姚志東，陸肖勵(lì)

(浙江師范大學(xué) 物理系，浙江 金華 321004)

圓盤鋸齒型石墨烯量子點(diǎn)的電子結(jié)構(gòu)研究

姚志東，陸肖勵(lì)

(浙江師范大學(xué) 物理系，浙江 金華 321004)

通過數(shù)值求解Dirac方程，研究了在垂直磁場下鋸齒型(zigzag)石墨烯(graphene)量子點(diǎn)的能譜結(jié)構(gòu)。無磁場時(shí)，量子點(diǎn)能譜沒有帶隙，并存在能量為零的邊界態(tài)。當(dāng)外加磁場時(shí)，能譜中出現(xiàn)朗道能級，最低朗道能級能量為零且與磁場大小無關(guān)，隨著磁場的增加，朗道能級簡并度會隨之增加。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，磁場對K點(diǎn)與K’點(diǎn)的能譜結(jié)構(gòu)有不同的影響，導(dǎo)致谷(valley)間簡并被破壞。

石墨烯;量子點(diǎn);電子結(jié)構(gòu);朗道能級

0 引言

石墨烯(graphene)是碳原子分布在二維蜂巢晶格點(diǎn)陣上的單原子層晶體。自從2004年Novoselov等人利用機(jī)械剝離方法制備并且成功觀測到以來［1］，這類材料已引起了人們廣泛的研究。石墨烯具有一些奇特的電子性質(zhì):載流子可以看作是無質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子［2］，具有奇異的量子霍爾效應(yīng)［3］等?；谑?，人們可以將之加工成各種形狀，最常見的是石墨烯納米帶，對納米帶的電子結(jié)構(gòu)的研究也有了很多的結(jié)果［4，5］，從而為制作未來石墨烯納米器件奠定了理論基礎(chǔ)。

最近，石墨烯量子點(diǎn)已在理論和實(shí)驗(yàn)上得到了廣泛研究，已有多個(gè)小組通過不同的實(shí)驗(yàn)方法制造出了石墨烯量子點(diǎn)，并研究了其在磁場下的能譜結(jié)構(gòu)，在強(qiáng)磁場下觀測到了朗道能級［6］。由于石墨烯中的載流子遵循相對論性量子力學(xué)中的Dirac方程，因此與傳統(tǒng)的二維電子系統(tǒng)相比，這種材料的能譜結(jié)構(gòu)有著明顯的不同。例如，石墨烯中的最低朗道能級能量為零［3］。

本文將通過數(shù)值求解Dirac方程，來研究扶手型邊界下圓盤形量子點(diǎn)在垂直磁場下的能譜結(jié)構(gòu)，量子點(diǎn)半徑與能隙的關(guān)系，以及最低朗道能級的簡并度與磁場以及量子點(diǎn)半徑的關(guān)系，計(jì)算結(jié)果對圓盤形石墨烯量子點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)用具一定的有指導(dǎo)意義。

1 計(jì)算模型和計(jì)算方法

1.1 理論模型

考慮半徑為R的圓盤形石墨烯量子點(diǎn)，在垂直磁場下模型的哈密頓量可表示為［7］

系統(tǒng)的本征方程為 Hφ(r，θ)=Eφ(r，θ)，波函數(shù)為二分量旋量由于總的角動量算符，，與哈密頓量對易，即［H，Jz］=0，所以我們可以把系統(tǒng)的本征態(tài)在極坐標(biāo)下設(shè)為［8］

其中m為角動量量子數(shù) (m=0，±1，±2，…)，代入本征方程可得到兩個(gè)耦合的本征方程組

其中:Φ0=h/e為單位磁通量子。

1.2 計(jì)算方法

為了求解方程(3)的解，采用有限差分的方法，考慮鋸齒型邊界條件［8］

方程(3)可以離散化為

以上方程組可以寫成對稱矩陣的形式，對于每一個(gè)m值對角化矩陣就可以得到相應(yīng)的本征值，從而得到體系的能譜結(jié)構(gòu)。本文中為了方便，我們將把石墨烯中碳－碳原子間距離(a=0.142nm)作為長度單位，hvF為能量單位［8］。

圖1 石墨烯量子點(diǎn)K’點(diǎn)在不同磁場下的能譜結(jié)構(gòu)(R=50a) (a)B=0(b)B=10(c)B=20

2 計(jì)算結(jié)果與討論

根據(jù)以上的模型以及計(jì)算方法，我們首先計(jì)算了不同磁場下量子點(diǎn)的K點(diǎn)以及K’的能譜結(jié)構(gòu)，圖1為K’點(diǎn)不同磁場下能譜結(jié)構(gòu)。由圖1中可知，當(dāng)B=0時(shí)能譜分為正負(fù)能量兩支并呈現(xiàn)線性能譜結(jié)構(gòu)，這與解析結(jié)果相符合。正的能量表示電子的能譜，而負(fù)的能量描述空穴的能譜，并且正負(fù)能量是對稱的，表示石墨烯中的電子－空穴的對稱性。同時(shí)，能譜中存在能量為零的邊界態(tài)，當(dāng)外加磁場增加時(shí)，邊界態(tài)能量并不改變。當(dāng)外加磁場時(shí)，能譜中會出現(xiàn)朗道能級，且最低的朗道能級能量為零［3，6］，隨著磁場的增強(qiáng)，會有更多的狀態(tài)形成朗道能級，朗道能級的簡并度增加，并且朗道能級間的間隔并不是均勻的，這與傳統(tǒng)的二維電子氣有所不同。同時(shí)，我們可以看到，外加較強(qiáng)磁場時(shí)，會有新的能量為零的態(tài)的出現(xiàn)，這些新的零能態(tài)為最低朗道能級。

圖2為K點(diǎn)不同磁場下能譜結(jié)構(gòu)，可以看出當(dāng)磁場增強(qiáng)時(shí)，邊界態(tài)依然存在并沒有變化，同時(shí)可以看出沒有更多的零能態(tài)的出現(xiàn)。這與K’點(diǎn)的情況有明顯不同，這表明當(dāng)采用zigzag邊界條件時(shí)，K點(diǎn)和K’點(diǎn)的簡并消除了，這可以由邊界條件式(4)得出。當(dāng)我們采用式(4)的邊界時(shí)，對于A、B分量我們采用了不同的邊界條件，因此會使得K點(diǎn)和K’點(diǎn)的簡并消除。

圖2 石墨烯量子點(diǎn)K點(diǎn)在不同磁場下的能譜結(jié)構(gòu)(R=50a) (a)B=0(b)B=10(c)B=20

為了研究朗道能級與磁場的關(guān)系，我們計(jì)算了能譜與磁場的關(guān)系，見圖3。圖3中虛線(黑色)代表K點(diǎn)，實(shí)線(紅色)代表K’點(diǎn)。由圖3可以清楚地看出在強(qiáng)磁場下朗道能級的形成。最低朗道能級(n=0)能量為零并與磁場大小無關(guān)，而其余的朗道能級的能量則隨著磁場的增大而增加，這與二維自由電子氣有明顯的差別。

圖3 石墨烯量子點(diǎn)的能譜與磁場的關(guān)系 (R=50a)，圖中標(biāo)識了n=0，±1，±2五個(gè)朗道能級

3 結(jié)論

通過數(shù)值求解Dirac方程，我們計(jì)算了垂直磁場作用下鋸齒型(zigzag)邊界圓盤形石墨烯量子點(diǎn)的能譜。計(jì)算結(jié)果表明，無磁場時(shí)，量子點(diǎn)能譜沒有帶隙，并存在能量為零的邊界態(tài)。當(dāng)外加磁場時(shí)，能譜中出現(xiàn)朗道能級，最低朗道能級能量為零且與磁場大小無關(guān)，隨著磁場的增加，其它朗道能級能量會增大，朗道能級簡并度會隨之增加。同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，磁場對K點(diǎn)與K’點(diǎn)的能譜結(jié)構(gòu)有不同的影響，導(dǎo)致谷(valley)間簡并被破壞。這些結(jié)果為研究石墨烯量子點(diǎn)霍爾效應(yīng)提供了理論依據(jù)并對基于圓盤形石墨烯量子點(diǎn)的器件設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

［1］ Novoselov K S，Geim A K，Morozov S V，et al.Electric field effect in atomically thin carbon films［J］.Science，2004，306:666.

［2］ Novoselov K S，Geim A K，Morozov S V，et al.Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene［J］.Nature，2005，438:197.

［3］ Zhang Y B，Tan Y W，Stormer H L，et al.Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry＇s phase in graphene［J］.Nature，2005，438:201.

［4］ 歐陽方平，徐慧，魏辰.Zigzag型石墨納米帶電子結(jié)構(gòu)和輸運(yùn)性質(zhì)的第一性原理研究［J］.物理學(xué)報(bào)，2008(57):1073.

［5］ 畢冬梅，趙利軍，付志雄.不同寬度鋸齒型石墨烯納米帶的第一原理研究［J］.長春大學(xué)學(xué)報(bào)，2010(6):63.

［6］ Ponomarenko L A，Schedin F，Katsnelson M I，et al.Chaotic Dirac Billiard in Graphene Quantum Dots［J］.Science，2008，320:356.

［7］ Schnez S，Ensslin K，Sigrist M，et al.Analytic model of the energy spectrum of a graphene quantum dot in a perpendicular magnetic field［J］.Phys.Rev.B，2008，78:195427.

［8］ Pereira V M，Nilsson J，Castro Neto A H.Coulomb Impurity Problem in Graphene［J］.Phys.Rev.Lett，2007，99:166802.

A research on the electronic structure of circular zigzag graphene quantum dot

YAO Zhi-dong，LU Xiao-li

(Physics Department，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China)

This paper studies the energy spectral structure of circular zigzag graphene quantum dot(GQD)in the presence of a perpendicular magnetic field by solving Dirac equation numerically.The energy spectrum has edge states with zero energy in the absence of a magnetic field.The Landau levels will appear and the degeneracy of the Landau levels increases as the magnetic field increases.The lowest Landau level energy is zero and has correlation with the magnetic field.We also find that the magnetic field has effects on the electronic structure of K point and K’point differently，which breaks the valley degeneracy.

graphene;quantum dot;electronic structure;Landau level

O469

A

1009－3907(2011)06－0061－04

2011-04-06

姚志東(1985-)，男，河北唐山人，碩士研究生，主要從事凝聚態(tài)理論方面研究。

責(zé)任編輯:鐘 聲