陳 曄,李勇華

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

格林關(guān)系是研究正則半群的一個(gè)重要工具,推廣正則半群的一個(gè)有效途徑是建立新的格林關(guān)系來研究更大的半群類.MCALISTER[1]和PASTIJN[2]首先提出格林*-關(guān)系,其定義如下:設(shè)S是半群,則

H*=L*∩R*,D*=L*VR*.

若半群S的每個(gè)L*-類和每個(gè)R*-類都含有一個(gè)冪等元,則稱S為富足半群.

文獻(xiàn)[3]利用S-系的張量積[4]闡述了PA分塊Rees矩陣半群的概念,下面引入一些準(zhǔn)備知識(shí).設(shè)I,Λ≠,Γ(≠)對(duì)I和Λ分別進(jìn)行分劃得到:P(I)={Iγ:γΓ},P(Λ)={Λγ:γΓ}.約定用i,j,k,h表示I中的元;用λ,μ,ν,ρ表示Λ中的元;用α,β,γ,δ表示Γ中的元.對(duì)于任意的序?qū)?α,β)?！力?設(shè)Mαβ是這樣一個(gè)集合,它滿足:對(duì)于任意的α,Mαα=Tα是僅含一個(gè)冪等元eα的幺半群且對(duì)于α≠β,要么Mαβ=,要么Mαβ是一個(gè)(Tα,Tβ)-雙系.0(零元)表示不在任何Mαβ中的元.

文獻(xiàn)[5]定義了半群上的格林°-關(guān)系,從而獲得了一類半群——°-富足半群:設(shè)S是半群,則

H°=L°∩R°,D°=L°∨R°.

如果半群S的每個(gè)L°-類和每個(gè)R°-類都含有冪等元,則稱S是°-富足半群.不難驗(yàn)證L°是S上的等價(jià)關(guān)系.設(shè)S是半群,則L?L*?L°.若S是正則的,則L=L*=L°.

本文第1節(jié)給出了格林°-關(guān)系的幾個(gè)基本性質(zhì).第2節(jié)用°-幺半群和這類半群的雙系構(gòu)造了一類新的半群——PCA分塊Rees矩陣半群.FOUNTAIN[3]用可消幺半群和雙系構(gòu)造了PA分塊Rees矩陣半群,并證明了每一個(gè)含零的本原富足半群都同構(gòu)于一個(gè)PA分塊Rees矩陣半群.作為半群類的擴(kuò)張，本文第3節(jié)證明了每一個(gè)含零的本原°-富足半群都同構(gòu)于一個(gè)PCA分塊Rees矩陣半群.最后給出例子說明一個(gè)半群可以是本原°-富足半群,但不是本原富足半群.

對(duì)于本文中沒有給出的術(shù)語和記號(hào),請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4].

1 °-關(guān)系的幾個(gè)基本性質(zhì)

命題2 設(shè)半群S滿足條件(C),D°是S的一個(gè)D°-類且e是D°中一個(gè)冪等元.令A(yù)=B∩C,其中B=∪{L°f:f2=f且fDe},C=U{R°g:g2=g且ggDe}.則

(4)含冪等元的集合A中任意2個(gè)H°-類都是互相同構(gòu)的°-幺半群.

從而H°f和H°g是互相同構(gòu)的°-幺半群.

引理1 設(shè)e,f是半群S中的冪等元.若H°=R°e∩L°f≠,則S中的乘法使得H°成為一個(gè)(H°e,H°f)-雙系.

證明略.

2 PCA分塊Rees矩陣半群

首先給出關(guān)于PCA分塊Rees矩陣半群的定義:分塊Rees矩陣半群M°(Mαβ;I,Λ,Γ;P)若滿足下面3個(gè)條件,則稱之為PCA分塊Rees矩陣半群:

事實(shí)上,條件(C)°使得每一個(gè)Tα成為一個(gè)°-幺半群.

命題4 設(shè)S=M°(Mαβ;I,Λ,Γ;P)是一個(gè)PCA分塊Rees矩陣半群,則:

(2)(a)iλ,(b)jμ為S中非零元,(a)iλL°(b)jμ當(dāng)且僅當(dāng)i=j;

(3)(a)iλ,(b)jμ為S中非零元,(a)iλR°(b)jμ當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ;

(4)S是°-富足的,且S中所有非零冪等元都是本原的;

2.3 兩組患者手術(shù)中、手術(shù)后并發(fā)癥比較 觀察組和對(duì)照組手術(shù)均順利完成，手術(shù)中及手術(shù)后無并發(fā)癥發(fā)生，均無中轉(zhuǎn)開腹，兩組手術(shù)中、手術(shù)后并發(fā)癥差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＞0.05）。

(3)證明過程類似于(2).

(a)iλ°(b)jμ°(a)iλ=(apλjbpμ ia)iλ=(a)iλ,
(b)jμ°(a)iλ°(b)jμ=(bpμ iapλjb)jμ=(b)jμ,

引理2 定義映射ψE,E,ηE如下:

則ψE,E,ηE都是雙射并且滿足iIα(λΛα)當(dāng)且僅當(dāng)iψE?αηE(λE?αηE).

定理1 設(shè)S=M°(Mαβ;I,Λ,Γ;P),T=M°(Nγδ;J,Ω,Δ;Q)是PCA分塊Rees矩陣半群.則S和T是同構(gòu)的當(dāng)且僅當(dāng)下面幾個(gè)條件成立:

(1)存在ψ:I→J,:Λ→Ω,η:?！な沟胕Iα(λΛα)當(dāng)且僅當(dāng)iψJαη(λΩαη);

(abc)φαβ=(aφαγ)(bφγδ)(cφδβ);

證明設(shè)θ:S→T是一個(gè)同構(gòu)映射.

(2)由引理3知Mαβ=當(dāng)且僅當(dāng)H°i(α)λ(β)=.對(duì)于任意的αΓ，選取(i(α),λ(α))Iα×Λα,使得pλ(α)i(α)是Tα中的一個(gè)單位.由于是S中的冪等元,則它在θ下的象是T中的冪等元.令j(αη)=i(α)ψ,μ(αη)=λ(α),則qj(αη)μ(αη)是Uαη中的單位.則由引理3,對(duì)于任意滿足Mαβ≠的(α,β)?！力?有映射ψαβ:Mαβ→H°i(α)λ(β)和ψαη,βη:Nαη,βη→H°j(αη)μ(βη).設(shè)θαβ:H°i(α)λ(β)→H°j(αη)μ(βη)是θ在H°i(α)λ(β)上的限制.則顯然θαβ是雙射且可以記則對(duì)于任意的aMαγ,bMγδ,cMδβ(其中Mαγ,Mγδ,Mδβ都是非空的),有

(aφαγ)(bφγδ)(cφδβ).

(pλi)i(β)λ(α)=(eβpλieα)i(β)λ(α)=(eβ)i(β),λ°(eα)i,λ(α),

由定理1的(2)知φαα是Tα到Uαη=Nαη,αη上的同構(gòu).若對(duì)于任意的α,Tα和Uαη在同構(gòu)意義下相等,從而φαβ是Mαβ到Nαη,βη上的(Tα,Tβ)-同構(gòu).

3 本原°-富足半群

如果半群中每個(gè)非零冪等元都是本原的,那么稱這個(gè)半群是本原半群.這一節(jié)主要闡述這樣一個(gè)結(jié)論:每個(gè)含零的本原°-富足半群都同構(gòu)于一個(gè)PCA分塊Rees矩陣半群.下面是與文獻(xiàn)[3]中結(jié)論平行的幾個(gè)結(jié)論(證明略).

引理4 若e,f是含零的本原半群S中的冪等元且eS?fS(Se?Sf),則eS=fS(Se=Sf)或者e=0.

假設(shè)S是含零的本原°-富足半群.設(shè)a,b是S中的非零元,e,f是S中的冪等元且aR°e,bL°f.另外考慮條件(Z):ba=0當(dāng)且僅當(dāng)fe=0.

推論2 在一個(gè)含零的本原°-富足半群S上,

(1)H°關(guān)系是同余關(guān)系;

(2)若H°是S的一個(gè)H°-類,則H°是S的子半群,或H°H°={0}.

命題5 設(shè)e,f含零的本原°-富足半群S中的冪等元.若e,f不是D-相關(guān)的且ef,fe都是非零元,則H°ef且H°fe都是S的子半群,其中不含恒等元.

證明略.

定理2 若S是含零的本原°-富足半群,則S同構(gòu)于一個(gè)PCA分塊Rees矩陣半群;且任意PCA分塊Rees矩陣半群都是含零的本原°-富足半群.

證明由命題4的(4)知PCA分塊Rees矩陣半群是含零的本原°-富足半群.

定理2表明當(dāng)S是正則半群時(shí),利用命題4可得這一矩陣半群的其他性質(zhì).設(shè)M°=M°(Mαβ;I,Λ,Γ;P)是正則PCA分塊Rees矩陣半群.由命題4的(6)知,零元(a)iλ滿足a是Tα中的單位.故只要α≠β,則Mαβ是空集,且每個(gè)Tα是群.反之,M°滿足這些條件,則由命題4知M°是正則的.在這種情況下M°同構(gòu)于Rees矩陣半群

參考文獻(xiàn)：

[1] MCALISTER D B. One-to-one partial right translations of a right cancellative semigroup[J]. J Algebra, 1976, 43: 231-251.

[2] PASTIJN F. A represention of a semigroup by a semi-group of matrices over a group with zero[J]. Semigroup Forum, 1975, 10: 238-249.

[3] FOUNTAIN J B. Abundant semigroups[J]. Proc London Math Soc, 1982, 44: 103-129.

[4] HOWIE J M. Fundamentals of semigroup theory[M]. Oxford: Oxford University Press, 1995.

[5] 邱傳林. 格林 °-關(guān)系和 °-富足半群[D]. 廣州: 華南師范大學(xué), 2009.