孫海生，張海酉，劉志濤

(1.西北工業(yè)大學，陜西西安 710072;2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心低速所，四川綿陽 622662)

0 引言

飛機過失速機動時產(chǎn)生的流動分離和旋渦破碎，使得氣動力和氣動力矩呈現(xiàn)高度的非線性和非定常特性，過失速機動引起的氣動力遲滯效應(yīng)突出。如何精確地確定非定常氣動力，對分析飛機的飛行品質(zhì)和飛行控制系統(tǒng)設(shè)計有著極其重要的意義。

風洞試驗仍是研究飛機過失速機動非定常氣動力的主要手段，但由于條件限制，風洞試驗并不能完全模擬飛機大迎角機動飛行中的運動狀態(tài)。因此，基于風洞試驗獲得典型機動飛行狀態(tài)的非定常氣動力，通過辨識方法建立非定常氣動力數(shù)學模型，將氣動力和飛行狀態(tài)直接結(jié)合起來，對于飛機過失速機動能力評估和飛行控制律設(shè)計具有重要的意義。

經(jīng)過國內(nèi)外研究人員幾十年的努力，非定常氣動力建模取得了重要進展，建立了各種各樣的模型，具有代表性的有代數(shù)多項式模型、微積分模型和基于現(xiàn)代人工智能的模糊邏輯模型等。這些模型各有優(yōu)缺點，也有在特殊條件下的成功應(yīng)用，但是到目前為止仍然沒有一種被普遍接受具有較強工程應(yīng)用價值的非定常建模方法。

本文以SDM標模大振幅俯仰振蕩風洞試驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，建立了幾種典型的非定常氣動力數(shù)學模型，包括基于Fourier變換法的非定常氣動力模型、非線性代數(shù)模型、基于微分方法的狀態(tài)空間模型和差分方程模型以及基于人工智能的模糊邏輯數(shù)學模型。利用風洞試驗數(shù)據(jù)開展了模型結(jié)構(gòu)辨識和參數(shù)辨識，對所建立的幾種非定常氣動力數(shù)學模型進行了比較研究。

1 非定常氣動力建模

1.1 代數(shù)多項式數(shù)學模型

lIN G F等人建立了一種基于線性代數(shù)模型的非定常氣動力數(shù)學模型:非線性代數(shù)模型［1］。該模型本質(zhì)上是利用Taylor級數(shù)將氣動力和力矩系數(shù)表示為飛行狀態(tài)變量的高階多項式，模型結(jié)構(gòu)簡單，參數(shù)辨識容易。以俯仰振蕩為例:將縱向氣動力和力矩表示成迎角α及其變化率的多項式:

式中Ca表示氣動力和力矩系數(shù)，例如CL、CD和Cm。一般情況下常數(shù)項和只含有α的項的系數(shù)取為:

式中，k為減縮頻率。利用SDM標模俯仰振蕩風洞試驗數(shù)據(jù)進行模型參數(shù)辨識。減縮頻率范圍為0.02667、0.04016、0.05355、0.0667，平衡迎角 α0=40°，振幅 αm=20°。圖1給出了建模結(jié)果與試驗結(jié)果的比較。

圖1 代數(shù)多項式模型建模結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的比較Fig.1 Comparison of polynomial modeling and test results

1.2 Fourier函數(shù)分析模型

C.Edward Lan等人在Tobak和Schiff建立的積分形式的氣動力系數(shù)表達式基礎(chǔ)上利用Fourier分析原理建立了非定常氣動力響應(yīng)模型［2］，以升力為例:

其中，PDj為2階Padé近似，定義為:

式中，(Eij+Emn)等表示的是附加質(zhì)量的影響，而(Hijα+Hmn)等為幅值函數(shù)，代表的是準定常氣動力響應(yīng)，(1－PDj)為相位函數(shù)，表示非定常氣動力遲滯，t'為無量綱時間變量。阻力氣動力響應(yīng)模型和俯仰力矩氣動力響應(yīng)模型與式(3)的表達式相同。

首先利用最小二乘法確定系數(shù) P1j、P2j、P3j、P4j，再利用共軛梯度法優(yōu)化系數(shù)E、H。建模結(jié)果見圖2。

從圖2中可以看出，在曲線兩端無試驗數(shù)據(jù)處，建模結(jié)果出現(xiàn)了振蕩。原因是Fourier分析針對數(shù)據(jù)總體進行分析，在局部區(qū)域內(nèi)基本上無精度可言，針對該問題文獻［3］發(fā)展了用于局部分析的小波分析建模法。

1.3 狀態(tài)空間模型

圖2 Fourier模型建模結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的比較(k=0.04016)Fig.2 Comparison of Fourier modeling and test results(k=0.04016)

狀態(tài)空間模型是近年來廣泛使用的一種非定常氣動力模型，它利用微分方程將空氣動力載荷和物理流動現(xiàn)象結(jié)合在一起，在非定常氣動載荷研究方面具有巨大的優(yōu)勢。該方法首先由Goman等人在其1994年發(fā)表的著作中將其應(yīng)用于大迎角非定常氣動特性研究。其基本假設(shè)是:飛行器大迎角氣動力的遲滯效應(yīng)主要是由流動分離和渦破碎引起的，因此可用與流動分離和渦破碎位置相關(guān)的狀態(tài)變量來描述。引入無量綱量=x/c∈［0，1］描述機翼上表面氣流分離點的位置，x表示分離點位置到機翼前緣的距離，c表示翼型的弦長［4］。=1對應(yīng)于附著流=0對應(yīng)于分離點在機翼前緣的流動。

典型的大迎角非定常氣動力的狀態(tài)空間數(shù)學模型為:

式中，Ci0為常數(shù)表征非定常分離過程的時間常數(shù)表征分離滯后的時間常數(shù)，函數(shù)x0(α)表征定常流動狀態(tài)下分離點坐標和迎角之間的關(guān)系;α*對應(yīng)于分離點位置到達翼型弦線中點時的迎角，σ代表斜率因子=是無量綱化的俯仰角速率，t*=c/2v代表流動的特征時間。

未知參數(shù)σ、α*可利用靜態(tài)試驗數(shù)據(jù)辨識得到、通過非定常試驗數(shù)據(jù)辨識得到。建模結(jié)果見圖3。

圖3 狀態(tài)空間模型建模結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的比較(k=0.02066)Fig.3 Comparison of state space modeling and test results(k=0.02066)

1.4 差分方程模型

在利用狀態(tài)空間模型建模過程中，狀態(tài)方程關(guān)于分離點位置參數(shù)是非線性的，且氣動力是狀態(tài)變量的非線性函數(shù)，給模型結(jié)構(gòu)辨識和參數(shù)辨識帶來很大困難。為克服該問題，汪清等人在文獻［5］中提出了一種對氣動力系數(shù)直接微分的數(shù)學模型，模型中各個參數(shù)有比較明確的物理意義。

在大迎角條件下，將氣動力分解為三部分:靜態(tài)氣動力分量Cist(t)、由定常旋轉(zhuǎn)和下洗遲滯產(chǎn)生的準定常氣動力增量Ciqst(t)、由旋渦破裂和恢復(fù)遲滯引起的非定常氣動力增量Ciunst(t)，其中Ciunst(t)由微分方程表達。用向前差分求解微分方程得到如下結(jié)果:

式中，Ci(k)表示非定常試驗數(shù)據(jù)，Cist(k)表示靜態(tài)氣動力系數(shù)，可以從風洞靜態(tài)試驗獲得，α(k)、(k)通過試驗給出;Ciqst(t)可從動導數(shù)風洞試驗等強迫振動試驗中獲得。方程(9)變?yōu)閮H關(guān)于2、Aij的線性函數(shù)，可利用風洞試驗數(shù)據(jù)通過最小二乘法參數(shù)辨識給出估計值。

由式(8)可得，當前時刻的非定常氣動力增量Cyunst取決于前一時刻的Ciunst(k－1)和當前時刻的迎角α(k)及其變化率(k)。Ciunst(k)通過Ciunst(k－1)與之前的運動發(fā)生聯(lián)系，明確了該模型的物理意義。

結(jié)合式(8)和式(9)可知，每一步計算得到的非定常氣動力Ciunst(k)的誤差都將傳遞到下一步，誤差的累積最終將影響建模結(jié)果的準確性，因此需要對計算結(jié)果進行誤差修正，本文在建模過程中采用了變系數(shù)的高斯白噪聲修正。圖4給出了微分方程建模結(jié)果。

圖4 差分方程模型建模結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的比較(k=0.02066)Fig.4 Comparison of difference equation modeling and test results(k=0.02066)

1.5 模糊邏輯模型

基于人工智能的模型邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模法具有變量多、自學習能力強、精度高等優(yōu)點，近年來在飛行器非定常氣動力建模方面得到廣泛應(yīng)用。

模糊邏輯模型主要包含四個元素:隸屬函數(shù)、內(nèi)部函數(shù)、模糊規(guī)則和輸出函數(shù)。隸屬函數(shù)的確定有多種方式，本文采用分析推理法中的三角型隸屬函數(shù)。

隸屬函數(shù)把輸入空間分成若干個模糊子空間，對每一個變量子空間取一個隸屬函數(shù)就構(gòu)成一個模糊單元，內(nèi)部函數(shù)即為模糊單元的輸出:

其中，Pi是內(nèi)部函數(shù))是內(nèi)部函數(shù)的系數(shù)，k 為輸入變量的個數(shù)，(x1j，…，xrj，…，xkj)為第 j個輸入樣本。

模糊邏輯模型的輸出函數(shù)為:

式中，xrj(r=1，…，k)是模型的輸入是模型的輸出，)是 xrj的隸屬函數(shù);(xkj)］表示對第i個內(nèi)部函數(shù)的加權(quán)，可以采用隸屬函數(shù)的乘積運算或取最小運算，本文采用的是取乘積運算;下標j表示第j個輸入樣本。

圖5分別給出了k=0.04016時CL、Cm的模型輸出與試驗樣本的比較。由圖可知，二者具有較好的一致性。

圖6給出了模糊邏輯模型預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果的比較。由圖可知，模糊邏輯模型能較好地預(yù)測非定常氣動力。

2 建模結(jié)果對比

圖7為Fourier模型、代數(shù)多項式模型、差分方程模型、狀態(tài)空間模型和模糊邏輯模型辨識得到的SDM標模大振幅振蕩時的升力和阻力響應(yīng)。由圖可知在迎角較大時，F(xiàn)ourier模型和差分方程模型的誤差較大，建模精度較其它模型差。

圖6 模糊邏輯模型預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果的比較(k=0.05355)Fig.6 Comparison of fuzzy logic predicting and training data(k=0.05355)

從建模過程可知，F(xiàn)ourier模型有明確的表達式，表達式中各項物理意義明確，但模型待辨識參數(shù)較多，參數(shù)辨識困難，常用于定速率或簡諧振蕩風洞試驗數(shù)據(jù)建模中。

非線性代數(shù)多項式模型表達式簡潔，便于應(yīng)用，但對于不同的試驗?zāi)Ｐ捅仨毥⒉煌谋磉_式，多用于運動方式簡單，影響參數(shù)較少的非定常氣動力建模中。

圖7 五種不同模型建模結(jié)果對比Fig.7 Comparison of the five approaches modeling results

差分方程模型在實際應(yīng)用中比較方便，但是其累積誤差的修正比較困難，對其建模精度有較大影響，該模型多用于靜、動態(tài)風洞試驗數(shù)據(jù)比較完整的氣動力建模中，對飛機的氣動性能研究和流動機理研究具有重大意義。

狀態(tài)空間模型物理意義明確，通用性較強，精度也較高，是近年來應(yīng)用較多的模型，特別適用于翼型動態(tài)特性建模。

模糊邏輯模型雖然沒有明確的表達式，辨識出的參數(shù)也沒有明確的物理意義，但其建模精度最高，可滿足多變量氣動力的建模需要，具有廣泛的應(yīng)用價值，特別適用于耦合運動、影響參數(shù)較多的非定常氣動力建模中，對各參數(shù)影響程度的研究具有重大意義。

3 結(jié)論

通過以上分析，可以得出以下結(jié)論:

(1)不同的建模方法各有優(yōu)缺點，在應(yīng)用過程中，應(yīng)根據(jù)實際需求進行取舍。

(2)加強對大迎角非定常流動機理研究對于建立物理意義明確、變量多、預(yù)測精度高的非定常氣動力模型具有重要的意義。

［1］LIN G F，LAN C E.A generalized aerodynamic coefficient model for fight dynamics application［R］.AIAA-97-3643，1997.

［2］CHIN C S，LAN C E.Fourier function analysis for unsteady aerodynamic modeling［R］.N91-18064/6/XAD，1991.

［3］彭小剛.飛行器氣動力系數(shù)小波網(wǎng)絡(luò)建模研究［D］.哈爾濱工業(yè)大學，2006.

［4］GOMAN M，KHRABROV A.State-space representation of aerodynamic characteristic of an aircraft at high angle of attack［R］.AIAA 92-4651，1992.

［5］汪清.飛機大迎角非定常氣動力建模及應(yīng)用研究［D］.西北工業(yè)大學，1994.

［6］孔軼男.氣動力建模的模糊邏輯方法［D］.中國空氣動力研究與發(fā)展中心研究生部，2005.