陳佩樹

（巢湖學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

分段函數(shù)在分段點(diǎn)的求導(dǎo)

陳佩樹

（巢湖學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

分段函數(shù)的可導(dǎo)性問題是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).本文研究分段函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)性、導(dǎo)數(shù)的求法,并給出相應(yīng)的例子。

分段函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；連續(xù)

分段函數(shù)是一類常見的函數(shù)，雖然有的分段函數(shù)在每一段上的表達(dá)式都不復(fù)雜，但是分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限是否存在、是否連續(xù)以及是否可導(dǎo)等問題都比一般初等函數(shù)復(fù)雜的多,常常讓初學(xué)者感到一片茫然，搞不清其中的關(guān)系.由于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的左右極限之間關(guān)系復(fù)雜，在分段點(diǎn)可能連續(xù)也可能不連續(xù)，有可能可導(dǎo)也有可能不可導(dǎo)，下面從三個(gè)定理出發(fā)，對分段函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)進(jìn)行研究并給出相應(yīng)的例子.

定理 1[1]若 f（x）在 x0處可導(dǎo)，則 f（x）在 x0處連續(xù).反之，若 f（x）在 x0處不連續(xù)，則 f（x）在 x0處不可導(dǎo).但即使f（x）在x0處連續(xù)，在 處也未必可導(dǎo).

（1） 滿足什么條件時(shí)，f（x）在 x=0 連續(xù)；

（2） 滿足什么條件時(shí)，f（x）在 x=0 可導(dǎo)；

（3） 滿足什么條件時(shí)，f′（x）在 x=0 連續(xù).

注：從上面例可以看出，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在x=0連續(xù)，但當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在x=0未必可導(dǎo)，只有當(dāng)m≥2時(shí)，f（x）在x=0才可導(dǎo).即說明了f（x）在x=0處連續(xù)并不能確保f（x）在x=0處可導(dǎo)，另一方面也驗(yàn)證了f（x）在x=0處可導(dǎo)，則f（x）在x=0處一定連續(xù).極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)的概念是關(guān)系到學(xué)生能否學(xué)好微積分的極其重要、最基本的概念.

解：當(dāng) x≠0 時(shí)，f′（x）=3x2，由于則有函數(shù) f（x）在 x=0 處左右極限不相等，顯然有f（x）在x=0處不連續(xù).從而f（x）在x=0處不可導(dǎo).綜上所述，當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）=3x2，且 f（x）在 x=0 處不可導(dǎo).

定理 2[1]存在當(dāng)且僅當(dāng) f-′（x0），f+′（x0）存在，且有 f-′（x0）=f+′（x0）=f′（x0）

注：定理2說明了若分段函數(shù)在分段點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)雖然存在但不相等或至少有某一側(cè)導(dǎo)數(shù)不存在，那么分段函數(shù)在這一分?jǐn)帱c(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就不存在.

楊凱讓司機(jī)開車帶著錢按照綁匪指定的地點(diǎn)駛?cè)?，在連續(xù)轉(zhuǎn)換了三個(gè)交錢地點(diǎn)之后，綁匪把司機(jī)指引到六環(huán)邊的一條小河邊，讓司機(jī)將裝錢的旅行包放在小橋中間后離開。此時(shí)已是傍晚7點(diǎn)，楊梅見綁匪已經(jīng)拿到錢，最擔(dān)心綁匪殺人滅口，她不敢觸動(dòng)綁匪的神經(jīng)，只是輕輕咳了一聲。操著北京口音的綁匪回頭一看，扭頭對東北口音的綁匪說：“哥，這女孩說得有道理，咱不能把事鬧大了，不然不好收場，錢拿到了，送這女孩回去吧。”東北口音的綁匪想了想說：“那好吧?！彪S后，兩個(gè)綁匪在南三環(huán)的一家汽配城門口停下車，把手機(jī)還給楊梅，開車離開。

注：此題是首先判斷函數(shù)在分段點(diǎn)連續(xù)，再通過求分段點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的極限存在且相等，進(jìn)一步地有此函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)存在且相等.故有函數(shù)在此分段點(diǎn)可導(dǎo)，且求出其導(dǎo)數(shù).但是，分段點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的極限存在是分段點(diǎn)可導(dǎo)的充分條件而非必要條件.

進(jìn)一步考察f（x）在x=2點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：

所以 f-′（2）≠ f+′（2），即 f（x）在 x=2 處不可導(dǎo).

注：雖然f（x）在x=2處連續(xù)，但是f（x）在x=2處不可導(dǎo).如果直接地對例5中函數(shù)f（x）中的分段函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到進(jìn)而想當(dāng)然地認(rèn)為f′（2）=2，那就出錯(cuò)了.只有當(dāng) f+′（2）=f-′（2）=2 的情況下，才有f′（2）=2.而實(shí)際上 f-′（2）=2；f+′（2）=4.利用左右導(dǎo)數(shù)來確定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是行之有效的方法，在實(shí)際解題中必須小心謹(jǐn)慎.

證明：?x∈（x0-δ，x0），由于f（x）在 x=x0處連續(xù)，g（x）在（x0-δ，x0）內(nèi)可導(dǎo).所以 g（x）在[x，x0]上連續(xù)且在（x，x0）內(nèi)可導(dǎo).由微分中值定理知?ξ∈（x，x0），使得由于當(dāng)時(shí)，必有

即 f-′（x0）存在且有

通過該定理我們可以直接求解一些分段函數(shù)在分段點(diǎn)的的導(dǎo)數(shù)問題.

（1）如果分段函數(shù)在分段點(diǎn)單側(cè)連續(xù)，且在這一側(cè)的導(dǎo)函數(shù)的極限存在，則可以直接利用該定理.

（2）如果分段函數(shù)在分段點(diǎn)連續(xù)，且在兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的極限均存在，那么左、右導(dǎo)數(shù)都可用該定理的求得.

（3）如果函數(shù)在分段點(diǎn)的兩側(cè)由同一表達(dá)式表示，且在分段點(diǎn)連續(xù)，如果存在，則有 f′

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].高等教育出版社.2003.

[2]吉米多維奇,費(fèi)定暉,周學(xué)圣.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(2)[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,1999：58.

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第五版)[M].北京：高等教育出版社,2002：78-82.

[4]袁文俊,鄧小成.極限的求導(dǎo)剝離法則[J].廣州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2006，(3).

[5]程黃金,陳偉.分段函數(shù)求導(dǎo)問題的多種解法[J].中國科技信息,2006，(16).

[6]王大榮,艾素梅.分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的求導(dǎo)方法芻議[J].滄州師范?？茖W(xué)校校報(bào),2005,21(3).

[7]劉其林,唐亮.一種分段函數(shù)分段點(diǎn)的求導(dǎo)方法及注意的問題[J].株洲師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2007,(4).

RESEARCH DERIVATIVE OF PIECEWISE FUNCTION AT THE DEMARCATION

CHEN Pei-shu
(Chaohu University,Chaohu Anhui 238000)

Derivative of piecewise function at the demarcation is an important and difficult problem in higher mathematics.The purpose of this paper is to study the differentiability of piecewise function at the point of demarcation,and we give the corresponding examples.

piecewise function;differential coefficient;continuous function

O172.1 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)符：

符：A

1672－2868（2011）03－0124－04

2011-3-6

安徽省2010年高校省級優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2010SQRL129）;巢湖學(xué)院科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目，巢湖學(xué)院院級重點(diǎn)課程（高等數(shù)學(xué)）

陳佩樹（1979-），男，安徽來安人。講師，博士,研究方向：隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)

責(zé)任編輯：陳 鳳