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(嘉興市第一中學(xué)實驗學(xué)校 浙江嘉興 314050)

在問題變換中引導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)

●邵毓君

(嘉興市第一中學(xué)實驗學(xué)校 浙江嘉興 314050)

做數(shù)學(xué)是指運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問題的實踐活動，要求學(xué)生通過觀察分析數(shù)學(xué)事實，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，從而給出解釋或證明．美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是‘做數(shù)學(xué)’”．新課程標(biāo)準(zhǔn)也指出：“力求使學(xué)生切身體會‘做數(shù)學(xué)’是學(xué)好數(shù)學(xué)的有效途徑之一”．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題變換可以是把一個數(shù)學(xué)問題加以轉(zhuǎn)化、延伸或改造，得到一些新的問題，也可以是把幾個問題進(jìn)行辨析、類比，找到它們之間的關(guān)系．問題變換的過程實質(zhì)上是做數(shù)學(xué)的過程，它對鞏固學(xué)生基礎(chǔ)知識、啟迪思維、提高能力是十分有益的．本文通過實例介紹筆者是怎樣在問題變換中引導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)的，供大家參考．

1問題轉(zhuǎn)化

問題轉(zhuǎn)化是解決問題的基本思想，除了把所要解決的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為另一個較易解決的問題外，問題轉(zhuǎn)化也可以是問題的“一般化”和“特殊化”．“一般化”變換，就是把一個數(shù)學(xué)問題通過延伸推廣到一般形式．“特殊化”變換，就是把一個一般性的結(jié)論或題目通過賦值變形等手段，得到它的各種“特殊”形式．

例1在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展開式中，含x4的項的系數(shù)是

( )

A．-15 B．85 C．-120 D．274

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

分析在教學(xué)中,可以引導(dǎo)學(xué)生將問題推廣為：在(x-1)(x-2)(x-3)…(x-n)的展開式中，求含xn-2的項的系數(shù)．

這個新問題可以理解成求數(shù)表A中所有數(shù)的和SA．

1·2，1·3，1·4，…,1·n

2·3，2·4，…,2·n

3·4，…,3·n

…

(n-1)·n

(數(shù)表A)

將數(shù)表A“補(bǔ)形”，得到數(shù)表B，考察數(shù)表B中所有數(shù)的和SB：

1·1,1·2，1·3，1·4，…,1·n

2·1,2·2,2·3，2·4，…,2·n

3·1,3·2,3·3,3·4，…,3·n

…

n·1,n·2,n·3,n·4,…,(n-1)·n

(數(shù)表B)

可以發(fā)現(xiàn)

SB=2SA+(12+22+32+…+n2)，

且

于是

對問題一般化，可以使學(xué)生體驗做數(shù)學(xué)的過程，同時使學(xué)生的思維在由特殊到一般、由具體到抽象的變換過程中得到發(fā)展，從而培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性和深刻性．

(2009年浙江省數(shù)學(xué)競賽試題)

分析可以聯(lián)系以下問題：

已知A，B，C為△ABC的3個內(nèi)角，求證：

x2+y2+z2≥2xycosA+2yzcosB+2zxcosC．

這是一個重要的“母不等式”，可以由它得出許多不等式.譬如：

令x=y=z=1，得

令x=y=1,z=4，得

…

在式(2)中，令

x2+y2+z2=1，

則例2即可迎刃而解．

對問題特殊化，可以使學(xué)生在概念、定理、公式、典型問題的變換中，準(zhǔn)確而靈活地掌握相關(guān)知識，同時培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性．

2問題辨析

對一些似是而非的問題或解答，引導(dǎo)學(xué)生在改變問題條件、編擬新問題中進(jìn)行剖析，從而加深認(rèn)識、體驗數(shù)學(xué).下面的例題涉及到對“數(shù)學(xué)期望”這個概念的理解．

例3甲、乙2人在一次游戲中的得分概率如表1所示，以得分多者為勝，問誰勝的希望大？

表1 得分概率表

分析 學(xué)生對這個問題給出了以下2種解法．

解法1甲得分的數(shù)學(xué)期望Eζ甲=2.1，乙得分的數(shù)學(xué)期望Eζ乙=2.2，因此

Eζ甲lt;Eζ乙，

所以乙勝的希望大．

解法2由題意得

P(甲勝)=P(甲得2分，乙得1分)+

P(甲得3分，乙得1分)+

P(甲得3分，乙得2分)=0.36,

P(乙勝)=P(乙得2分，甲得1分)+

P(乙得3分，甲得1分)+

P(乙得3分，甲得2分)=0.39．

因為

P(甲勝)lt;P(乙勝)，

所以乙勝的希望大．

在教學(xué)過程中，教師可請學(xué)生辨析這2種解法，從而引導(dǎo)學(xué)生改變條件中的數(shù)據(jù)來探索其正確與否．

學(xué)生1：把條件設(shè)為表2所示，其中x，ygt;0，且x+ylt;1．

表2 得分概率表

此時

Eζ甲=2.1，Eζ乙=3-2x-y；

P(甲勝)=0.6x+0.5y，

P(乙勝)=0.5-0.5x-0.1y．

比較Eζ甲和Eζ乙、P(甲勝)和P(乙勝)可知，只有在(2x+y-0.9)(1.1x+0.6y-0.5)gt;0時，2種計算結(jié)果才是一致的．特別地，取x=0.1，y=0.68，得

Eζ甲lt;Eζ乙，P(甲勝)gt;P(乙勝)，

可見此時2種計算結(jié)果是不一致的．

學(xué)生2：若將條件中的3分改為4分，則

Eζ甲=2.6，Eζ乙=2.5；

P(甲勝)=0.36，P(乙勝)=0.39．

因此

Eζ甲gt;Eζ乙，P(甲勝)lt;P(乙勝)．

可見此時2種計算結(jié)果也是不一致的．

學(xué)生3：我認(rèn)為在這2種解法中，解法2是正確的，得分的數(shù)學(xué)期望大不一定勝率就大．

教師：很好，數(shù)學(xué)期望和勝率是從不同層面上來反映甲、乙得分差異的．Eζ甲gt;Eζ乙表示游戲中甲得分的平均水平要高于乙，P(甲勝)gt;P(乙勝)表示一次游戲中甲得分高于乙比乙高于甲的可能性大．

在這個例子中，教師引導(dǎo)學(xué)生改變問題的條件，在對各種不同情形的辨析過程中加深了對數(shù)學(xué)期望的理解.在教學(xué)中，可以通過舉例、辨析、判斷等方法來研究問題，經(jīng)常進(jìn)行這樣的分析和思考，有助于學(xué)生深刻理解問題并抓住本質(zhì)．

3問題類比

類比是探索問題、解決問題與發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的一種卓有成效的思維方法．在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造數(shù)學(xué)新分支的重要途徑．

(2008年江西省數(shù)學(xué)高考試題)

圖1

分析此題可以類比圓的有關(guān)切點弦的知識：若過圓x2+y2=r2外一點P(x0,y0)作圓的2條切線，切點為A,B，則直線AB(切點弦)的方程為x0x+y0y=r2．

x1x-y1y=1.

同理可得,PB的方程為x2x-y2y=1．因為點P(m，y0)在切線PA，PB上，所以

mx1-y0y1=1,mx2-y0y2=1．

可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究下例：

(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

用類比思想可以發(fā)現(xiàn)相關(guān)問題的聯(lián)系，找到問題解決的辦法，增強(qiáng)學(xué)生解題的信心．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生不斷嘗試并靈活地運(yùn)用類比，將會對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實際問題乃至學(xué)生的思維方式產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響．

4問題改造

數(shù)學(xué)問題的改造是指在一道題的基礎(chǔ)上進(jìn)行多角度、多層次的變式教學(xué)．改造、強(qiáng)化等是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性能力的有力工具，可以調(diào)動學(xué)生思維的積極性，將學(xué)生領(lǐng)進(jìn)數(shù)學(xué)的神秘殿堂．

例6對任意正數(shù)x,y，求證：

通過上面的例子可以發(fā)現(xiàn),問題變換主要經(jīng)歷以下4個環(huán)節(jié)：提出問題——聯(lián)想(猜想)——證明——提出新問題.這樣的過程不再是簡單的做數(shù)學(xué)題了.在這樣的做數(shù)學(xué)的過程中，通過一串串的問題變換，引導(dǎo)學(xué)生解決問題、提出新問題、探尋幾個問題之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力，提高學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力．問題的不斷變換是做數(shù)學(xué)的靈魂，在問題變換中引導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)是一種新的學(xué)習(xí)方式，要求學(xué)生采用自主探索、大膽猜測、合作交流、積極思考等活動方式.在平時的學(xué)習(xí)中，要善于從教材的例題、習(xí)題等內(nèi)容去變、去引申、去探索．這種學(xué)習(xí)方式也對教師提出了更高要求，要求教師不斷學(xué)習(xí)、加強(qiáng)研究、提高自身素質(zhì)，利用類似的問題提供豐富的可供學(xué)生研究的素材．