孫海生，張海酉，劉志濤

(1.西北工業(yè)大學(xué)，陜西西安 710072;2.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心低速所，四川綿陽(yáng) 622662)

0 引言

飛機(jī)過(guò)失速機(jī)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的流動(dòng)分離和旋渦破碎，使得氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩呈現(xiàn)高度的非線性和非定常特性，過(guò)失速機(jī)動(dòng)引起的氣動(dòng)力遲滯效應(yīng)突出。如何精確地確定非定常氣動(dòng)力，對(duì)分析飛機(jī)的飛行品質(zhì)和飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)有著極其重要的意義。

風(fēng)洞試驗(yàn)仍是研究飛機(jī)過(guò)失速機(jī)動(dòng)非定常氣動(dòng)力的主要手段，但由于條件限制，風(fēng)洞試驗(yàn)并不能完全模擬飛機(jī)大迎角機(jī)動(dòng)飛行中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此，基于風(fēng)洞試驗(yàn)獲得典型機(jī)動(dòng)飛行狀態(tài)的非定常氣動(dòng)力，通過(guò)辨識(shí)方法建立非定常氣動(dòng)力數(shù)學(xué)模型，將氣動(dòng)力和飛行狀態(tài)直接結(jié)合起來(lái)，對(duì)于飛機(jī)過(guò)失速機(jī)動(dòng)能力評(píng)估和飛行控制律設(shè)計(jì)具有重要的意義。

經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外研究人員幾十年的努力，非定常氣動(dòng)力建模取得了重要進(jìn)展，建立了各種各樣的模型，具有代表性的有代數(shù)多項(xiàng)式模型、微積分模型和基于現(xiàn)代人工智能的模糊邏輯模型等。這些模型各有優(yōu)缺點(diǎn)，也有在特殊條件下的成功應(yīng)用，但是到目前為止仍然沒(méi)有一種被普遍接受具有較強(qiáng)工程應(yīng)用價(jià)值的非定常建模方法。

本文以SDM標(biāo)模大振幅俯仰振蕩風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，建立了幾種典型的非定常氣動(dòng)力數(shù)學(xué)模型，包括基于Fourier變換法的非定常氣動(dòng)力模型、非線性代數(shù)模型、基于微分方法的狀態(tài)空間模型和差分方程模型以及基于人工智能的模糊邏輯數(shù)學(xué)模型。利用風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)開(kāi)展了模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)和參數(shù)辨識(shí)，對(duì)所建立的幾種非定常氣動(dòng)力數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了比較研究。

1 非定常氣動(dòng)力建模

1.1 代數(shù)多項(xiàng)式數(shù)學(xué)模型

lIN G F等人建立了一種基于線性代數(shù)模型的非定常氣動(dòng)力數(shù)學(xué)模型:非線性代數(shù)模型［1］。該模型本質(zhì)上是利用Taylor級(jí)數(shù)將氣動(dòng)力和力矩系數(shù)表示為飛行狀態(tài)變量的高階多項(xiàng)式，模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，參數(shù)辨識(shí)容易。以俯仰振蕩為例:將縱向氣動(dòng)力和力矩表示成迎角α及其變化率的多項(xiàng)式:

式中Ca表示氣動(dòng)力和力矩系數(shù)，例如CL、CD和Cm。一般情況下常數(shù)項(xiàng)和只含有α的項(xiàng)的系數(shù)取為:

式中，k為減縮頻率。利用SDM標(biāo)模俯仰振蕩風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)。減縮頻率范圍為0.02667、0.04016、0.05355、0.0667，平衡迎角 α0=40°，振幅 αm=20°。圖1給出了建模結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較。

圖1 代數(shù)多項(xiàng)式模型建模結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較Fig.1 Comparison of polynomial modeling and test results

1.2 Fourier函數(shù)分析模型

C.Edward Lan等人在Tobak和Schiff建立的積分形式的氣動(dòng)力系數(shù)表達(dá)式基礎(chǔ)上利用Fourier分析原理建立了非定常氣動(dòng)力響應(yīng)模型［2］，以升力為例:

其中，PDj為2階Padé近似，定義為:

式中，(Eij+Emn)等表示的是附加質(zhì)量的影響，而(Hijα+Hmn)等為幅值函數(shù)，代表的是準(zhǔn)定常氣動(dòng)力響應(yīng)，(1－PDj)為相位函數(shù)，表示非定常氣動(dòng)力遲滯，t'為無(wú)量綱時(shí)間變量。阻力氣動(dòng)力響應(yīng)模型和俯仰力矩氣動(dòng)力響應(yīng)模型與式(3)的表達(dá)式相同。

首先利用最小二乘法確定系數(shù) P1j、P2j、P3j、P4j，再利用共軛梯度法優(yōu)化系數(shù)E、H。建模結(jié)果見(jiàn)圖2。

從圖2中可以看出，在曲線兩端無(wú)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處，建模結(jié)果出現(xiàn)了振蕩。原因是Fourier分析針對(duì)數(shù)據(jù)總體進(jìn)行分析，在局部區(qū)域內(nèi)基本上無(wú)精度可言，針對(duì)該問(wèn)題文獻(xiàn)［3］發(fā)展了用于局部分析的小波分析建模法。

1.3 狀態(tài)空間模型

圖2 Fourier模型建模結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較(k=0.04016)Fig.2 Comparison of Fourier modeling and test results(k=0.04016)

狀態(tài)空間模型是近年來(lái)廣泛使用的一種非定常氣動(dòng)力模型，它利用微分方程將空氣動(dòng)力載荷和物理流動(dòng)現(xiàn)象結(jié)合在一起，在非定常氣動(dòng)載荷研究方面具有巨大的優(yōu)勢(shì)。該方法首先由Goman等人在其1994年發(fā)表的著作中將其應(yīng)用于大迎角非定常氣動(dòng)特性研究。其基本假設(shè)是:飛行器大迎角氣動(dòng)力的遲滯效應(yīng)主要是由流動(dòng)分離和渦破碎引起的，因此可用與流動(dòng)分離和渦破碎位置相關(guān)的狀態(tài)變量來(lái)描述。引入無(wú)量綱量=x/c∈［0，1］描述機(jī)翼上表面氣流分離點(diǎn)的位置，x表示分離點(diǎn)位置到機(jī)翼前緣的距離，c表示翼型的弦長(zhǎng)［4］。=1對(duì)應(yīng)于附著流=0對(duì)應(yīng)于分離點(diǎn)在機(jī)翼前緣的流動(dòng)。

典型的大迎角非定常氣動(dòng)力的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型為:

式中，Ci0為常數(shù)表征非定常分離過(guò)程的時(shí)間常數(shù)表征分離滯后的時(shí)間常數(shù)，函數(shù)x0(α)表征定常流動(dòng)狀態(tài)下分離點(diǎn)坐標(biāo)和迎角之間的關(guān)系;α*對(duì)應(yīng)于分離點(diǎn)位置到達(dá)翼型弦線中點(diǎn)時(shí)的迎角，σ代表斜率因子=是無(wú)量綱化的俯仰角速率，t*=c/2v代表流動(dòng)的特征時(shí)間。

未知參數(shù)σ、α*可利用靜態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)得到、通過(guò)非定常試驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)得到。建模結(jié)果見(jiàn)圖3。

圖3 狀態(tài)空間模型建模結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較(k=0.02066)Fig.3 Comparison of state space modeling and test results(k=0.02066)

1.4 差分方程模型

在利用狀態(tài)空間模型建模過(guò)程中，狀態(tài)方程關(guān)于分離點(diǎn)位置參數(shù)是非線性的，且氣動(dòng)力是狀態(tài)變量的非線性函數(shù)，給模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)和參數(shù)辨識(shí)帶來(lái)很大困難。為克服該問(wèn)題，汪清等人在文獻(xiàn)［5］中提出了一種對(duì)氣動(dòng)力系數(shù)直接微分的數(shù)學(xué)模型，模型中各個(gè)參數(shù)有比較明確的物理意義。

在大迎角條件下，將氣動(dòng)力分解為三部分:靜態(tài)氣動(dòng)力分量Cist(t)、由定常旋轉(zhuǎn)和下洗遲滯產(chǎn)生的準(zhǔn)定常氣動(dòng)力增量Ciqst(t)、由旋渦破裂和恢復(fù)遲滯引起的非定常氣動(dòng)力增量Ciunst(t)，其中Ciunst(t)由微分方程表達(dá)。用向前差分求解微分方程得到如下結(jié)果:

式中，Ci(k)表示非定常試驗(yàn)數(shù)據(jù)，Cist(k)表示靜態(tài)氣動(dòng)力系數(shù)，可以從風(fēng)洞靜態(tài)試驗(yàn)獲得，α(k)、(k)通過(guò)試驗(yàn)給出;Ciqst(t)可從動(dòng)導(dǎo)數(shù)風(fēng)洞試驗(yàn)等強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)中獲得。方程(9)變?yōu)閮H關(guān)于2、Aij的線性函數(shù)，可利用風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)最小二乘法參數(shù)辨識(shí)給出估計(jì)值。

由式(8)可得，當(dāng)前時(shí)刻的非定常氣動(dòng)力增量Cyunst取決于前一時(shí)刻的Ciunst(k－1)和當(dāng)前時(shí)刻的迎角α(k)及其變化率(k)。Ciunst(k)通過(guò)Ciunst(k－1)與之前的運(yùn)動(dòng)發(fā)生聯(lián)系，明確了該模型的物理意義。

結(jié)合式(8)和式(9)可知，每一步計(jì)算得到的非定常氣動(dòng)力Ciunst(k)的誤差都將傳遞到下一步，誤差的累積最終將影響建模結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此需要對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差修正，本文在建模過(guò)程中采用了變系數(shù)的高斯白噪聲修正。圖4給出了微分方程建模結(jié)果。

圖4 差分方程模型建模結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較(k=0.02066)Fig.4 Comparison of difference equation modeling and test results(k=0.02066)

1.5 模糊邏輯模型

基于人工智能的模型邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模法具有變量多、自學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、精度高等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)在飛行器非定常氣動(dòng)力建模方面得到廣泛應(yīng)用。

模糊邏輯模型主要包含四個(gè)元素:隸屬函數(shù)、內(nèi)部函數(shù)、模糊規(guī)則和輸出函數(shù)。隸屬函數(shù)的確定有多種方式，本文采用分析推理法中的三角型隸屬函數(shù)。

隸屬函數(shù)把輸入空間分成若干個(gè)模糊子空間，對(duì)每一個(gè)變量子空間取一個(gè)隸屬函數(shù)就構(gòu)成一個(gè)模糊單元，內(nèi)部函數(shù)即為模糊單元的輸出:

其中，Pi是內(nèi)部函數(shù))是內(nèi)部函數(shù)的系數(shù)，k 為輸入變量的個(gè)數(shù)，(x1j，…，xrj，…，xkj)為第 j個(gè)輸入樣本。

模糊邏輯模型的輸出函數(shù)為:

式中，xrj(r=1，…，k)是模型的輸入是模型的輸出，)是 xrj的隸屬函數(shù);(xkj)］表示對(duì)第i個(gè)內(nèi)部函數(shù)的加權(quán)，可以采用隸屬函數(shù)的乘積運(yùn)算或取最小運(yùn)算，本文采用的是取乘積運(yùn)算;下標(biāo)j表示第j個(gè)輸入樣本。

圖5分別給出了k=0.04016時(shí)CL、Cm的模型輸出與試驗(yàn)樣本的比較。由圖可知，二者具有較好的一致性。

圖6給出了模糊邏輯模型預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較。由圖可知，模糊邏輯模型能較好地預(yù)測(cè)非定常氣動(dòng)力。

2 建模結(jié)果對(duì)比

圖7為Fourier模型、代數(shù)多項(xiàng)式模型、差分方程模型、狀態(tài)空間模型和模糊邏輯模型辨識(shí)得到的SDM標(biāo)模大振幅振蕩時(shí)的升力和阻力響應(yīng)。由圖可知在迎角較大時(shí)，F(xiàn)ourier模型和差分方程模型的誤差較大，建模精度較其它模型差。

圖6 模糊邏輯模型預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較(k=0.05355)Fig.6 Comparison of fuzzy logic predicting and training data(k=0.05355)

從建模過(guò)程可知，F(xiàn)ourier模型有明確的表達(dá)式，表達(dá)式中各項(xiàng)物理意義明確，但模型待辨識(shí)參數(shù)較多，參數(shù)辨識(shí)困難，常用于定速率或簡(jiǎn)諧振蕩風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)建模中。

非線性代數(shù)多項(xiàng)式模型表達(dá)式簡(jiǎn)潔，便于應(yīng)用，但對(duì)于不同的試驗(yàn)?zāi)Ｐ捅仨毥⒉煌谋磉_(dá)式，多用于運(yùn)動(dòng)方式簡(jiǎn)單，影響參數(shù)較少的非定常氣動(dòng)力建模中。

圖7 五種不同模型建模結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of the five approaches modeling results

差分方程模型在實(shí)際應(yīng)用中比較方便，但是其累積誤差的修正比較困難，對(duì)其建模精度有較大影響，該模型多用于靜、動(dòng)態(tài)風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較完整的氣動(dòng)力建模中，對(duì)飛機(jī)的氣動(dòng)性能研究和流動(dòng)機(jī)理研究具有重大意義。

狀態(tài)空間模型物理意義明確，通用性較強(qiáng)，精度也較高，是近年來(lái)應(yīng)用較多的模型，特別適用于翼型動(dòng)態(tài)特性建模。

模糊邏輯模型雖然沒(méi)有明確的表達(dá)式，辨識(shí)出的參數(shù)也沒(méi)有明確的物理意義，但其建模精度最高，可滿足多變量氣動(dòng)力的建模需要，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，特別適用于耦合運(yùn)動(dòng)、影響參數(shù)較多的非定常氣動(dòng)力建模中，對(duì)各參數(shù)影響程度的研究具有重大意義。

3 結(jié)論

通過(guò)以上分析，可以得出以下結(jié)論:

(1)不同的建模方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在應(yīng)用過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行取舍。

(2)加強(qiáng)對(duì)大迎角非定常流動(dòng)機(jī)理研究對(duì)于建立物理意義明確、變量多、預(yù)測(cè)精度高的非定常氣動(dòng)力模型具有重要的意義。

［1］LIN G F，LAN C E.A generalized aerodynamic coefficient model for fight dynamics application［R］.AIAA-97-3643，1997.

［2］CHIN C S，LAN C E.Fourier function analysis for unsteady aerodynamic modeling［R］.N91-18064/6/XAD，1991.

［3］彭小剛.飛行器氣動(dòng)力系數(shù)小波網(wǎng)絡(luò)建模研究［D］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2006.

［4］GOMAN M，KHRABROV A.State-space representation of aerodynamic characteristic of an aircraft at high angle of attack［R］.AIAA 92-4651，1992.

［5］汪清.飛機(jī)大迎角非定常氣動(dòng)力建模及應(yīng)用研究［D］.西北工業(yè)大學(xué)，1994.

［6］孔軼男.氣動(dòng)力建模的模糊邏輯方法［D］.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心研究生部，2005.