余 靜

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 合肥 230061）

關(guān)于內(nèi)接單形幾個幾何不等式及應(yīng)用

余 靜

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 合肥 230061）

應(yīng)用幾何不等式理論與解析方法，研究歐氏空間En中n維單形的幾何不等式問題，建立了關(guān)于單形與其內(nèi)接單形的兩個不等式，推廣了已有的結(jié)果，推廣了著名的n維Euler不等式。

歐氏空間；單形；內(nèi)接單形；不等式

1 引言及主要結(jié)果

關(guān)于歐氏空間En中n維單形幾何不等式的研究，近期獲得很多重要的幾何不等式，專著［1，2，3］收入了大量有關(guān)幾何不等式。最近文獻［4，5］中給出單形的內(nèi)接單形之概念，并建立了關(guān)于單形的內(nèi)切球半徑與單形的內(nèi)接單形外接球半徑之間的兩個重要不等式，它們推廣了著名的n維Euler不等式［6］。本文研究了單形類似的幾何不等式問題，建立相關(guān)幾個不等式，它們推廣了文獻［4，5］中的主要結(jié)果，并應(yīng)用它們推廣了n維Euler不等式。

本文中約定En中n維單形σn的頂點集為｛A0，A1，…，An｝，頂點Ai所對側(cè)面fi＝A0…Ai－1Ai＋1…An（n－1維子單形）的面積為Fi，σn的各棱長為aij＝｜AiAj｜（i，j＝0，1，…，n），σn的體積為V，外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，σn的重心、外心、內(nèi)心分別為G、O、I。

在n維單形σn的第i個側(cè)面fi上任取一點A′i（i＝0，1，…，n），那么以A′0，A′1，…，A′n為頂點集的n維單形σ′n稱為單形σn的一個內(nèi)接單形［4］，設(shè)內(nèi)接單形σ′n的外接球半徑為R′，σ′n的棱長為a′ij＝｜A′iA′j｜（i，j＝0，1，…，n）。最近文獻［4］獲得單形與其內(nèi)接單形的一個重要不等式：

當σn為正則單形且σ′n為其切點單形時等號成立。

特別，如果在不等式（1）中取σ′n為單形σn的切點單形，此時R′＝r，從（1）便得著名的n維Euler不等式［6，7］：

當σn為正則單形時等號成立。

最近，文獻［5］獲得關(guān)于內(nèi)接單形另外兩個不等式：

當σn為正則單形且σ′n為其切點單形時等號成立。

如果在不等式（4）中取σ′n為σn的切點單形時，即得n維Euler不等式（2）的如下推廣［8］：

當σn為正則單形時等號成立。

一點注記：文獻［5］中對不等式（3）的證明過程中有誤，實際上不等式（3）并不成立，具體證明過程的錯誤可見文獻［5］。

本文研究n維單形與其內(nèi)接單形外接球半徑與內(nèi)切球半徑不等式問題，建立有關(guān)一些不等式，由此推廣了n維Euler不等式。本文主要結(jié)果是下面兩個定理。

當σn為正則單形且σ′n為其切點單形時等號成立。定理1．2 對n維單形σn與其內(nèi)接單形σ′n，有

當σn為正則單形且σ′n為其切點單形時等號成立。

由定理1．1與定理1．2可得：

推論1．1 對n維單形σn與其內(nèi)接單形σ′n，有

當σn為正則單形且σ′n為其切點單形時等號成立。

如果在推論1．1中取σ′n為σn的切點單形，此時R′＝r，于是得到n維Euler不等式（1．2）的如下兩個推廣：

推論1．2 對n維單形σn，有

當σn為正則單形時等號成立。

由定理1．1、定理1．2，還可得如下兩個推論：

推論1．3 對n維單形σn與其內(nèi)接單形σ′n，有

當σn為正則單形且σ′n為其切點單形時等號成立。

推論1．4 對n維單形σn與其內(nèi)接單形σ′n，有

當σn為正則單形且σ′n為其切點單形時等號成立。

2 引理與定理的證明

引理2．1［9］對n維單形σn，有

等號成立當且僅當σn為正則單形。

引理2．2［10］對n維單形σn，有

當σn為正則單形時等號成立。

引理2．3 對n維單形σn，有

當σn為正則單形時等號成立。

證：利用［11］中不等式：

當σn為正則單形時等號成立。

利用文獻［13］中不等式

當σn為正則單形時等號成立。

引理2．4［2］對n維單形σn，有

引理2．5［4］對n 維單形σn與其內(nèi)接單形σ′n，有

當σn為正則單形且σ′n為其切點單形時等號成立。

引理2．6［8］對n維單形σn，有

當σn為正則單形時等號成立。

證：引用［14］中一個不等式：

當σn為正則單形時等號成立。

由不等式（25）與（20）便得不等式（24）。

定理1．1的證明：由引理2．6，有

由（22）、（25），得

由（21）、（27）以及算術(shù)－幾何平均不等式，得

利用［12］中不等式

當σn為正則單形時等號成立。由（28）、（29）及引理2．6，有

由（30）、（16）、（17），得

應(yīng)用［4］中不等式

當σn為正則單形時等號成立。

由（31）、（32），得

即

所以不等式（6）成立，易知當σn為正則單形且σ′n為其切點單形時（6）中等號成立。

定理1．2的證明是類似的，只要應(yīng)用不等式（30）、（18）、（24）及（32）便可得到不等式（7）。

［1］ Mitrinovic D．，Pecaric J．，Volence V．Recent Advances in Geometric Inequalities［M］．Dordrecht，Kluwer Acad．Publ．，1989．

［2］ 沈文選．單形論導(dǎo)引［M］．長沙：湖南師范大學(xué)出版社，2000．

［3］ 單墫，等．幾何不等式在中國［M］．南京，江蘇教育出版社，1996．

［4］ 楊世國．關(guān)于內(nèi)接單形的一個幾何不等式［J］．數(shù)學(xué)雜志，2003，23（2）：218-220．

［5］ 楊世國，陳士龍．關(guān)于內(nèi)接單形的兩個不等式及應(yīng)用［J］．哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2009，41（1）：229-231．

［6］ Klamkin，M．S．Inequality for a simplex［J］．SIAM Rev，1985，27：576-577．

［7］ Klamkin，M．S．The circumradius-inradius inequality for a simplex［J］．Math．Magazine，1979，52：20-22．

［8］ Yang S．，Wang J．Improvments of n-dimensional Euler inequality［J］．J．Geom．，1995，55（2）：190-195．

［9］ 冷崗松．Euler不等式的一個加強［J］．數(shù)學(xué)的實踐與認識，1995，25（2）：94-96．

［10］ 楊世國．關(guān)于單形外接球半徑的兩個結(jié)果［J］．西安工程科技學(xué)院學(xué)報，2004，18（1）：91-94．

［11］ 蘇化明．一個涉及單形體積棱長與側(cè)面面積的不等式［J］．數(shù)學(xué)雜志，1993，13（4）：453-455．

［12］ 楊路，張景中．關(guān)于有限點集的一類幾何不等式［J］．數(shù)學(xué)學(xué)報，1980，23（5）：740-749．

［14］ 匡繼昌．常用不等式［M］．濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004．

［15］ 楊路，張景中．一個代數(shù)定理的幾何證明［J］．中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報，1981（4）：127-130．

Application and Generalization of some Geometric Inequalities for Inscribed Simplex

YU Jing（Department of Mathematics，Hefei Normal University，Hefei 230061，China）

In this paper，the theory of geometric inequalities and analytic method are emlployed to study the problems of geometric inequality for n-dimensional simplex in the Euclidean space En．Two geometric inequalities for a simplex and its inscribed simplex are established，some known results and the famous n-dimensional Euler inequality are improved．

Euclidean space；simplex；inscribed simplex；inequality

O 184

A

1674-2273（2011）06-0005-03

2011－06－10

安徽省高校省級重點科研項目（KJ2009A45）

余靜（1971－ ），女，合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，研究方向：距離幾何、凸幾何。