陳志興，殷雪劍

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

二階延遲微分方程單支θ－方法的漸近穩(wěn)定性

陳志興，殷雪劍

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

考慮二階微分方程單支θ－方法的穩(wěn)定性質(zhì)，證明當(dāng)θ＝1時(shí)數(shù)值方法將保持此時(shí)滯系統(tǒng)解析解 的穩(wěn)定性。

二階延遲微分方程；穩(wěn)定性；單支θ－方法

1 二階延遲微分方程的穩(wěn)定性

近幾年，二階延遲微分方程的解析解和各種數(shù)值方法的漸近穩(wěn)定性一直引人關(guān)注，如文獻(xiàn)［1－4］，但對(duì)于微分方程

的研究卻未涉及，所以本文主要對(duì)上述方程的解析解及單支θ－方法的穩(wěn)定性進(jìn)行研究，得到保持其漸近穩(wěn)定的充要條件。

考慮如下方程

其中a，b是非零實(shí)數(shù)，τ＞0是常延遲量。（1）的特征方程為

定義1 方程（1）被稱為漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)其任意解滿足lim

t→∞y（t）＝0.

引理1［5］特征方程（1）具有負(fù)實(shí)部的充要條件為

由于中立型方程的特征根可能以±i∞為聚點(diǎn)，盡管（1）的特征根λ滿足Re（λ）＜0，但仍然會(huì)產(chǎn)生（1）的解y（t）無(wú)界（t→∞）。因此，按照 Miranker［6］的結(jié)論，有下面結(jié)論：

定理1 方程（1）被稱為漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)方程（2）的所有零點(diǎn)λ滿足

Re（λ）≤－r＜0

定理2 方程（2）的所有零點(diǎn)λ滿足Re（λ）≤－r＜0的充要條件為

證明 根據(jù)引理1，下面僅需證明方程（2）的零點(diǎn)是一致地離開(kāi)虛軸的。

考慮函數(shù)

由于g（λ）是非多項(xiàng)式的整函數(shù)，根據(jù)Picard的整函數(shù)零點(diǎn)分布定理，所以有可數(shù)無(wú)限個(gè)零點(diǎn)λ1，λ2，λ3，…且λn→∞，n→∞.假設(shè)存在數(shù)列｛λn｝是方程（2）的零點(diǎn)，但不是一致地離開(kāi)虛軸，那么

兩邊取極限，有

從而產(chǎn)生矛盾。

所以，方程（2）的零點(diǎn)一致地離開(kāi)虛軸的。

2 單支θ－方法的穩(wěn)定性

考慮y′（t）＝f（t，y（t），y（φ（t））），應(yīng)用單支θ－方法（參見(jiàn)文獻(xiàn)［7］）求解，得到迭代式

其中θ∈［0，1］，yn表示對(duì)精確解y（tn）的數(shù)值近似且當(dāng)t＞0時(shí)，通過(guò)分段線性插值

為了研究二階延遲微分方程（1）的數(shù)值穩(wěn)定性，考慮等價(jià)系統(tǒng)

應(yīng)用單支θ－方法（3）求解上述方程，有

由定理1，有a，b＜0，顯然有Q（z）＝0根的模小于1（h＞0）。由條件（5），則對(duì)｜z｜＝1，有｜Q（z）｜＞｜Pm（z）｜，根據(jù)Rouche定理，特征多項(xiàng)式p（z）是schur多項(xiàng)式，從而有θ＝1時(shí)，單支θ－方法是漸近穩(wěn)定的。

［1］葛淑君.二階延遲微分方程θ－方法數(shù)值解穩(wěn)定性［J］.哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2006，22（3）：29－30.

［2］徐 陽(yáng)，趙景軍.Volterra型時(shí)滯積分方程單支θ－方法的穩(wěn)定性［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2008，28A（5）：942－944.

［3］郭長(zhǎng)勇，趙景軍，劉明珠.二階延遲微分方程解析解的漸近穩(wěn)定性［J］.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2002，19（3）：5－7.

［4］范振成.二階延遲微分方程數(shù)值穩(wěn)定性研究［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文，2000，7.

［5］Bellman R，Cooke K.L.Differential－difference Equations.New York：Academic Press，1963.

［6］W.L.Miranker.Existence，uniqueness and stability of solutions of systems of nonlinear differential equations.J.Math.Mech.，1962，11：101－108.

［7］Liu Y.K.Stability analysis ofθ－methods for neutral functional－differential equtions.Numer Math，1995，70：473－485.

Stability of One-legθ-methods for Second-order Delay Difference Equations

Chen Zhixing，Yin Xuejian
（School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230039，China）

In this paper，stable properties of one-legθ-methods for second-order delay differential equations is considered.It is proved numerical methods preserve corresponding stability of this system ifθ＝1.

second-order delay differential equation；stability；one-legθ-methods

O241.81

A

1673-1794（2011）05-0013-02

陳志興（1981－），男，碩士研究生，研究方向：微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)；殷雪劍（1984－），女，碩士研究生，研究方向：微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)。

2011-04-15