王 莉

(株洲職業(yè)技術學院基礎課部，中國 株洲 412000)

近年來，對于非線性微分方程邊值問題多個正解的存在性研究引起眾多學者的關注，見文獻[1～9].但脈沖微分方程邊值問題多個正解的存在性結果還不多見.本文的主要目的是研究下列脈沖周期邊值問題多個正解的存性

(1)

(H1)f∈C([0,∞),[0,∞)),Ik∈C([0,∞),[0,∞));

(H2)h∈C([0,1],[0,∞))并存在x0∈(0,1)使得h(x0)>0.

1 預備工作

引理1問題(1)等價于下列積分方程

(2)

其中

證1)假設u(t)是(1)的解，其中t≠tk.

則

令t=1,由u(0)=u(1),得

因此

這就說明了(1)的解就是(2)的解.

2)假設u(t)是(2)的解，則

注易見，對于t,s∈[0,1],g(t,s)≥δg(s,s)，其中δ=e-λ.

2 主要結果

設E是一個Banach空間，P是其中一個錐，泛函β:P→[0,+∞)，若β連續(xù)，且對所有的x,y∈P，t∈[0,1]，有β(tx+(1-t)y)≥tβ(x)+(1-t)β(y),則稱β是P上的一個非負連續(xù)凹泛函.

設a,b滿足0

Pa={x∈P:‖x‖

(i) 當x∈P(β,a,b)，有{x∈P(β,a,b):β(x)>a}≠?且β(Tx)>a;

(ii)當‖x‖≤d，有‖Tx‖

(iii)當x∈P(β,a,c)且‖Tx‖>b,有β(Tx)>a；

現(xiàn)在，建立邊值問題(1)存在3個正解的充分條件.

定理1假設(Η1)～(Η2)成立且存在常數(shù)a和d，0

(3)

和

(4)

并假設下列條件之一成立：

那么邊值問題(1) 至少有3個正解.

證設E=(PC[0,1],‖·‖),P={u∈PC[0,1],u(t)≥0，t∈[0,1]}.定義算子T：PC[0,1]→PC[0,1]為

即

‖Tu‖

(5)

(6)

因此，由(4)得到

(7)

另一方面

(8)

參考文獻：

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