岳 芹

(皖西學(xué)院數(shù)理系，安徽 六安 237012)

Fuzzy方陣可實(shí)現(xiàn)的條件和性質(zhì)

岳 芹

(皖西學(xué)院數(shù)理系，安徽 六安 237012)

研究了Fuzzy方陣可實(shí)現(xiàn)的條件和性質(zhì)，給出了幾種特殊的Fuzzy方陣可實(shí)現(xiàn)的條件, 討論了可實(shí)現(xiàn)的Fuzzy方陣的性質(zhì)。

Fuzzy方陣; 可實(shí)現(xiàn); 條件

模糊矩陣的相關(guān)理論在Fuzzy控制、推理和邏輯等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。1982年,劉旺金[1]提出了可實(shí)現(xiàn)Fuzzy對(duì)稱(chēng)方陣的概念并給出了Fuzzy對(duì)稱(chēng)方陣可實(shí)現(xiàn)的必要條件。文獻(xiàn)[2～4]圍繞Fuzzy方陣的可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題及其容度作了更深入的探討。下面，筆者將進(jìn)一步研究Fuzzy方陣的可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。

1 基本概念

設(shè)L為[0,1]格,A=(aij)m×n是L上的m×n階矩陣,AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。用Lm×n表示L上所有m×n階矩陣組成之集,N+表示正整數(shù)之集,n={1,2,…,n}。以下所討論的矩陣均為[0,1]格上的矩陣, 即Fuzzy矩陣。

定義2 設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n, 令A(yù)∪B=(aij∨bij)m×n,稱(chēng)為A與B的并。

定義3 設(shè)F=(Fij)n×n,?k∈N+, 定義:①F1=F；②Fk+1=Fk?F。

定義4 設(shè)F=(Fij)n×n,若F2=F，則稱(chēng)F為冪等矩陣。

定義5 設(shè)F=(Fij)n×n, 如果存在P=(Piv)n×l, 使得F=P?PT, 其中，PT為P的轉(zhuǎn)置矩陣, 則稱(chēng)F對(duì)于?是可實(shí)現(xiàn)的, 簡(jiǎn)稱(chēng)F是可實(shí)現(xiàn)的。

定義6 設(shè)F是可實(shí)現(xiàn)的Fuzzy方陣,記:

ω(F)=min{m|F=A?AT,A=(aij)n×m}

稱(chēng)ω(F)為F的容度。

2 Fuzzy方陣可實(shí)現(xiàn)的條件

設(shè)F=(Fij)n×n, 下面討論F可實(shí)現(xiàn)的條件。

定理1 若F是n階對(duì)稱(chēng)冪等矩陣, 則F是可實(shí)現(xiàn)的。

證明F為冪等矩陣, 由定義4知F2=F, 即F=F2=F?F, 又F是對(duì)稱(chēng)陣, 所以FT=F, 從而F=F?F=F?FT。因此F是可實(shí)現(xiàn)的。

定理2 設(shè)F是可實(shí)現(xiàn)的,則F是n階對(duì)稱(chēng)陣,且Fii≥Fij(i≠j,?i,j∈n),F2=F。

證明F是可實(shí)現(xiàn)的, 由定義知存在矩陣P=(Pis)n×l使得F=P?PT,從而?i,j∈n:

顯然當(dāng)i≠j時(shí),Fii≥Fij。又:

所以F是n階對(duì)稱(chēng)陣。

證明因?yàn)榫仃嘇,B均是可實(shí)現(xiàn)的, 所以存在矩陣C,D, 使得C?CT=A,D?DT=B。令:

則:

因此F是可實(shí)現(xiàn)的。

3 Fuzzy方陣可實(shí)現(xiàn)的性質(zhì)

定理4 若n階Fuzzy方陣F1,F2是可實(shí)現(xiàn)的,則F1∪F2亦可實(shí)現(xiàn),且ω(F1∪F2)≤ω(F1)+ω(F2)。

證明因F1,F2是可實(shí)現(xiàn)的,所以存在矩陣P1∈Ln×s,P2∈Ln×t，使得：

令P=(P1,P2), 則:

因此F1,F2是可實(shí)現(xiàn)的,由定義6即得:

ω(F1∪F2)≤ω(F1)+ω(F2)。

推論1 若n階Fuzzy方陣F1,F2,…,Ft均是可實(shí)現(xiàn)的,則F1∪F2∪…∪Ft亦是可實(shí)現(xiàn)的,其中t為正整數(shù)。

定理5 設(shè)n階Fuzzy方陣F是可實(shí)現(xiàn)的且它的可實(shí)現(xiàn)矩陣為P,若P中有2列相同,則可以去掉其中一列。

或:

即P中的第s列或第t列可以去掉。

[1]劉旺金. Fuzzy對(duì)稱(chēng)方陣的可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題[J]. 模糊數(shù)學(xué), 1982(1) : 69-76.

[2]Liu Xue-cheng. The least upper bound of content for realizable matrices on lattice [0,1][J]. Fuzzy Sets and Systems, 1996, 80:257-259.

[3]王學(xué)平. 如何計(jì)算可實(shí)現(xiàn)Fuzzy矩陣的容度[J]. 數(shù)學(xué)年刊:A輯, 1999(6): 701-706.

[4]孔憲明. L-Fuzzy可實(shí)現(xiàn)冪等矩陣的秩與容度[J]. 曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2000,26(4):22-24.

[5]馬驥良,于純海.模糊代數(shù)選論[M].北京:學(xué)苑出版社,1989:39-100.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.02.002

O159

A

1673-1409(2011)02-0003-02

2010-12-04

安徽省高校青年教師資助項(xiàng)目(2008jq1153)。

岳芹(1978-), 女,2001年大學(xué)畢業(yè)，碩士， 講師,現(xiàn)主要從事格論方面的教學(xué)與研究工作;E-mail:yqer@163.com。