張華珍

(湘西民族職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

線性流形上D反對稱矩陣的加權(quán)最小二乘解

張華珍

(湘西民族職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

通過矩陣的奇異值分解得到了線性流形上D反對稱矩陣在加權(quán)范數(shù)下的最小二乘解，同時導(dǎo)出了解集合中與給定矩陣的加權(quán)最佳逼近解的表達(dá)式。

加權(quán)；D反對稱矩陣；最小二乘

對于矩陣方程在加權(quán)范數(shù)下的最小二乘解的研究到目前為止已取得了一系列的成果[1-3]。下面，筆者在此基礎(chǔ)上運(yùn)用矩陣的奇異值分解研究線性流形上D反對稱矩陣的加權(quán)最小二乘解。

1 問題的提出

定義1[4]給定D=diag(d1,d2,…，dn)∈Rn×n,其中dr>0，r=1,2,…,n。A∈Rn×n,若D2A∈ASRn×n,則稱A為D反對稱矩陣，D反對稱矩陣的全體記為D-2ASRn×n，顯然：

D-2ASRn×n={A|A=D-2B,B∈ASRn×n}

記D2SRn×n={A|A=D2B,B∈SRn×n}，令：

S={A∈D-2ASRn×n|AX0-B0=min,X0,B0∈Rn×m}

(1)

由文獻(xiàn)[4]知，S是非空的線性流形。下面筆者考慮如下問題：

問題Ⅰ 給定X,B∈Rn×k，求A∈S使得：

‖AX-B‖W=min

(2)

(3)

其中，SE是問題Ⅰ的解集合。

2 問題Ⅰ的解

引理1設(shè)D2X的奇異值分解為:

其中,U=(U1,U2)∈ORn×n；U1∈Rn×t；V=(V1,V2)∈ORm×m；V1∈Rm×t；Σ=diag(σ1,σ2,…,σt)；σi>0，i=1,2,…,t。則式(1)中集合S有下面的形式：

(4)

其中:

(6)

其中，P=(P1,P2)∈ORn×n；Q=(Q1,Q2)∈ORk×k;P1∈Rn×r；Q1∈Rk×r；∑1=diag(α1,α2,…,αr)；α1≥…≥αr>0；r=rank(W-1X)。

記:

(7)

則問題Ⅰ的解集合為：

(8)

其中:

(9)

證明因?yàn)锳∈S,所以由引理1中式(4)可知:

(10)

則:

由式(11)可知，‖AX-B‖W=min等價于：

(12)

由引理2及式(12)中第1式可知:

(13)

由式(12)中第2式可知:

(14)

將式(13)和式(14)代入式(10)即可得到式(8)，(9)。

3 問題Ⅱ的解

引理3[4]?A∈Rn×n，則存在惟一的A1∈D-2ASRn×n，A2∈D2SRn×n使得:

A=A1+A2〈A1,A2〉=0

定理2符號與定理1相同，由定理1可知SE是一個閉凸集，因此問題Ⅱ存在最佳逼近解：

(15)

這里G如式(9)所示，其中:

(16)

(18)

[1]周立平. 幾類線性矩陣方程的加權(quán)最小二乘解及其最佳逼近問題[D].長沙：湖南大學(xué)，2007:1-48.

[2] 劉莉，張凱院.關(guān)于一類矩陣方程的加權(quán)最小二乘解[J].昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào)(理工版)，2006,31(3)：121-124.

[3] 孟國艷，趙青杉，趙俊華.反對稱正交反對稱矩陣反問題的加權(quán)最小二乘解[J].太原師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008,7(1)：13-17.

[4] 張忠志，周富照，胡錫炎.D反對稱矩陣反問題的最小二乘解[J].中南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào).2001,32(5)：545-548.

[5] 謝冬秀，張磊.一類反對稱矩陣反問題的最小二乘解[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1993,10(4)：25-74.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.04.002

O241.6

A

1673-1409(2011)04-0005-03