林丹玲, 俞元洪

(1.韓山師范學院數(shù)學與信息技術系，廣東潮州 521041；2.中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院，北京 100190)

近年來，中立型時滯微分方程振動性的文獻增長很快, 因為它在國民經(jīng)濟和許多高科技領域中有著廣泛的應用. 事實上, 中立型時滯微分方程出現(xiàn)在無損傳輸線的網(wǎng)絡模型中、 在與彈性棒連接的振動質(zhì)量的研究中、在慣性起重要作用的神經(jīng)力學系統(tǒng)中,以及自動控制理論中都有重要應用[1-3]. 最近, 文獻[4]得到如下形式的非線性時滯微分方程振動的充分條件

x′(t)+p(t)g(x(t-t(t)))=0,

(1)

其中

(2)

(3)

文獻[4]的主要結(jié)果如下:

定理A 設條件(2)和(3)成立, 存在ε>0,M≥0和r>0,使得

|g(u)-u|≤M|u|1+r,|u|<ε.

若

且

本文目的是將定理A的結(jié)果推廣到非線性中立型時滯微分方程

[x(t)-q(t)x(t-σ(t))]′+

f(t,x(t-t(t)))=0 (t≥t0>0),

(4)

其中

(5)

(6)

(7)

ug(u)>0,g′(u)≥0,

|f(t,u)|≥p(t)|g(u)| (u≠0),

(8)

(9)

下面將建立方程(4)的振動準則,改進了文獻[3]、[4]、[9]和[10]等結(jié)果.

定理1 設條件(5)～(9)成立. 若

(10)

且

(11)

證明設方程(4)存在非振動解, 不失一般性, ?t1≥t0,使得當t≥t1時有x(t)>0,x(t-σ(t))>0和x(t-t(t))>0. 令

z(t)=x(t)-q(t)x(t-σ(t)),

(12)

則有

z′(t)=-f(t,x(t-t(t)))<0,

故z(t)嚴格單減.我們斷言z(t)>0,t≤t1.否則,?t2≥t1使得z(t2)=c<0. 因此, 當t≥t2時有z(t)≤c.則由式(12)可得

x(t)≤c+q(t)x(t-σ(t)),t≥t2.

(13)

考慮下列2種情況:

聯(lián)合式(6)和(13),得到

x(tk)≤c+q(tk)x(tk-σ(tk))≤c+x(tk),

因c<0, 故上式矛盾.

由式(6)和(13)有

x(tk)≤c+q(tk)x(tk-σ(tk))≤c+x(tk-σ(tk)),

則

如果α>0,由式(8)可得

f(t,x(t-t(t)))≥p(t)g(x(t-t(t))).

聯(lián)合上式和方程(4)有

z′(t)+p(t)g(x(t-t(t)))≤0.

(14)

注意式(14)有最終正解等價于

z′(t)+p(t)g(x(t-t(t)))=0

(15)

有最終正解. 另一方面,式(15)滿足定理A的條件, 根據(jù)定理A, 式(15)振動.顯然矛盾. 定理1證畢.

定理2 設條件(5)～(9)成立. 若

(16)

或

(17)

證明設方程(4)有非振動解, 不失一般性, ?t1≥t0,使得當t≥t1時有x(t)>0,x(t-σ(t))>0和x(t-t(t))>0.如同定理1的證明, 由條件(8)和(9)，對t≥t1有

f(t,x(t-t(t)))≥p(t)g(x(t-t(t)))≥

p(t)g(z(t-t(t)))≥p(t)z(t-t(t))[1-Mzr(t-t(t))].

聯(lián)合上式和方程(4)可得

z′(t)+p(t)z(t-t(t))[1-Mzr(t-t(t))]≤0(t≥t1).

(18)

z′(t)+Q(t)z(δ(t))≤0.

(19)

由文獻[3]的推論3.2.2知時滯微分不等式(19)有最終正解當且僅當時滯微分方程

z′(t)+Q(t)z(δ(t))=0

(20)

有最終正解. 另一方面,由文獻[3]的定理3.4.3知,條件(16)或(17)使得方程(20)無最終正解. 矛盾, 定理2得證.

設

其中，0

注1 由定理2知, 當條件(A)～(E)之一成立且條件(5)～(9)成立時, 方程(4)也是振動的.

定理3 設t(t)≡t>0且條件(5)～(9)成立. 若?T0≥t0,使得當t≥T0時,

(21)

且

(22)

其中d>0為常數(shù), 則方程(4)振動.

證明設方程(4)有非振動解, 不失一般性,?t1≥t0, 使得當t≥t1時有x(t)>0,x(t-σ(t))>0和x(t-t)>0. 如同定理1及定理2的證明一樣, 由式(18)知,?T≥T0≥t1, 使得當t≥T時有

(23)

則z(t)是式(23)的正解. 令λ(t)=-z′(t)/z(t)，故λ(t)是非負連續(xù)的. 因此,有廣義特征不等式

(24)

利用不等式

(25)

由式(24)、(25)可得

(26)

則對N>T,有

(27)

交換積分次序,得到

因此

(28)

聯(lián)合式(27)、(28),有

亦即

(29)

因z(t)為正的減函數(shù), 從t到t+t對式(23)積分, 可得

(30)

則

故有

(31)

聯(lián)合式(29)、(31)可得

即

注意到式(22),有

(32)

另一方面,由文獻[4]的引理,可知z(t-λ)/z(t)有界,矛盾, 定理3證畢.

(t≥λ(λ-1)+1),

(33)

其中λ>1, 且

令

和

g(x(t-t))=|x(t-t)|r(r>1).

易知條件(5)～(9)成立. 對于t≥λ(λ-1)+1,有

且

另一方面, 注意到

和

有

則由定理1知方程(33)振動.

參考文獻：

[1] AGARWAL R P, GRACE S R, O′REGAN D. Oscillation theory for difference and functional differential equations[M]．Dordrecht: Kluwer, 2000.

[2] BOE E, CHANG H C. Dynamics of delayed systems under feedback control [J]. Chem Engg Sci, 1989, 44: 1281-1294.

[3] GY?RI I, LADAS G. Oscillation theory of delay differential equations with applications [M]. Oxford:Clarendon Press, 1991: 368.

[4] LI B, KUANG Y. Sharp condition for oscillations in some nonlinear nonautonomous delay differential equations [J].Nonlinear Anal, 1997, 29: 1265-1276.

[5] ELABBASY E M, HASSAN T S, SAKER S H. Oscillation criteria for first order nonlinear neutral delay differential equations[J]. J Appl Math Comput, 2006, 21: 99-118.

[6] ELABBASY E M, HASSAN T S, SAKER S H. Oscillation criteria for first order nonlinear neutral delay differential equations[J]. J Differential Equations, 2005, 134: 1-18.

[7] TANG X H, LIN X. Necessary and sufficient conditions for oscillation of first order nonlinear neutral differential equations [J]. J Math Anal Appl, 2006, 321: 553-568.

[8] LIN X, TANG X H. Oscillation of solutions of neutral differential equations with a super linear neutral term [J]. Appl Math Letters, 2007, 20: 1016-1022.

[9] KWONG M K. Oscillation of first order delay equations [J]. J Math Anal Appl, 1991, 159: 469-484.

[10] YU J S, WANG Z C. Some further results on oscillation of neutral equations [J]. Bull Austral Math Soc, 1992, 46: 149-157.

[11] JAROS J, STAVROULAKIS I P. Oscillation tests for delay equations [J]. Rocky Mountain J Math, 1999, 28: 197-207.

[12] KON M, SFICAS Y G, STAVROULAKIS I P. Oscillation criteria for delay equations [J]. Proc Amer Math Soc, 2000, 128: 2989-2997.

[13] SFICAS Y G, STAVROULAKIS I P. Oscillation criteria for first order delay equations [J]. Bull Landon Math Soc, 2003, 35: 239-246.