蔣加清

（臺(tái)州學(xué)院 教師教育學(xué)院，浙江 臨海 317000）

用初等變換法求r-循環(huán)矩陣的逆矩陣

蔣加清

（臺(tái)州學(xué)院 教師教育學(xué)院，浙江 臨海 317000）

首先給出r-循環(huán)矩陣的定義與良好的結(jié)構(gòu)，探討了r-循環(huán)矩陣的相應(yīng)的線性方程組，然后利用矩陣初等行變換求出線性方程組的解，即可求出r-循環(huán)矩陣的逆矩陣.該方法不需要計(jì)算三角函數(shù)，且具有很少的計(jì)算量，顯得實(shí)用、簡(jiǎn)便.

r-循環(huán)矩陣；逆矩陣；線性方程組；初等行變換；階梯型矩陣

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]若A具有形狀

則稱A為r-循環(huán)矩陣，因此A決定于a0，a1，…，an-1及參數(shù)r，故可簡(jiǎn)記為：

特別，當(dāng)r=1時(shí)，就是通常的循環(huán)矩陣；當(dāng)r=-1時(shí)，就是通常的反循環(huán)矩陣.

如果寫(xiě)作A=（aij）（i，j=0，1，…，n-1），則

觀察（1）式對(duì)角線上及對(duì)角線位置上的那些元素特點(diǎn)，即任何r-循環(huán)矩陣，都可以寫(xiě)成：

顯然E，J，J2，…，Jn-1線性無(wú)關(guān)，因此A的表達(dá)式唯一，即任何r-循環(huán)矩陣都可由J的多項(xiàng)式唯一表示.

2 定理與算理

證明因?yàn)锳=Cr( )a0,a1,…,an-1∈CMr，所以 A=a0J0+a1J+…+an-1Jn-1，欲證r-循環(huán)矩陣A的逆矩陣也是r-循環(huán)矩陣，只要找到

B=b0J0+b1J+…+bn-1Jn-1，注意到 Jn+k=rJk（k為非負(fù)整數(shù)）

要使AB=E=J0，為此只須滿足下列條件：

對(duì)于具體地解線性方程組，消元法是最有效且最基本的方法.消元法解下列方程組的理論根據(jù)是線性方程組經(jīng)初等變換得到同解線性方程組.

將求解線性方程組的消元法轉(zhuǎn)化為對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換化為階梯形矩陣，這一過(guò)程簡(jiǎn)單明了.

定理2如果矩陣

3 算法與例子

由定理1與定理2可知用初等行變換求r-循環(huán)矩陣的逆矩陣的算法，其步驟如下：

例1設(shè)A=C3（1，-1，-1，1），求A-1.

[1]沈光星.關(guān)于某些循環(huán)矩陣的特征值[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),1991,4（3）:76-82.

[2]沈光星.關(guān)于r-循環(huán)系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜性[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,1992,12（4）:595-598.

[3]錢(qián)吉林.高等代數(shù)題解精粹[M].北京:中央民族大學(xué)出版社,2002:57-58.

[4]蔣加清.關(guān)于r-循環(huán)矩陣求逆的一種快速算法[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,32(1):88-89.

[5]何承源.循環(huán)矩陣的一些性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2001,31（2）:211-216.

[6]江兆林,周章鑫.關(guān)于r-循環(huán)矩陣的非異性[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1995,10（2）:222-226.

[7]郭運(yùn)瑞,江兆林.r-循環(huán)矩陣逆矩陣的插值法證明[J].廣州師院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1997,1:22-27.

[8]施敏雪,史美華.關(guān)于r-循環(huán)矩陣的若干性質(zhì)[J].浙江教育學(xué)院學(xué)報(bào),2005,7（4）:14-18.

Solving the Inverse of r-circular Matrix by Elementary Operation

JIANG Jiaqing
（Teacher Education College，Taizhou University，Linhai317000，China）

This paper explored the related set of linear equations ofr-circular matrix,by giving its definition and good structure and then using the elementary row operation of matrix to work out the solution of a set of linear equations-the inverse matrix ofr-circular matrix.The method is practical and convenient with no needs to calculate trigonometric func?tion and small calculation amount.

r-circular matrix；inverse matrix；set of linear equations；elementary row operation；echelon form matrix

O 151

A

1674-4942（2011）04-0383-03

2011-07-25

畢和平