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(彭陽縣第三中學(xué) 寧夏彭陽 756500)

Stewart定理的一個推論及其應(yīng)用

●王伯龍

(彭陽縣第三中學(xué) 寧夏彭陽 756500)

1Stewart定理及其推論

Stewart定理已知△ABC及其底邊BC所在的直線上一點(diǎn)O(不同于點(diǎn)B,C)，則

|AB|2·|OC|+|AC|2·|BO|-|AO|2·|BC|=

|BC|·|BO|·|OC|.

圖1

證明如圖1，作△ABC底邊BC上的高線AH.在△ACO中，由余弦定理得

|AC|2=|AO|2+|OC|2-2|AO|·|OC|·cos∠AOC.

在Rt△AOH中，有

從而 |AC|2=|AO|2+|OC|2-2|OC|·|OH|.

同理，在△ABO中,有

|AB|2=|AO|2+|BO|2+2|BO|·|OH|.

以|BO|和|OC|分別乘上面2個式子，并相加得

|AB|2·|OC|+|AC|2·|BO|=

|AO|2(|BO|+|OC|)+|OC|2·|BO|+

|BO|2·|OC|=

|AO|2·|BC|+|BC|·|BO|·|OC|,

移項得

|AB|2·|OC|+|AC|2·|BO|-|AO|2·|BC|=

|BC|·|BO|·|OC|.

特別地，當(dāng)點(diǎn)O是底邊BC的中點(diǎn)時，易得下面的推論.

推論點(diǎn)O是△ABC底邊BC的中點(diǎn)，則

|AB|2+|AC|2=2|AO|2+2|BO|2.

2推論的移植

由推論的結(jié)構(gòu)特征，容易聯(lián)想到將其移植到橢圓、雙曲線中又會有怎樣的結(jié)論呢？筆者經(jīng)過探索得到了下面有趣的結(jié)論.

(2)∠F1AF2為銳角?dgt;c,且d≠a；∠F1AF2為鈍角?dlt;c；∠F1AF2為直角?d=c.

圖2

證明(1)如圖2，由題設(shè)條件和推論得

(1)

其中c為橢圓的半焦距.又由橢圓的定義知

聯(lián)立式(1)，式(2)得

r1r2=a2+b2-d2.

∠F1AF2為銳角?dgt;c,且d≠a；

同理可證

∠F1AF2為鈍角?dlt;c；

∠F1AF2為直角?d=c.

(3)在△F1AF2中，由余弦定理得

從而

故性質(zhì)1成立.

(2)∠F1AF2為銳角?dgt;c；∠F1AF2為鈍角?dlt;c且d≠a；∠F1AF2為直角?d=c.

證明過程同性質(zhì)1，限于篇幅本文略.

3性質(zhì)的應(yīng)用

推論及2個性質(zhì)的應(yīng)用很廣泛，本文列舉幾例說明之.

(2000年全國數(shù)學(xué)高考試題)

(1)

(2)

將式(1)變形代入式(2)化簡得

由性質(zhì)1得

∠F1AF2為鈍角?dlt;c.

即

(2010年江西省數(shù)學(xué)高考試題)

(3)

由性質(zhì)2知

r2=2x0,

(4)

由式(3)，式(4)得

因為x0gt;0，所以

x0=2.

( )

(2007年全國數(shù)學(xué)高考試題)

解由性質(zhì)2得∠F1AF2=90°,從而

又由|AF1|=3|AF2|，得

解得

例4設(shè)F1,F2分別是橢圓x2+4y2=4的左、右焦點(diǎn).

(2)略.

(2007年四川省數(shù)學(xué)高考試題)

解(1)因為

r1r2·cos∠F1AF2,

可見，用性質(zhì)1和性質(zhì)2求解與橢圓、雙曲線焦點(diǎn)有關(guān)的問題還是較簡便的，教學(xué)中只要潛心鉆研、探索，就會有所收獲.

[1] 朱德祥.初等幾何研究[M].北京:高等教育出版社，1991.