陳長青，解永春

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京100190)

交會對接自由漂移軌跡安全性判斷研究

陳長青1，2，解永春1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京100190)

針對長方形禁飛區(qū)下，近距離交會對接過程提出任意初始狀態(tài)下軌跡安全的判斷方法.先分析CW方程描述下相對運(yùn)動軌跡的性質(zhì)，通過分析軌跡與禁飛區(qū)最可能相交的特征點的分析和軌跡越過禁飛區(qū)相交問題的判斷，判斷軌跡是否安全.仿真結(jié)果表明所提出的安全判斷方法能準(zhǔn)確給出軌跡是否安全的結(jié)論，且算法簡單、計算量小.

交會對接;軌跡安全判斷;長方形禁飛區(qū);CW方程

空間交會對接技術(shù)難度大，系統(tǒng)復(fù)雜，盡管采取了各種措施，失敗仍時有發(fā)生.近十年的交會對接試驗中，有日本的工程試驗衛(wèi)星 ETS-VII[1]、美國的DART衛(wèi)星等因為故障影響任務(wù)進(jìn)行或提前終止任務(wù).所以在交會對接過程中，特別是在自動、自主交會對接過程中，軌跡安全是一個重要的課題[2].文獻(xiàn)[3]給出了V-bar(軌道坐標(biāo)系中衛(wèi)星飛行方向所在的坐標(biāo)軸)接近時軌跡被動安全的速度分布圖，并比較了相同速度大小下 V-bar和R-bar(軌道坐標(biāo)系中指向地心的坐標(biāo)軸)接近兩種方式中，軌跡安全區(qū)域大小的關(guān)系.文獻(xiàn)[4]研究了一種路徑規(guī)劃工具，利用該工具可以設(shè)計觀察照相機(jī)在空間站附近從對接點到特殊觀察點，以及返回過程中的安全軌跡.文獻(xiàn)[5]以+V-bar逼近為例，針對長方形禁飛區(qū)和球形禁飛區(qū)，給出了被動安全模式和主動安全模式及其規(guī)避機(jī)動的設(shè)計方法.文獻(xiàn)[6]研究了交會對接過程中V-bar負(fù)方向單脈沖撤離的軌跡安全問題，給出了V-bar軸上徑向相對速度不為零時的兩類軌跡安全時的充分必要條件.文獻(xiàn)[7]針對交會對接長方形禁飛區(qū)提出兩類撤離模式，并分析與禁飛區(qū)最可能相交的點的特征，通過兩個定理給出這兩類撤離模式自由漂移軌跡安全的充分必要條件.

有不少學(xué)者在研究最優(yōu)脈沖交會中，把軌跡安全當(dāng)作一個約束，利用數(shù)值方法獲得安全的最優(yōu)脈沖解.文獻(xiàn)[8]利用線性優(yōu)化方法研究了存在“xsafe”安全約束下的V-bar接近過程中的燃料優(yōu)化問題.文獻(xiàn)[9]利用包含離散環(huán)節(jié)的線性規(guī)劃方法設(shè)計了存在避免碰撞和羽流影響約束下的飛行軌跡.文獻(xiàn)[10]介紹了一種避碰約束下在線優(yōu)化交會軌跡的方法，并提出凸的避碰公式加快在線計算速度.文獻(xiàn)[11]和[12]在研究多目標(biāo)最優(yōu)交會中，把兩航天器的最小的相對距離作為其中的一個約束，保證求得的軌跡是安全的.

在交會對接過程中，對軌跡安全性的判斷也是一個重要內(nèi)容.只有在短時間內(nèi)正確地完成對軌跡的安全判斷，才能采取有效的措施避免事故發(fā)生.文獻(xiàn)[3-7]只能針對一些特殊的情況設(shè)計安全軌跡，文獻(xiàn)[8-12]利用數(shù)值計算的方法研究軌跡安全約束下的最優(yōu)交會問題，計算量大.這些文獻(xiàn)的研究都在建立在CW方程的基礎(chǔ)上，所以針對CW方程描述的近距離交會對接過程提出一種簡單有效的軌跡安全判斷方法是必要的.

本文將研究長方形禁飛區(qū)下、任意初始相對狀態(tài)的自由漂移軌跡的安全判斷問題，通過對一些特征點的分析和相交問題判斷，提出一種簡單有效的軌跡安全判斷方法.

1 動力學(xué)方程和問題描述

本文研究近距離交會對接過程中的軌跡安全判斷問題，其相對運(yùn)動可以用CW方程來描述.對CW坐標(biāo)系的定義如下:參考系建立在目標(biāo)航天器質(zhì)心，X軸正方向沿目標(biāo)航天器的飛行負(fù)方向，Z軸正方向指向地心，Y軸方向、X軸方向和Z方正向滿足右手定則.可以得到自由漂移在軌道平面內(nèi)的CW方程[2]如下:

其中ω為參考軌道的軌道角速度.記αt=ωt，t為交會時間，αt稱為相位角，當(dāng)初始相對狀態(tài)為 x0，z0，˙x0，˙z0時，式(1)的解析解為:

記:

則式(2)可寫成:

其中，

式(4)寫成移動橢圓的形式如下:

以目標(biāo)航天器質(zhì)心為中心建立長方形禁飛區(qū)，如圖1，陰影部分為禁飛區(qū)，禁飛區(qū)在X軸方向的長度為2a，在Z軸方向的寬度為2b.軌跡是安全的，是指自由漂移軌跡在任意時刻都不能與禁飛區(qū)相交.

由式(4)可知，若軌跡上存在滿足˙x(αt)=0的點，必須|3a2|≦ 2a3，否則|3a2|＞2a3.把滿足|3a2|＞2a3的軌跡定義為第Ⅲ類軌跡.當(dāng)˙x(αt)=0時，z(αt)=a2/2.根據(jù)滿足˙x(αt)=0時軌跡上點的徑向位置與禁飛區(qū)的關(guān)系，定義滿足|3a2|≦2a3且|a2≦2b的軌跡為第Ⅰ類軌跡，滿足|3a2|≦2a3且|a2＞2b的軌跡為第Ⅱ類軌跡.第Ⅰ類軌跡、第Ⅱ類軌跡、第Ⅲ類軌跡包含了利用CW方程描述的所有軌跡.

表1 軌跡分類

圖1 禁飛區(qū)下的安全軌跡

圖2 a2≠0時的兩類自由漂移軌跡

由式(6)可知，當(dāng)a2=0時，自由漂移軌跡為一封閉橢圓.當(dāng)a2≠0時，自由漂移軌跡只有兩種形狀，如圖2，兩種曲線在一個周期內(nèi)都存在最高點和最低點，且只有一個開口.當(dāng)a2＜0時，自由漂移軌跡往X軸正方向移動，開口部分朝下(圖2中上方的圖);當(dāng) a2＞0時開口部分朝上(圖2中下方的圖)，自由漂移軌跡向X軸負(fù)方向移動.

下面將根據(jù)a2的大小分3種情況研究軌跡的安全判斷方法.當(dāng)a2=0時，自由漂移軌跡為封閉橢圓，其安全性容易判斷.從式(2)可以看出，當(dāng)a2≠0時，初始相對狀態(tài)為x0，z0，˙x0，˙z0和-x0，-z0，-˙x0，-˙z0的兩組曲線是中心對稱的，所以滿足a2＜0的自由漂移軌跡的安全判斷規(guī)則很容易推廣到a2＞0的情況下.a2≠0時的軌跡安全判斷主要包括如下兩個內(nèi)容:(1)通過對極值型特征點進(jìn)行分析判斷軌跡的安全性;(2)當(dāng)從極值型特征點無法確定軌跡的安全性時，需要通過相交問題判斷確定軌跡的安全性.

2 極值型特征點和相交問題判斷

2.1 極值型特征點及其性質(zhì)

先考慮a2＜0時的情況，如圖3，分別定義第Ⅰ類軌跡、第Ⅱ類軌跡和第Ⅲ類軌跡對應(yīng)的極值型特征點，并分析這些特征點的性質(zhì).

圖3 a2＜0時的極值型特征點

容易分析α1在第一象限，α2在第二象限.對于確定的初始相對狀態(tài)，α1，α2可以通過式(7)求得.

對于第Ⅱ類軌跡，滿足˙x(αt)=0的極值點的徑向位置|z(αt)|＞b，不可能落入禁飛區(qū)，所以我們考慮滿足z(αt)=-b時的特征點，并定義為第Ⅱ類軌跡的極值型特征點.如圖3，相位角為 α3，α4的點是軌跡上的兩個極值型特征點，由式(4)可以得到:可以分析得到:α3在第一象限，α4在第二象限.對于確定的初始相對狀態(tài)，可以通過式(8)求得α3，α4.

對于第Ⅲ類軌跡，當(dāng) a2＜0時滿足-3a2＞2a3.由式(4)可知，當(dāng)αt=2kπ+π/2時，|˙x(αt)|取到最小值.由式(4)知，當(dāng) αt=π/2 時，z(αt)=2a2+a3.若z(αt)≥ -b，則把軌跡上相位角為 2kπ+π/2的點定義為極值型特征點，k為整數(shù)，其相位角用α1，α2表示.若 z(αt)＜-b，則把軌跡上滿足 z(αt)=-b的點定義為極值型特征點，其相位角用 α3，α4表示，與第Ⅱ類軌跡一樣，相位角 α3，α4可以由式(8)求得.

上述3種軌跡中，在求出相位角 α(α=α1，α2，α3，α4)后，通過式(9)可以求得該特征點在 X軸方向?qū)?yīng)的相對位置 Xα(Xα=Xα1，Xα2，Xα3，Xα4):記 Xα1，Xα3為 Xmin0，Xα2，Xα4為 Xmax0，進(jìn)一步可以求得Xmin1=Xmin0-6a2π.通過判斷 Xmax0、Xmin0與 a， -a 的關(guān)系確定軌跡的安全性.

a2＞0時軌跡上的極值型特征點及其性質(zhì)與a2＜0時的類似，如圖4.對于第Ⅰ類軌跡，其極值型特征點滿足˙x(αt)=0，相位角同樣滿足式(7)，即sinα1=sinα2=-3a2/2a3，但是 α1在第三象限，α2在第四象限.對于第 II類軌跡，在極值型特征點處滿足 z(αt)=b，其相位角為 α3，α4，且滿足式(10):α3在第三象限，α4在第四象限.對于第Ⅲ類軌跡，滿足3a2＞2a3.先由式(4)計算 αt=3π/2時對應(yīng)的z(αt)，若 z(αt)≦b，定義軌跡上相位角為2kπ+3π/2時的點為極值型特征點，其相位角記為 α1，α2，k為整數(shù).若z(αt)＞b，則定義軌跡上滿足 z(αt)=b的特征點為極值型特征點，其相位角為 α3，α4，與第II類軌跡一樣可以由式(10)求得.

圖4 a2＞0時的極值型特征點

根據(jù)相位角的正弦值以及其所在的象限可以求出相位角，同樣可以利用式(9)求得極值型特征點在X軸方向的相對位置.并記 α1或 α3對應(yīng)的相對位置為 Xmax0，α2或 α4對應(yīng)的相對位置為 Xmin0，進(jìn)一步可以求得 Xmax1=Xmax0-6a2π.通過判斷 Xmax0、Xmin0與a，-a的關(guān)系確定軌跡的安全性.

2.2 相交問題判斷

在禁飛區(qū)附近，在自由漂移軌跡穿越禁飛區(qū)的過程中，需要對如圖5所示的可能與禁飛區(qū)相交的特征點進(jìn)行判斷來確定軌跡的安全性，稱之為相交問題判斷.

圖5 相交問題判斷

具體的判斷過程如下:

先考慮 a2＜0的情況，如圖5，相位角為 αj1，αj2的特征點滿足 sinαji=(b-2a2)/a3，αj1在第一象限，αj2在第二象限，在初始相對狀態(tài)已知時，顯然αj1，αj2容易求得.類似的相位角為 αj3，αj4的特征點滿足sinαji=(-b-2a2)/a3，i=3，4，αj3在第二或第三象限，αj4在第一或第四象限.對于一組確定的初始條件，αj3，αj4只能在一個確定的象限內(nèi)，可以求得 αj3，αj4.在求得相位角 αji，i=1，2，3，4 后，通過式(11)可以求得這些特征點在X軸方向的相對位置Xji(i=1，2，3，4).

若任意的一個Xji滿足 -a≦Xji≦a，則軌跡與禁飛區(qū)相交，是不安全的.

在相交問題判斷之前，需要先確定自由漂移軌跡在越過禁飛區(qū)過程中包含禁飛區(qū)的圈數(shù):

Floor為取整函數(shù)，則進(jìn)行 M次的 4個 Xji(i=1，2，3，4)的判斷可確定軌跡是否安全.在判斷過程中，在某些情況下只需對部分的Xji進(jìn)行判斷就能確定軌跡的安全性.

a2＞0時的相交問題判斷與a2＜0時類似，但存在如下兩點區(qū)別.第一，在求特征點相位角的過程中，相位角所在的象限不同，即 αj1在第一或第四象限，αj2在第二或第三象限，αj3在第三象限，αj4在第四象限;第二，在求解軌跡包含禁飛區(qū)的圈數(shù)時，式(12)應(yīng)該改為:

2.3 固定橢圓軌跡的安全判斷

當(dāng)a2=0時，軌跡是一個中心在 X軸上的封閉橢圓，其在X軸方向的最大、最小值為:

若Xmin＞a或 Xmax＜-a成立，則軌跡安全;若 -a≦Xmin≦a或 -a≦Xmax≦a成立，則軌跡不安全;若Xmin＜-a且 Xmax＞a，通過式(15)求解 x(αt)=a和x(αt)=-a時的 z(αt)2:

若Z-P1＞b2，Z-P2＞b2成立則軌跡是安全的，否則軌跡不安全.

3 仿真分析

在仿真中，任意給出一組初始相對狀態(tài)，通過本文提出的軌跡安全判斷方法給出軌跡是否安全的結(jié)論.包括兩個仿真，即一個具體軌跡安全判斷算例以及一組徑向位置和切向速度不同的軌跡安全判斷算例.在第二個仿真中，軌跡安全判斷的結(jié)果以表格的形式出現(xiàn)，其中“1”表示不安全，“0”表示安全.在仿真過程中，參考坐標(biāo)系的軌道角速度ω=0.00113 rad/s，禁飛區(qū)參數(shù) a=50m，b=50m.

仿真1.具體的軌跡安全判斷算例

自由漂移軌跡的初始相對狀態(tài)為x0=-160m，z0=10m，˙x0=-0.035m/s，˙z0=-0.1m/s，通過以下步驟判斷該軌跡的安全性.

(1)計算參數(shù)a2=-10.9735;

(2)軌跡滿足 -2b＜a2＜0，x0＜-a，屬于第Ⅰ類軌跡，選擇相位角為α1，α2的極值型特征點，先求出特征點的相位角，再求特征點在X軸方向?qū)?yīng)的相對位置:Xmin0=-162.6619，Xmax0=322.8764，Xmin1=44.1828，顯然有 -a≦Xmin1≦a，所以軌跡是不安全的.

圖6是該軌跡的運(yùn)動圖形，可以看到自由漂移軌跡進(jìn)入禁飛區(qū)，是不安全的，與軌跡安全判斷方法得到的結(jié)果是一致的.

圖6 軌跡安全判斷算例

仿真2.徑向位置和切向速度不同時的三組軌跡安全判斷仿真算例

第一次仿真的初始相對狀態(tài)為x0=100m，z0=0m，˙x0=-0.02m/s，˙z0=0m/s，進(jìn)行3組24次的仿真，如表 2～表 4，三組仿真中 z0分別滿足 z0=-5m，z0=0m，z0=5m，每組的8次仿真中第一次仿真的˙x0=-0.02m/s，從第二次仿真開始，每次仿真的˙x0在前一次仿真的˙x0上增加0.005m/s，其他的初始相對狀態(tài)不變，判斷結(jié)果如下:

從表 2～4可以看到，滿足 a2＜0，a2=0，a2＞0的三類軌跡都出現(xiàn)了，對每次的仿真進(jìn)行驗證，可以看到判斷結(jié)果是正確的.

表2 仿真2中z0=-5m時的軌跡安全判斷結(jié)果

表3 仿真2中z0=0m時的軌跡安全判斷結(jié)果

表4 仿真2中z0=5m時的軌跡安全判斷結(jié)果

從上面兩組仿真上看，本文提出的軌跡安全判斷方法，能根據(jù)軌跡的初始相對狀態(tài)有效地判斷出軌跡的安全性.該判斷方法只需進(jìn)行一些簡單的判斷、代數(shù)運(yùn)算和三角運(yùn)算，計算量很小.

4 結(jié) 論

本文針對長方形禁飛區(qū)，提出任意初始相對狀態(tài)下，通過對極值型特征點的分析和相交問題判斷的軌跡安全判斷方法.該方法只需要進(jìn)行一些三角函數(shù)運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算就能完成軌跡安全的判斷，算法簡單、計算量小.仿真結(jié)果表明本文提出的軌跡安全的判斷方法，能根據(jù)軌跡的初始相對狀態(tài)，給出軌跡是否安全的結(jié)論，且算法簡單，計算量小.

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Safety Estim ation of the Trajectory of Rendezvous and Docking

CHEN Changqing1，2， XIE Yongchun1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering， Beijing 100190，China;2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory， Beijing 100190，China)

An approach for estimating the safety of trajectories with arbitrary initial relative states for rectangular keep-out-zone during the rendezvous phase is proposed in this paper.The relative motions are described by CW equations， based on which the problem of safety estimation is analyzed.Then， the extremum characteristic points and their properties are analyzed， and the judgment of the“intersection problem”is also presented.Simulation results show that the proposed method is simple and effective in getting the proper judgement of the trajectory’s safety.

rendezvous and docking;estimation of trajectory’s safety;rectangular keep-out-zone;CW equation

V249

A

1674-1579(2011)06-0047-05

DO I:10.3969/j.issn.1674-1579.2011.06.008

2011-07-13

陳長青(1979—)，男，福建人，工程師，研究方向為交會對接的制導(dǎo)和控制(e-mail:changqingchen@hotmail.com).