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(杭州外國語學校 浙江杭州 310023)

類比思想在數(shù)學解題中的應用誤區(qū)

●趙肖東

(杭州外國語學校 浙江杭州 310023)

類比推理是由2類對象具有某些相似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理(簡稱類比).在數(shù)學中，可以由已經(jīng)解決的問題和已經(jīng)掌握的知識出發(fā)，通過類比推理提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn).數(shù)學家波利亞曾指出“類比是一個偉大的引路人”.高中數(shù)學新課標把培養(yǎng)學生的類比推理能力作為主要的能力培養(yǎng)目標之一.類比在發(fā)展學生創(chuàng)新精神的過程中有著無可比擬的價值.類比推理的創(chuàng)造性作用除了體現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)新的命題，直至發(fā)現(xiàn)新的領域外,還可以用來發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑與方法.在解決數(shù)學問題中，為尋找問題的線索往往可借助類比的方法，在類比的應用過程中，往往與解題者原有知識、經(jīng)驗中類似形式或結(jié)構(gòu)、類似方法或模式有聯(lián)系.類比含有猜測的成分，是或然推理，屬于合情推理的范疇，在數(shù)學思維中正是這種局限性導致學生在學習新知識、解決新問題過程中產(chǎn)生錯誤.本文試圖通過一些例子來探討類比推理在數(shù)學解題中的使用誤區(qū).

1復數(shù)與實數(shù)的類比

在高中數(shù)學中，數(shù)的概念從實數(shù)集擴充到復數(shù)集后，其基本運算性質(zhì)和實數(shù)的運算性質(zhì)相類似，但是有些實數(shù)集中的性質(zhì)就喪失了，譬如實數(shù)集中的有序性、平方的非負性等，此時再用實數(shù)集中的老辦法解決復數(shù)集中的新問題，就容易導致錯誤.

案例1

分析類比實系數(shù)一元二次方程，利用判別式判斷方程根的個數(shù)的方法來討論復系數(shù)方程根的情況是錯誤的.實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0，配方得

正解設x0為其實根，則

即

于是

2向量與數(shù)量的類比

高中課程類比數(shù)量引入向量的概念，向量不同于數(shù)量，向量有方向，而數(shù)量的代數(shù)運算在向量范圍內(nèi)不都適用，因此若將向量運算和數(shù)量運算簡單作類比，則有可能導致錯誤.

案例2

已知a，b，c是非零向量，a⊥b，x∈R，x1，x2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的2個解，求證：x1=x2． 已知x1，x2是關(guān)于x的方程ax=b(a≠0)的2個解，求證：x1=x2．方程兩邊同乘非零向量b，則b·(ax2+bx+c)=0，即b·ax2+b2x+b·c=0．因為a⊥b，所以方程可化為b2x+b·c=0．方程兩邊同乘1a，得x=-b·cb2，從而x1=x2．得x=ba，所以x1=x2．

分析實系數(shù)方程同解原理：在實系數(shù)方程中,2邊同乘非零常數(shù)，解集不變.但是將向量方程的2邊同時乘非零向量b卻不是同解變形.因為由b與ax2+bx+c垂直也可得b·ax2+b2x+b·c=0,所以b·ax2+b2x+b·c=0的解不一定是ax2+bx+c=0的解.

正解由題意得

兩式相減得

(x1-x2)[(x1+x2)a+b]=0.

因為a⊥b，所以(x1+x2)a⊥b，得

(x1+x2)a+b≠0,

故x1=x2.

3空間與平面的類比

把立體幾何知識與相關(guān)的平面幾何知識類比，是實現(xiàn)知識遷移的一種有效方法，同時也可以簡化運算與推理，從而優(yōu)化解題過程.但是平面幾何中的定義、定理對于空間圖形不一定成立，因此兩者類比可能導致錯誤.

案例3

分析在平面幾何中有平行四邊形的判定定理：2組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.而在空間中，這個定理并不正確.因此該題的證明是錯誤的.

正解如圖3，在DD1上取DG=AE.由DG=AE,DG∥AE,得四邊形CGEB是平行四邊形，因此

CG=BE，CG∥BE.

從而易得△C1D1F≌△DCG(SAS)，于是

CG=D1F,CG∥D1F,

因此

BE=D1F,BE∥D1F,

圖3

故四邊形BFD1E是平行四邊形.

4圓錐曲線與圓的類比

圓是圓錐曲線中最基本、最簡單的一種圖形，與圓錐曲線在定義和幾何性質(zhì)方面有很多的相似性，但由于各類曲線的差異性、特殊性，若都套用圓的解題模式，則失誤必然難免.

案例4

判斷下列橢圓和圓的位置關(guān)系：x2+2y2=8，x2+(y+2)2=4． 判斷下列兩圓的位置關(guān)系：x2+y2+2x+8y-8=0，x2+y2-4x-4y-2=0．聯(lián)立方程x2+2y2=8；x2+(y+2)2=4，{(1)聯(lián)立方程x2+y2+2x+8y-8=0；x2+y2-4x-4y-2=0，{(3)2式相減消去x，得y2-4y-8=0．(2)2式相減化簡得x+2y-1=0(4)再代入式(3)消去y得x2-2x-3=0，(5)由Δgt;0，得方程(2)有2個不同的解，則橢圓與圓有2個交點．由Δgt;0，得方程(5)有2個不同的解，則兩圓有2個交點．

分析因為式(3)等價于方程組

正解方程(2)有2個不同的解

一般說來，當學生進入新知識領域時，常常會選擇熟知的、有相似特征的舊知識和方法類比地對待新知識、新問題，尋求一條快捷的解決途徑.但這有時會發(fā)生不易察覺的錯誤，上面這些例子就是如此.因此教師應采用多種方法和手段指導學生主動建構(gòu)新知識，處理好新舊知識之間的聯(lián)系和區(qū)別.用好類比這把雙刃劍，對類比的過程要多加分析，去偽存真，這不但能獲得新知識，而且更重要的是它對發(fā)展學生的創(chuàng)新能力有著極好的促進作用.