孫 彬， 李鐵克

(北京科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 北京 100083)

基于滑動(dòng)窗DFNN的含有復(fù)雜條款認(rèn)股權(quán)證定價(jià)模型

孫 彬， 李鐵克

(北京科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 北京 100083)

將Black-Scholes模型與動(dòng)態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，構(gòu)建一種含有復(fù)雜條款的認(rèn)股權(quán)證定價(jià)模型.通過(guò)設(shè)定一定長(zhǎng)度的滑動(dòng)窗來(lái)保持采用固定長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型結(jié)果參數(shù)調(diào)整，同時(shí)采用動(dòng)態(tài)調(diào)整前提參數(shù)策略，確保定價(jià)模型的泛化能力.以我國(guó)權(quán)證市場(chǎng)中認(rèn)股權(quán)證阿膠EJC1為例進(jìn)行分析，結(jié)果表明，提出的定價(jià)模型與RBF模型相比準(zhǔn)確性較高，并且對(duì)權(quán)證價(jià)格走勢(shì)判斷較為準(zhǔn)確.

認(rèn)股權(quán)證定價(jià)； Black-Scholes模型； 滑動(dòng)窗口； 動(dòng)態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

0 引言

自Black-Scholes(B-S)期權(quán)定價(jià)模型建立以來(lái)，該模型便成為權(quán)證定價(jià)的理論基礎(chǔ)[1]，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)認(rèn)股權(quán)證的定價(jià)都進(jìn)行了深入的研究[2-4].但是權(quán)證價(jià)格的變化是模糊的，變化的規(guī)律是不清晰的，變化的結(jié)果具有高度容錯(cuò)性，并具有復(fù)雜的動(dòng)態(tài)非線性特征.B-S定價(jià)模型難以反映這種復(fù)雜性，在實(shí)際操作上易產(chǎn)生價(jià)格偏誤等問(wèn)題.為了避免在嚴(yán)格假設(shè)下參數(shù)化模型的不足，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在期權(quán)定價(jià)中得到了廣泛的關(guān)注和研究[5-9].混合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由文獻(xiàn)[6]提出并最早將其用于期權(quán)定價(jià)，它是通過(guò)BP網(wǎng)絡(luò)來(lái)擬合參數(shù)化模型和實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格差對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià).對(duì)混合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究表明[7]，由于其部分減輕了上述缺陷而使其預(yù)測(cè)結(jié)果要好于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和經(jīng)典的B-S模型.而模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)既可以解決傳統(tǒng)模糊推理中隸屬函數(shù)的系統(tǒng)設(shè)計(jì)，又可以解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的黑箱問(wèn)題；并且通過(guò)將專(zhuān)家知識(shí)結(jié)合到模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，可以提高收斂速度、縮短訓(xùn)練時(shí)間.因此，模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成為針對(duì)非線性系統(tǒng)仿真研究的一個(gè)熱點(diǎn)，并形成了一個(gè)較為完善的體系[10-11].現(xiàn)有模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要存在4點(diǎn)不足：①網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)選取主觀化或在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)僅利用樣本的輸入信息而未利用輸出信息和誤差信息，從而造成網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)過(guò)訓(xùn)練或過(guò)擬合現(xiàn)象；②神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的作用都只是對(duì)模糊系統(tǒng)參數(shù)的學(xué)習(xí)和優(yōu)化，并對(duì)可能的變化在參數(shù)上作自適應(yīng)調(diào)整，而較少有針對(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)；③網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)方式多為BP算法，但是BP算法具有速度較慢且容易陷入局部極小點(diǎn)的缺陷；④網(wǎng)絡(luò)多為靜態(tài)模型，不適用于在線控制.

針對(duì)以上問(wèn)題，作者結(jié)合B-S模型與動(dòng)態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(dynamic fuzzy neural network，DFNN)建立含有復(fù)雜條款的認(rèn)股權(quán)證定價(jià)模型；并通過(guò)設(shè)定滑動(dòng)窗口使得模型保持采用固定長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)來(lái)調(diào)整參數(shù)，避免數(shù)據(jù)飽和.本模型可以實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)與結(jié)構(gòu)辨識(shí)同時(shí)進(jìn)行以及對(duì)認(rèn)股權(quán)證定價(jià)的動(dòng)態(tài)在線控制.

1 含有復(fù)雜條款的認(rèn)股權(quán)證定價(jià)模型

2 滑動(dòng)窗動(dòng)態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

DFNN是以認(rèn)股權(quán)證定價(jià)公式(warrants pricing model，WPM)為基礎(chǔ)，訓(xùn)練結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，用權(quán)證市場(chǎng)價(jià)格與WPM計(jì)算價(jià)格之差作為DFNN的指導(dǎo)信號(hào).DFNN模型訓(xùn)練好之后，固定網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及模糊規(guī)則.根據(jù)新的權(quán)證輸入數(shù)據(jù)，得到模型的定價(jià)輸出，具體結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示.

(a)

(b)

圖2 DFNN的結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of DFNN

2.1DFNN結(jié)構(gòu)

DFNN的結(jié)構(gòu)是一個(gè)擴(kuò)展的徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與Takagi-Sugeno-Kang(TSK)模型相結(jié)合的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)構(gòu)如圖2所示.

x1,x2,…,xr是輸入的語(yǔ)言變量，y是系統(tǒng)的輸出，MFij是第i個(gè)輸入變量的第j個(gè)隸屬函數(shù)，Rj是第j條模糊規(guī)則，Nj表示第j個(gè)歸一化結(jié)點(diǎn)，wj是第j個(gè)規(guī)則的結(jié)果參數(shù)或者連接權(quán)，u是系統(tǒng)總的規(guī)則數(shù),i=1,2,…,r,j=1,2,…,u.

第一層：輸入層.每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)輸入的語(yǔ)言變量.

第二層：隸屬函數(shù)層.每個(gè)節(jié)點(diǎn)分別代表一個(gè)隸屬函數(shù)，該隸屬函數(shù)采用高斯函數(shù):

(1)

其中，μij是xi的第j個(gè)隸屬函數(shù)，cij是xi的第j個(gè)隸屬函數(shù)的中心，σj是xi的第j個(gè)高斯隸屬函數(shù)寬度.r是輸入變量數(shù)，u是隸屬函數(shù)的數(shù)量，即系統(tǒng)總的規(guī)則數(shù).

第三層：T-范數(shù)層.每個(gè)結(jié)點(diǎn)分別代表一個(gè)可能的模糊規(guī)則中IF-部分.第j個(gè)規(guī)則Rj的輸出為

(2)

其中，X=(x1,x2,…,xr)∈Rr,Cj=(x1j,x2j,…,xrj)∈Rr，是第j個(gè)RBF單元的中心.

第四層：歸一化層.這些節(jié)點(diǎn)為N節(jié)點(diǎn)，第j個(gè)節(jié)點(diǎn)Nj的輸出為

(3)

第五層：輸出層.每個(gè)節(jié)點(diǎn)分別表示一個(gè)輸出變量，該變量是所有輸入信號(hào)的疊加,即

(4)

其中，y是輸出變量，wk是THEN-部分或第k個(gè)規(guī)則的連接權(quán).對(duì)于TSK模型,

wk=αk0+αk1x1+…+αkrxr,k=1,2,…,u.

(5)

將式(2)、(3)、(5)帶入式(4),則

(6)

2.2DFNN學(xué)習(xí)算法

Step0初始化模型預(yù)定義參數(shù)：輸入空間的最大長(zhǎng)度dmax，最小長(zhǎng)度dmin，衰減常數(shù)γ(0<γ<1)；模型設(shè)定最大誤差emax，期望精度emin，收斂常數(shù)β(0<β<1)；初始高斯隸屬函數(shù)寬度σ0；RBF神經(jīng)元重疊因子k(k>1)；RBF神經(jīng)元寬度更新因子kw(kw>1)；模糊規(guī)則顯著性閾值kerr；

Step1當(dāng)?shù)谝粋€(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)(X1,t1)得到后，此時(shí)DFNN還沒(méi)有建立起來(lái)，因此C1=X1,σ1=σ0；

Step4當(dāng)?shù)趇個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)(i=1,2,…,n;n>ls)進(jìn)入滑動(dòng)窗時(shí)，判斷i≤ls是否成立，若是，則所有的數(shù)據(jù)保留在窗中，轉(zhuǎn)Step 6；否則，轉(zhuǎn)Step 5；

Step5窗中數(shù)據(jù)通過(guò)接受ls個(gè)最新的數(shù)據(jù)，并刪除最舊的數(shù)據(jù)進(jìn)行更新，轉(zhuǎn)Step 6；

Step6根據(jù)文獻(xiàn)[12]提出每個(gè)RBF單元的可容納邊界不是固定的而是動(dòng)態(tài)調(diào)整的：開(kāi)始可容納邊界設(shè)置較大，以實(shí)現(xiàn)全局學(xué)習(xí)，隨著學(xué)習(xí)邊界逐漸減小，開(kāi)始局部學(xué)習(xí).令動(dòng)態(tài)參數(shù)kd=max[dmax×γi,dmin]，判斷dmin>kd是否成立，若是則轉(zhuǎn)Step 7；否則，轉(zhuǎn)Step 9；

Step8根據(jù)文獻(xiàn)[13]提出的誤差下降率作為修剪策略：ηi反應(yīng)第i個(gè)規(guī)則的重要性，ηi越大表示第i個(gè)規(guī)則越重要.判斷ηi

W=(α10…αu0α11…αu1…α1r…αur)；Ψ=(φ,φX1,…,φXr)T∈R(r+1)u×n.

Step11判斷i

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及預(yù)處理

對(duì)含有復(fù)雜條款認(rèn)股權(quán)證的定價(jià)研究將對(duì)認(rèn)股權(quán)證的投資起直接的指導(dǎo)作用，同時(shí)也可以提供風(fēng)險(xiǎn)控制策略支持，因而具有重要的實(shí)際意義.以認(rèn)股權(quán)證阿膠EJC1為研究對(duì)象，選取其上市時(shí)間2008-07-18至2009-04-09共175個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行定價(jià)分析，其中選取2008-07-18至2009-01-20的權(quán)證數(shù)據(jù)與標(biāo)的股票數(shù)據(jù)作為模型的訓(xùn)練樣本，2009-01-21至2009-03-24的相應(yīng)數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù).認(rèn)股權(quán)證阿膠EJC1(031007)的標(biāo)的股票為東阿阿膠(000423)，發(fā)行人為山東東阿阿膠股份有限公司.權(quán)證存續(xù)起始日為2008-07-18，存續(xù)終止日為2009-07-18；行權(quán)起始日為2009-07-13，行權(quán)終止日為2009-07-17.公司的流通股股數(shù)N為40 244.28萬(wàn)股，認(rèn)股權(quán)證份數(shù)m為13 094萬(wàn)份，執(zhí)行比例n為1∶1，初始執(zhí)行價(jià)X為5.50元；公司于2008-08-27日針對(duì)2007年業(yè)績(jī)實(shí)施分紅，8月28日除權(quán)后，認(rèn)股權(quán)證的最新執(zhí)行價(jià)X為5.434 9元.

因此，模型的輸入指標(biāo)為GT，X，T-t，r，σs，VG,i，Wi，VW,i，其中，Wi為認(rèn)股權(quán)證第i天的日收盤(pán)價(jià)，VG,i，VW,i分別為標(biāo)的股票與認(rèn)股權(quán)證第i天與第i-1天成交量自然對(duì)數(shù)的差(i=1,2,…,164).考慮到DFNN要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，設(shè)樣本數(shù)據(jù)為xi(i=1,2,…,n)轉(zhuǎn)化為[-1,+1]區(qū)間的數(shù)據(jù).

3.2實(shí)驗(yàn)評(píng)價(jià)指標(biāo)

采用以下評(píng)價(jià)指標(biāo)：v1是規(guī)格化的均方誤差，v2是平均絕對(duì)差，v3是方向一致性指標(biāo).其中，v1與v2是對(duì)預(yù)測(cè)值偏離實(shí)際值的一種度量，值越小表示預(yù)測(cè)的結(jié)果越準(zhǔn)確.v3則能衡量出定價(jià)方向的正確比率，值越大表示一致性越高.計(jì)算方法為

3.3實(shí)驗(yàn)環(huán)境與結(jié)果分析

采用Matlab語(yǔ)言在PC Pentium 4 /CPU 3.0 GHz /RAM 1.0 G上編程實(shí)現(xiàn)上述模型.為了測(cè)試模型的有效性，將模型對(duì)認(rèn)股權(quán)證阿膠EJC1的定價(jià)與實(shí)際價(jià)格進(jìn)行比較.

實(shí)驗(yàn)1：DFNN模型滑動(dòng)窗參數(shù)對(duì)定價(jià)效果的影響.

窗長(zhǎng)度ls在辨識(shí)時(shí)變系統(tǒng)中起著非常重要的作用.較小的ls將會(huì)導(dǎo)致極大地遺漏前面的數(shù)據(jù)，而較大的ls可能導(dǎo)致DFNN的更新能力下降，使得模型的參數(shù)無(wú)法辨識(shí).如圖3所示，當(dāng)ls∈[90,100)時(shí)，v1隨著ls值的變大而變小，v3先保持不變，后逐漸變大；當(dāng)ls∈[100,118]時(shí)，v1隨著ls的增大而逐漸平緩，同時(shí)v3先變大隨后逐漸平緩；當(dāng)ls∈(118,125]時(shí)，雖然v1仍有一定改善，但代表定價(jià)方向正確比率的v3卻降低了.因此，經(jīng)過(guò)比較,選取滑動(dòng)窗長(zhǎng)度ls=118.

(a) ls與v1的關(guān)系圖

(b) ls與v3的關(guān)系圖

圖4 非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)辨識(shí)Fig.4 Nonlinear dynamic system identification

實(shí)驗(yàn)2：DFNN模型與RBF模型定價(jià)評(píng)價(jià)指標(biāo)比較.

DFNN模型的各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)分別為：v1=0.084 5<0.120 2,v2=0.017 0<0.021 4,v3=82.05>69.23，不僅在精確度方面比RBF模型有所提高，而且在定價(jià)方向一致性上有較大改善.DFNN模型以WPM模型的定價(jià)結(jié)果與權(quán)證實(shí)際結(jié)果的差值作為指導(dǎo)信號(hào)，并結(jié)合標(biāo)的股票市場(chǎng)及權(quán)證市場(chǎng)中的交易量變化率等能夠反應(yīng)市場(chǎng)能量的指標(biāo)，使得DFNN不僅具有傳統(tǒng)權(quán)證定價(jià)一致性較好的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)能通過(guò)DFNN智能學(xué)習(xí)真實(shí)市場(chǎng)中的信息，實(shí)現(xiàn)定價(jià)的精確性.

DFNN模型能根據(jù)樣本特征動(dòng)態(tài)生成模糊規(guī)則，如圖4所示，經(jīng)過(guò)124個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，規(guī)則數(shù)穩(wěn)定在2.但規(guī)則數(shù)保持穩(wěn)定不代表規(guī)則不變，當(dāng)新的樣本數(shù)據(jù)加入，前提參數(shù)(寬度)和結(jié)果參數(shù)一直保持更新，而且一條新規(guī)則的產(chǎn)生可能會(huì)剔除一條或兩條已有的規(guī)則而同樣保持系統(tǒng)的精確.

另外，模型可以根據(jù)自動(dòng)生成的模糊規(guī)則建立針對(duì)含有復(fù)雜條款認(rèn)股權(quán)證的專(zhuān)家規(guī)則庫(kù).設(shè)xi,j表示第j個(gè)輸入樣本的第i維向量(i=1,2,…,5,j=1,2,…,40)，根據(jù)DFNN推導(dǎo)出模糊規(guī)則為

Rk:ifx1,jisμ1,kandx2,jisμ2,kandx3,jisμ3,kandx4,jisμ4,kandx5,jisμ5,kandx6,jisμ6,kandx7,jisμ7,kandx8,jisμ8,kthenuk,jisφk,j.

根據(jù)式(5)知,結(jié)果參數(shù)wk,j為

w1,j=517.75+180.94x1,j+12.60x2,j+434.04x3,j-276.95x4,j-283.50x5,j-16.39x6,j-217.96x7,j-5.12x8,j,

w2,j=-514.59-184.81x1,j-13.01x2,j-429.89x3,j+273.83x4,j-281.63x5,j+16.02x6,j+221.02x7,j+5.19x8,j.

最后，由式(6)推出含有復(fù)雜條款的認(rèn)股權(quán)證DFNN定價(jià)模型為y(X)=w1·φ1,j+w2·φ2,j.

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)含有復(fù)雜條款的認(rèn)股權(quán)證構(gòu)建了基于DFNN的定價(jià)模型.該模型無(wú)需對(duì)復(fù)雜、非線性且具有嚴(yán)重不確定性的金融系統(tǒng)提出經(jīng)驗(yàn)性假設(shè)條件，可利用傳統(tǒng)認(rèn)股權(quán)證定價(jià)模型以及相關(guān)的輸入/輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)并進(jìn)行預(yù)測(cè).DFNN定價(jià)模型能夠提取模糊規(guī)則，動(dòng)態(tài)生成網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)，自動(dòng)進(jìn)行輸入空間劃分.ERR修剪技術(shù)的應(yīng)用，使得網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不會(huì)持續(xù)增長(zhǎng)，避免了傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)擬合及過(guò)訓(xùn)練現(xiàn)象，確保了定價(jià)模型的泛化能力.研究DFNN定價(jià)模型滑動(dòng)窗長(zhǎng)度的取值范圍，并針對(duì)阿膠EJC1確定了最優(yōu)窗口長(zhǎng)度.仿真結(jié)果表明，所提出的DFNN認(rèn)股權(quán)證模型定價(jià)準(zhǔn)確性較高，具有傳統(tǒng)認(rèn)股權(quán)證定價(jià)模型對(duì)權(quán)證走勢(shì)判斷較為準(zhǔn)確的特點(diǎn)，為研究認(rèn)股權(quán)證定價(jià)提供了一種新思路，具有一定的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值.

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SlidingWindowedDFNNPricingModelofWarrantswithComplexTerms

SUN Bin， LI Tie-ke

(SchoolofEconomicsandManagement,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,Beijing100083,China)

A pricing model of warrants with complex terms was proposed based on dynamic fuzzy neural network (DFNN) and Black-Scholes model．In order to get optimized result-parameters of model with fixed-length time series data,a sliding window was set for DFNN．A dynamic adjustment approach of premise parameters was introduced to improve generalization ability of the model．Comparing with RBF pricing model,DFNN showed smaller deviation and higher accuracy in pricing EJiao EJC1．

warrant pricing;Black-Scholes model;sliding window;DFNN

F 830.91

A

1671-6841(2011)04-0104-06

2011-03-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號(hào)70771008，70371057.

孫彬(1983-)，男，博士研究生，主要從事金融工程及人工智能研究，E-mail:sunbinangel@yahoo.com.cn.