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        Littlewood-Paley算子的多線性交換子在一類Block-Hardy空間上的加權(quán)有界性

        2011-11-24 07:11:28曾甲生
        關(guān)鍵詞:交換子正整數(shù)常數(shù)

        曾甲生

        (湖南商學(xué)院信息學(xué)院,湖南 長沙 410205)

        1 引言

        Littlewood-Paley 算子作為分析數(shù)學(xué)中一個十分重要的積分算子,本文提出了Littlewood-Paley 算子相關(guān)聯(lián)的多線性交換子的概念,并將研究它們在Hardy型空間中的有界性.我們先給出一些記號和定義.

        設(shè)B=B(x0,r)表示中心為x0半徑為r的球.給定B和局部可積函數(shù)f,令

        稱f屬于BMO,若f#∈L∞并且定義‖f‖BMO=‖f#‖L∞.

        設(shè)m為正整數(shù),bj(x)(j=1,…m)為可積函數(shù),對任意的正整數(shù)1≤j≤m,我們記

        本文將要研究的Littlewood-Paley算子定義如下:

        令ε≥0以及確定一個函數(shù)φ,滿足如下條件:

        (2)|φ(x)|≤C(1+|x|)-(n+ε);

        (3)|φ(x+y)-φ(x)|≤C|y|ε(1+|x|)-(n+1+ε).

        設(shè)m為正整數(shù),bj(x)(j=1,…m)為可積函數(shù),則由Littlewood-Paley算子和bj(x)生成的多線性交換子定義為:

        定義1設(shè)m為正整數(shù),bj(x)(j=1,…m),w(x)為可積函數(shù)并且w(x)∈A1(即Mw(x)

        (i)suppa(x)?B=B(x0,r);

        有了這兩個定義,下節(jié)我們將敘述并證明本文的結(jié)論.

        2 定理及其證明

        定理1的證明我們只需證明存在常數(shù)C>0,使對任意(w,b)原子a(x)滿足

        事實上,設(shè)a(x)為(w,b)原子,suppa(x)?B=B(x0,r),記

        設(shè)給定q>1,運用H?lder’s不等式,以及Sφ,b(f)(x)的Lq-有界性[5]可得:

        又可知

        注意到2t+|x0-y|>2t+|x0-x|-|x-y|>t+|x0-x| 當(dāng)|x-y|

        由此可知

        所以

        對上面的估計,因為w∈A1,w滿足逆H?lder’s不等式,對于任意的球Q,和某個1

        所以上式會小于或等于

        定理1證畢.

        在證明定理2之前,首先闡述一個引理[7]:

        定理2的證明根據(jù)引理,只要證明存在一個常數(shù)C,對于任意的w-原子a,suppa(x)?B=B(x0,r),有下式成立,

        w({x∈(2B)c:Sφ,b(a)(x)>λ})≤w({x∈2B:Sφ,b(a)(x)>λ})+

        w({x∈(2B)c:Sφ,b(a)(x)>λ})=Ⅰ+Ⅱ.

        對于Ⅰ,根據(jù)Sφ,b(a)的Lq(q>1)有界性,可得:

        因而,有

        與定理1的證明類似,我們可以證得,

        對于Ⅱ2,我們同理可得到:

        對于Ⅱ3,由H?lder’s不等式,以及μΩ的Lq有界性,我們可得:

        合并上述證明過程,可得:

        定理2得證.

        參考文獻:

        [1] ALVAREZ J.Continuity properties for linear commutators of Calderon-Zygmund operators[J].Collect Math,1998,49(1):17-31.

        [2] GARCIA-CUERRA J.Weighted norm inequalities and related topics[M].Amsterdan:North-Holland Math Studies,1985.

        [3] KOMORI Y.Weighted hardy spaces estimates for commutators of singular integral operators[J].Far East J Math Sci,2001,3(6):889-898.

        [4] LIU L Z.Weighted weak type (H1,L1) estimates for commutators of Littlewood-Paley operators[J].Indian J Math,2003,45(1):71-78 .

        [5] LIU L Z.Continuity for commutators of Littlewood-Paley operators on certain Hardy spaces[J].J Korean Math Soc,2003,40(1):41-60.

        [6] PEREZ C.Sharp weighted estimates for multilinear commutators[J].J London Math Soc,2002,65(4):672-692.

        [7] STEIN E M.On convergence of poisson integrals[J].Trans Amer Math Soc,1969,140(1):35-54.

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