呂良軍，張 兵

（黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475001）

0 引言

某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油，并且要使管線建設(shè)費用最省。 設(shè)計方案要做到在兩煉油廠到鐵路線距離與兩廠間距離不同的條件下，盡量使管線建設(shè)費用最省。 在進行方案設(shè)計時，若兩廠在輸油點到車站間有共用管線，還要考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。

1 問題的分析

由于兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠之間的距離都不確定，各種不同情形都必須要考慮。 經(jīng)分析討論，得出了兩煉油廠位置可能存在以下5 種情形（如圖1 所示）。

圖1 兩煉油廠位置的各種情形Fig.1 Various cases of two refineries’ location

顯然，第1 種具有代表性，只要改變a、b、l 的參數(shù)值，就可以得到后幾種情形。 對于共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形，可設(shè)每千米的非共用管道費用設(shè)為m 萬元，每千米共用管道費用為km(1≤k≤2)萬元，當(dāng)k=1 時費用相同。

2 模型建立與求解

非線性規(guī)劃的模型[1]一般可寫為：

其中X=(x1,x2, ……,xn)T表示n 維向量X∈D，D稱為可行域。 把滿足條件的解稱為可行解，所有可行解的集合即為可行域D，簡記為minf(X)。 非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，從廣義上說，也是約束條件下的極值問題。

對于多變量函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析中求極值的法則z=f(x1，x2，,……，xn)中，求已給域上的極值點和極值，必須使偏導(dǎo)數(shù)等于零，即fxi'=(x1，x2，……，xn)=0(i=1，2，…，n)。

圖2 兩煉油廠位置的一般情形Fig.2 General cases of two refineries’ location

現(xiàn)以鐵路線所在的直線為x 軸，A 廠到車站的垂線所在的直線為y 軸，O 點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2 所示）。 設(shè)兩廠所鋪設(shè)的管線的交點E 的坐標(biāo)為E (x,y), 廠距離鐵路的垂直距離為a， B 廠距離鐵路的垂直距離為b，OC=1，則A、B 兩點的坐標(biāo)分別為A(0，a),B(l,b)每千米的非共用管道費用設(shè)為m 萬元， 每千米共用管道費用設(shè)為km 萬元。 則建立管線建設(shè)費用最省的數(shù)學(xué)模型如式（2）所示：

設(shè)m=1，分別對x，y 求偏導(dǎo)函數(shù)得：

下面對兩煉油廠到鐵路距離與兩廠間距離不同情況進行討論，不妨假設(shè)a≤b。

圖3 不同情形下的管線路徑Fig.3 Pipeline routes under different situations

對共用管道費用與非共用管道費用相同的情形，只需在上式中令k=1 即可。

3 實例應(yīng)用

現(xiàn)有兩煉油廠的具體位置如圖4 所示。 需要根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。 管線鋪設(shè)費用將分別為輸送A 廠成品油的每千米5.6 萬元，輸送B 廠成品油的每千米6.0 萬元，共用管線費用為每千米7.2 萬元。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用。 為對此項附加費用進行估計，聘請3 家工程咨詢公司（其中公司1 具有甲級資質(zhì)，公司2 和公司3 具有乙級資質(zhì)）進行了估算。 估算結(jié)果如表1 所示：

表1 工程附加費用估算Table 1 Engineering extracharge estimation

請給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費用。

圖4 兩煉油廠的具體位置Fig.4 Two refineries’ location

3.1 附加費用的估算

在對該附加費用進行估算時，由于聘請的工程咨詢公司存在資質(zhì)的不同，為更好地計算出結(jié)果，首先需要對3 家公司附加費用的數(shù)據(jù)進行處理。

通過表1， 引入3 家公司資質(zhì)及附加費用兩個因素對基建的影響程度的大小的比值，得到一個對比矩陣[2]如下：

其中R（1，2）=3，即表示公司1 資質(zhì)及附加費用兩個因素對基建的影響程度與公司2 的比值為3，R(2，3)=1，即表示公司2 資質(zhì)及附加費用兩個因素對基建的影響程度與公司3 的比值為1。 利用MATLAB， 求出對比矩陣R 的最大特征根λ=2.8017， 對 應(yīng) 的 特 征 向 量n 為(0.9045,0.3015,0.3015)，歸一化后，為（0.6，0.2，0.2）。 該結(jié)果是3 家公司對基建影響分別所占的權(quán)重，得出處理后估算的附加費用值

3.2 建立模型及求解

圖5 坐標(biāo)系中的兩煉油廠位置Fig.5 Two refineries’ location in coordinate system

建立如圖5 所示的坐標(biāo)系，點H 為城郊分界線與管線的交點。 建立的數(shù)學(xué)模型為：minz=5.6×。分別對x1,y1,y2求偏導(dǎo)數(shù)，并令。 用matlab[3]解此方程組，得x1=6.7337,y1=0.1389,y2=7.2796。 代入目標(biāo)函數(shù)得：Zmin=251.9685。

3.3 模型檢驗

用優(yōu)化軟件LINGO[4]在區(qū)域范圍內(nèi)搜索檢驗，程序如下：

min=(((5-y1)^2+x1^2)^(1/2))*5.6+(((15-x1)^2+(y2-y1)^2)^(1/2)+(25+(8-y2)^2)^(1/2))*6+y1*7.2+(25+(8-y2)^2)^(1/2)*21.4。

運行結(jié)果為：z=251.4633,X1=6.735476,Y1=0.1376764,Y2=7.276816. 其結(jié)果與本文所建立的模型計算結(jié)果基本相一致。

4 結(jié)語

本文全面討論各種條件下的管線布置的優(yōu)化問題，并建立起與之相對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。 運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件和方法，得出最優(yōu)解，選擇出最佳輸油管的設(shè)計方案，并計算出建設(shè)管線的最省費用。 采用實際例子加以討論、分析和檢驗，以期使之更具有實用和推廣價值。

[1] 趙靜，但琦. 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗[M]. 3 版. 北京：高等教育出版社，2007：90-91.

[2] 姜啟源，謝金星. 數(shù)學(xué)建模案例選集[M]. 北京：高等教育出版社，2007：169-172.

[3] 肖華勇. 基于MATLAB 和LINGO 的數(shù)學(xué)實驗[M]. 西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008：2-5.

[4] 謝金星， 薛毅. 優(yōu)化建模與LINDO/LINGO 軟件[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2005：86-88.