點(diǎn)的上方，自上而下按該順序安裝后繼的數(shù)，安裝至全列滿為止.所得到的n階方陣叫做基方陣A，基方陣A的每一行數(shù)字之和都等于幻方常數(shù)且中心對稱位置上兩個(gè)數(shù)的和都等于n2+1.

第二步 對基方陣施行順移，安裝到另一個(gè)（待安裝的）n階方陣B.

把A中第一列每一行的數(shù)字移至同一行相應(yīng)于A的基數(shù)所在的位置，同一行其他數(shù)字順移，當(dāng)各行都完成了這一程序之后，所得方陣B就是一個(gè)對稱幻方.

上述方法改進(jìn)了[1]的兩步法，具有更普遍性.我們稱之為構(gòu)造奇數(shù)階對稱幻方的匹配兩步法.對于給定的n=2m+1（m=1，2，…），匹配兩步法可構(gòu)造出2m(m !)·2m-1(( m-1)!)個(gè)不同的n階對稱幻方（不包括由于對稱行或列對調(diào)而衍生的n階對稱幻方）.

定理1 用匹配兩步法構(gòu)造的n=2m+1（m=1，2，…）階方陣B是對稱幻方.

證明 由文[3]的定理1證明知，基方陣A位于第i行、第j列的元素a（i，j）為

即B是關(guān)于中心對稱的方陣，故方陣B是一個(gè)n階對稱幻方.定理證畢.

（注意：由文[3]的定理1證明知，對n=2m+1=2（3t+1）+1=6t+3（t=0，1，2，…）需取dk=k（k=1，2，…，n）才能保證方陣B是一個(gè)n階對稱幻方）.

2 奇數(shù)n=2m+1（m為自然數(shù)）階奇偶分開的對稱幻方的構(gòu)造法

奇數(shù)集中于方陣中央的菱形中而偶數(shù)置于方陣四角的n階對稱幻方，叫做n階奇偶分開的對稱幻方.現(xiàn)在對n階奇偶分開的對稱幻方的構(gòu)造方法討論如下：

第一步 安裝基方陣.

設(shè)n=2m+1（m=1，2，…）n階基方陣A位于第i行、第j列的元素為a（i，j）（i，j=1，2，…，n），將基數(shù)按如下方式安裝到n階方陣A中，取定a（1，m+1）=mn+1，其余n-1個(gè)基數(shù)是1，n+1，2n+1，…，（m-1）·n+1，（m+1）n+1，…，（n-1）n+1，可隨意安裝到如下n-1個(gè)位置：

a（m+1-k，k+1））（k=0，1，2，…，m-1），

a（m+1+k，n-k+1）（k=1，2，…，m）.

但匹配基數(shù)必須置于對稱列中，且笫一列取奇基數(shù)，然后從左到右奇基數(shù)與偶基數(shù)相間隔.安裝于第j列的基元記作ncj+1（j=1，2，…，n），基數(shù)安裝完畢后，得到方陣A的全部基元（或站點(diǎn)）.

取定d1=1，dm+1=m+1，dn=n，注意到1～n的自然數(shù)列中處于中心對稱位置上的兩個(gè)自然數(shù)（除d1=1和dn=n外），其和都等于n+1，我們共有m-1對這樣的自然數(shù)，在每對自然數(shù)中隨意選取一個(gè)自然數(shù)，將這m-1個(gè)自然數(shù)隨意排序依次記為dk（k=2，3，…，m）；余下的m-1個(gè)自然數(shù)記為dn-k+1（k=2，3，…，m），但必須滿足條件dk+dn-k+1=n+1（k=1，2，…，m）.且k為奇數(shù)時(shí)dk為奇數(shù)，k為偶數(shù)時(shí)dk為偶數(shù)，奇偶數(shù)相間隔.在第j列基元ncj+1的下方（包括該基元），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n）的順序安裝相繼的數(shù)至該列最下面的笫n行；接著，在該站點(diǎn)的上方，自上而下按該順序安裝后繼的數(shù)，安裝至全列滿為止.所得到的n階方陣叫做基方陣A.

由文[3]的定理1證明知，基方陣A位于第i行、第j列的元素a（i，j）為

a（i，j）=ncj+dr（m+（i+j））（i，j=1，2，…，n）.其位于中心對稱位置上的元素為

即基方陣A的每一行數(shù)字之和都等于幻方常數(shù)且中心對稱位置上兩個(gè)數(shù)的和都等于n2+1.

第二步 對基方陣A施行順移，安裝到另一個(gè)（待安裝的）n階方陣B.

我們將利用文[2]定義的余函數(shù)對基方陣A進(jìn)行安裝，這個(gè)余函數(shù)為這里，t是自然數(shù)，t|n是表示t被n整除，other是指其他情況，R（t）是表示t除以n的余數(shù).

基數(shù)a（m+1-k，k+1）（k=0，1，2，…，m-1）所在行的元素向右順移r（k·m）（k=0，1，2，…，m-1）個(gè)位置；基數(shù)a（m+1+k，n-k+1）（k=1，2，…，m）所在行的元素向右順移r（n-k·m）（k=0，1，2，…，m-1）個(gè)位置.

設(shè)方陣B位于第i行、第j列元素為b（i，j），方陣A第m+1-k行的元素向右順移r（k·m）（k=0，1，2，…，m-1）個(gè)位置，所以

當(dāng)各行都完成了這一程序之后，所得方陣B就是一個(gè)對稱幻方（當(dāng)n是3的倍數(shù)時(shí)）或是一個(gè)對稱完美幻方（當(dāng)n不是3的倍數(shù)時(shí)）.接著，對上述對稱幻方或?qū)ΨQ完美幻方作行變換，即對方陣B作行變換得n階方陣C.

對方陣B作行變換，方陣B的第r（m-2i）行作為方陣C的第i+1行（i=0，1，…，m-1）；m+1行仍作為第m+1 行；笫r（m-1-2i）行作為第m+2+i（i=0，1，…，m-1）行.得方陣C就是奇偶分開的對稱幻方（定理2）.

上述方法我們稱之為構(gòu)造奇偶分開的對稱幻方的匹配余函數(shù)兩步法.

注意，若不是用以上的行變換方法，而用其他的行變換，雖可使奇數(shù)集中于方陣中央的菱形中，而偶數(shù)則置于方陣的四角，但變換的結(jié)果并不是幻方.這是由于對角線上數(shù)字之和不等于幻方常數(shù)，故所得的是方陣.

定理2 用匹配余函數(shù)兩步法得到的n=2m+1（m=1，2，…）階方陣C是一個(gè)奇偶分開的對稱幻方.

證明 1）由安裝基方陣A時(shí)要求：匹配基數(shù)必須置于對稱列中，笫一列取奇基數(shù)，然后從左到右奇基數(shù)與偶基數(shù)相間隔，取定d1=1，dm+1=m+1，dn=n，且k為奇數(shù)時(shí)dk為奇數(shù)，k為偶數(shù)時(shí)dk為偶數(shù)，奇偶數(shù)相間隔.基方陣A中，顯然，奇基數(shù)所在行中它的右側(cè)所有元素都是奇數(shù)而左側(cè)所有元素都是偶數(shù)，偶基數(shù)所在行中它的右側(cè)所有元素都是偶數(shù)而左側(cè)所有元素都是奇數(shù).

第r（m-2i）行（i=0，1，…，m-1）上的基數(shù)位于笫r（2i+2）列是偶基數(shù)其左側(cè)所有元素都是奇數(shù)，共有2i+1個(gè)奇數(shù)，中間那個(gè)奇數(shù)位于第i+1列，即a（m-2i，i+1）是中間那個(gè)奇數(shù).

第m+1 行全部是奇數(shù).笫r（m-1-2i）（i=0，1，…，m-1）行上的基數(shù)位于笫r（2i+2）列是奇基數(shù)其右側(cè)所有元素都是奇數(shù)，有n-（2i+2）=2m-2i-1個(gè)奇數(shù)，中間那個(gè)奇數(shù)位于第m+i+2列.即r（m-1-2i，m+i+2）是中間那個(gè)奇數(shù).

2）下面證明方陣B就是一個(gè)對稱幻方.

當(dāng)i為1～n-2的奇數(shù)時(shí)，r（mi）是m～1由大至小的自然數(shù)；當(dāng)i為2～n-1的偶數(shù)時(shí)，r（mi）是n-1～m+1由大至小的自然數(shù)；當(dāng)i=n時(shí)，r（mi）=n.即i取遍1～n的自然數(shù)時(shí)，r（mi）亦取遍1～n的自然數(shù).

當(dāng)i為1～n的奇數(shù)時(shí)，是m+1～n的自然數(shù)；當(dāng)i為2～n-1的偶數(shù)時(shí)，r（（m+1）i）是1～m的自然數(shù)；當(dāng)i=n時(shí)，r（（m+1）i）=n.即i取遍1～n的自然數(shù)時(shí)，r（（m+1）i）亦取遍1～n的自然數(shù).

方陣B位于第i行、第j列的元素為

注意到在求和過程中m2+j與（m+1）·m+j是常數(shù)，以及余函數(shù)的定義和上述關(guān)于r（mi），r（（m+1）i）的討論，方陣B第j列（j=1，2，…，n）元素之和為

即等于n階幻方的幻方常數(shù).

由于方陣B第i行（i=1，2，…，n）與方陣A第i行的元素相同，所以方陣B第i行（i=1，2，…，n）元素之和亦等于n階幻方的幻方常數(shù).

基方陣A是中心對稱的，而方陣B是由基方陣A施行順移所得，由于方陣A第m+1-k行的元素向右順移r（k·m）（k=0，1，2，…，m-1）個(gè)位置，方陣A第m+1+k（k=1，2，…，m）行的元素向右順移r（n-k·m）（k=1，2，…，m）個(gè)位置，即向左順移r（k·m）（k=1，2，…，m）個(gè)位置，而笫m+1行的元素不動.所以方陣B仍是中心對稱的，故方陣B兩對角線上元素之和都等于n階幻方的幻方常數(shù).所以方陣B是對稱幻方.

3）接著要證明方陣B各行的奇數(shù)都集中于該行的正中，而偶數(shù)平均地置于兩側(cè).

基方陣A第r（m-2i）行（i=0，1，…，m-1）上，共有2i+1個(gè)奇數(shù)，而中間那個(gè)奇數(shù)位于第i+1列，即a（m-2i，i+1）是中間那個(gè)奇數(shù).若要b（m-2i，m+1）=a（m-2i，i+1），則該行的元素必須向右順移（m+1）-（i+1）=m-i個(gè)位置.順移的結(jié)果就是b（m-2i，m+1）=a（m-2i，i+1）.

基方陣A笫r（m-1-2i）（i=0，1，…，m-1）行上，共有n-（2i+2）=2m-2i-1個(gè)奇數(shù)，中間那個(gè)奇數(shù)位于第m+i+2列.即a（m-1-2i，m+2+i）是中間那個(gè)奇數(shù).若要

b（m-1-2i，m+1）=a（m-1-2i，m+2+i），

則該行的元素必須向右順移（n+m+1）-（m+2+i）=2m-i個(gè)位置.順移的結(jié)果就是

b（m-1-2i，m+1）=a（m-1-2i，m+2+i）.（a）對n=2（2s）+1=4s+1（s=1，2，…），當(dāng)i=0，1，…，s-1時(shí)，基方陣A第r（m-2i）行即第r（m+1-（2i+1））行的元素若向右順移r（（2i+1）m）（i=0，1，…，s-1），即r（（2i+1）m）=r（（2m+1）i+（m-i））=m-i個(gè)位置.順移的結(jié)果是

b（m-2i，m+1）=a（m-2i，i+1）.當(dāng)i=s，s+1，…，2s-1時(shí)，基方陣A第r（m-2i）行即位于基方陣A下半部分的第n+m-2i行，r（m-2i）=r（m+1+（-（2i+1）））若第r（m-2i）行向右順移r（n-（-（2i+1））m）（i=s，s+1，…，2s-1），即r（n-（-（2i+1））m）=r（n+（2i+1）m）=r（（2i+1）m）=m-i個(gè)位置.順移的結(jié)果是

b（m-2i，m+1）=a（m-2i，i+1）.當(dāng)i=0，1，…，s-1時(shí)，基方陣A第r（m-1-2i）行即第r（m+1-（2i+2））的元素若向右順移r（（2i+2）×m）（i=0，1，…，s-1），即r（（2i+2）m）=r（（2m+1）i+（2m-i））=2m-i個(gè)位置.順移的結(jié)果是

b（m-1-2i，m+1）=a（m-1-2i，m+2+i）.當(dāng)i=s，s+1，…，2s-1時(shí)，基方陣A第r（m-1-2i）行即位于基方陣A下半部分的第n+m-1-2i行，r（m-1-2i）=r（m+1+（-（2i+2）））若第r（m-1-2i）行向右順移r（n-（-（2i+2））m）（i=s，s+1，…，2s-1），即r（n-（-（2i+2））m）=r（n+（2i+2）m）=r（（2i+2）m）=2m-i個(gè)位置.順移的結(jié)果是

b（m-1-2i，m+1）=a（m-1-2i，m+2+i）.（b）對n=2（2s+1）+1=4s+3（s=1，2，…），當(dāng)i=0，1，…，s時(shí)，基方陣A第r（m-2i）行即第r（m+1-（2i+1））若向右順移r（（2i+1）m）（i=0，1，…，s），即

r（（2i+1）m）=r（（2m+1）i+（m-i））=m-i個(gè)位置.順移的結(jié)果是

b（m-2i，m+1）=a（m-2i，i+1）.當(dāng)i=s+1，s+2，…，2s時(shí)，基方陣A第r（m-2i）行即位于基方陣A下半部分的第n+m-2i行，r（m-2i）=r（m+1+（-（2i+1）））第r（m-2i）行向右順移r（n-（-（2i+1））m）（i=s+1，s+2，…，2s），即r（n-（-（2i+1））·m）=r（n+（2i+1）m）=r（（2i+1）m）=m-i個(gè)位置.順移的結(jié)果是

b（m-2i，m+1）=a（m-2i，i+1）.當(dāng)i=0，1，…，s時(shí)，基方陣A第r（m-1-2i）行即第r（m+1+（-（2i+2））若向右順移r（（2i+2）m）（i=0，1，…，s），即r（（2i+2）m）=r（（2m+1）i+（2m-i））=2m-i個(gè)位置.順移的結(jié)果是

b（m-1-2i，m+1）=a（m-1-2i，m+2+i）.當(dāng)i=s+1，s+2，…，2s時(shí)，基方陣A第r（m-1-2i）行即位于基方陣A下半部分的第n+m-1-2i行，

r（m-1-2i）=r（m+1+（-（2i+2）））若第r（m-1-2i）行向右順移r（n-（-（2i+2））m）（i=s，s+1，…，2s-1），即r（n-（-（2i+2））m）=r（n+（2i+2）m）=r（（2i+2）m）=2m-i個(gè)位置.

綜上所述對n=2m+1（m=1，2，…），方陣B不僅是一個(gè)對稱幻方且其各行的奇數(shù)都集中于該行的正中，而偶數(shù)平均地置于兩側(cè).

4）證明方陣C是一個(gè)奇偶分開的對稱幻方.

對方陣B所作行變換是把方陣B的第r（m-2i）行作為方陣C的第i+1（i=0，1，…，m-1）行；第m+1行仍作為第m+1行；笫r（m-1-2i）行作為第m+2+i（i=0，1，…，m-1）行.

與方陣C的第i+1（i=0，1，…，m-1）行的處于對稱位置的是方陣C第n-i行，由于我們討論的是奇數(shù)階幻方，所以i+1與n-i的奇偶性相同.

方陣C的第i+1（i=0，1，…，m-1）行即方陣B的第r（m-2i）行，而方陣C的第n-i=（n-i-1）+1行即方陣B的第r（m-2（n-i-1））=r（m+2+2i）行，方陣B中的這兩行的元素是中心對稱，所以方陣C的第i+1行與方陣C的第n-i行的元素是中心對稱.

與方陣C的第m+2+i（i=0，1，…，m-1）行處于對稱位置的是方陣C第m-i行，由于我們討論的是奇數(shù)階幻方，所以m+2+i與m-i的奇偶性相同.

方陣C的第m+2+i（i=0，1，…，m-1）行即方陣B的第r（m-1-2i）行，而方陣C的第m-i=m+2-（i+2）行即方陣B的第r（m-1-2（-（i+2）））=r（m+3+2i）行，方陣B中的這兩行的元素是中心對稱，所以方陣C的第m+2+i行與方陣C的第m-i行的元素是中心對稱.

可見方陣C是中心對稱的，因而方陣C兩對角線上元素之和都等于n階幻方的幻方常數(shù).又因方陣C是方陣B作行變換所得，故方陣C仍是對稱幻方.且其各行的奇數(shù)都集中于該行的正中，而偶數(shù)平均地置于兩側(cè).又已知方陣C第i+1（i=0，1，…，m-1）行有2i+1個(gè)奇數(shù)，第m+2+i（i=0，1，…，m-1）行有2m-（2i+1）個(gè)奇數(shù)，第m+1行有2m+1個(gè)奇數(shù)，所以方陣C是一個(gè)奇偶分開的對稱幻方.定理證畢.

笫二步所得的每一個(gè)對稱幻方或?qū)ΨQ完美幻方通過上述的行變換可得到一個(gè)奇偶分開的對稱幻方，所以，當(dāng)n=2m+1（m=2k，k=1，2，…）時(shí)，用匹配余函數(shù)兩步法構(gòu)造出2m(k!)2·2m-1(k !)(( k-1)!)個(gè)不同的n階奇偶分開的對稱幻方；當(dāng)n=2m+1（m=2k+1，k=1，2，…）時(shí)，可構(gòu)造出

個(gè)不同的n階奇偶分開的對稱幻方.

[1]王輝豐,詹森.關(guān)于構(gòu)造三類奇數(shù)階幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,23(1):12-15.

[2]詹森,王輝豐.奇數(shù)階對稱完美幻方的構(gòu)造方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,22(4):396-402.

[3]詹森,王輝豐.構(gòu)造奇數(shù)階幻方,完美幻方和對稱完美幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,24(3):265-269.

The New Structure Methods about Odd Order Symmetrical Magic Square and Symmetrical Magic Square with Separated Odd and Even Numbers

ZHAN Sen1，WANG Huifeng2

（1.Department of Computer Science，Guangdong Technical Normal University，Guangzhou510665，China；2.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou571158，China）

The new structure method called two-step matching method were given and proved,which could obtain oddnorder symmetrical magic square.The new structure method called two-step matching residual function method were given and proved,which could obtain symmetrical magic square with separated odd and even numbers.These methods may obtain2m(m!)·2m-1(( m-1)!)differentnorder symmetrical magic squares;whenn=2m+1（m=2k，k=1，2，…）may obtain2m(k!)2·2m-1(k!)((k-1)!)differentnorder symmetrical magic square with separated odd and even numbers;whenn=2m+1（m=2k+1，k=0，1，2，…）may obtain2m(( k+1)!)(k!)·2m-1(k !)2differentnorder symmetrical magic square with separated odd and even numbers.

symmetrical magic square；symmetrical magic square with separated odd and even numbers；matching car?dinal number；residual function

O 157.6

A

1674-4942（2011）04-0395-05

2011-10-15

黃 瀾