孫 平，李征宇，李 旸

(沈陽建筑大學(xué) a.理學(xué)院;b.信息學(xué)院，沈陽 110168)

偽內(nèi)射模及其同調(diào)維數(shù)

孫 平a，李征宇b，李 旸a

(沈陽建筑大學(xué) a.理學(xué)院;b.信息學(xué)院，沈陽 110168)

通過引入偽內(nèi)射模的概念，定義了偽內(nèi)射維數(shù)和偽內(nèi)射整體維數(shù)，論證了偽內(nèi)射維數(shù)和偽內(nèi)射整體維數(shù)的關(guān)系;當(dāng)環(huán)R是半單環(huán)和左遺傳環(huán)時(shí)，給出偽內(nèi)射整體維數(shù)的性質(zhì)，證明了環(huán)R是整環(huán)時(shí)偽內(nèi)射模所具有的性質(zhì)。

偽內(nèi)射模;偽內(nèi)射維數(shù);偽內(nèi)射整體維數(shù)

0 引言

內(nèi)射模是模論與同調(diào)代數(shù)所研究的重要模類，它對(duì)于各種環(huán)的刻畫及其它數(shù)學(xué)分支的發(fā)展起著重要的作用，內(nèi)射模的結(jié)構(gòu)至今未完全被人們所掌握，因此幾十年來內(nèi)射模已成為廣大研究者熱衷研究的對(duì)象。維數(shù)的研究也是同調(diào)理論中的核心部分之一，伴隨同調(diào)理論的形成，它一直是同調(diào)代數(shù)中研究的焦點(diǎn)。本文研究的是對(duì)內(nèi)射模的推廣——偽內(nèi)射模，主要研究其性質(zhì)及維數(shù)，進(jìn)而通過偽內(nèi)射模的相關(guān)維數(shù)來刻畫特殊的環(huán)。文中的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模指左酉模。

1 相關(guān)概念

定義1［1］如果對(duì)于任意單同態(tài)α:A→M和任意單同態(tài)β:A→M，存在M的自同態(tài)，使得α=γβ，則稱M是偽內(nèi)射模。

由偽內(nèi)射模的定義，可以得出如下結(jié)論:

引理1 內(nèi)射模是偽內(nèi)射模。

由上述引理1知，每一個(gè)左R－模M均有偽內(nèi)射分解，即存在如下正合序列:

其中每一個(gè)En都是偽內(nèi)射模。從而，引出如下概念:

定義2 左R－模M有如下形狀的偽內(nèi)射分解:

則在M的所有這種形狀的偽內(nèi)射分解中，必有一個(gè)偽內(nèi)射分解，其中n是最小的，這個(gè)最小的n稱為左R－模M的偽內(nèi)射維數(shù)，記pidRM。若沒有上述形狀的分解，則記pidRM=∞。

定義3 設(shè)R是環(huán)，左偽內(nèi)射整體維數(shù)lpiD(R)=Sup{pidRM:M∈Rm}。

引理2 若R是主理想整環(huán)，則一個(gè)R－模是內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)它是可除的。

2 主要結(jié)論

關(guān)于偽內(nèi)射模的偽內(nèi)射維數(shù)，有下述定理:

定理1 左R－模M是偽內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)pidRM=0。

下面，討論左內(nèi)射整體維數(shù)與左偽內(nèi)射整體維數(shù)之間的關(guān)系。

pidRM μn，所以 lpiD(R)μliD(R)。

關(guān)于半單環(huán)和左遺傳環(huán)的左偽內(nèi)射整體維數(shù)，有下述性質(zhì):

定理3 設(shè)R是環(huán)，則R是半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)lpiD(R)=0。

證明:環(huán)R是半單環(huán)?每一個(gè)左R－模M是偽內(nèi)射模［1］?對(duì)任意左R－模M，根據(jù)定理1知pidRM=0?lpiD(R)=0。

定理4 設(shè)R是環(huán)，若R是左遺傳環(huán)則lpiD(R)μ1。

證明:若R是左遺傳環(huán)，則對(duì)于R的任意左理想I都是投射模，則lpD(R)μ1，又lpD(R)=liD(R)，有l(wèi)iD(R)μ1，由定理 2 知，lpiD(R)μ1。

定理5 設(shè)R是半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)偽內(nèi)射模是內(nèi)射模。

證明:若R是半單環(huán)，則任意左R－模是內(nèi)射模，且任意左R－模是偽內(nèi)射模，因此每個(gè)偽內(nèi)射模是內(nèi)射模。

定理6 若R是整環(huán)，一個(gè)R－模M是偽內(nèi)射模，那么它是可除的。

證明:欲證M是可除的，只要證得對(duì)任意λ≠0且λ∈R，d∈M，存在d'∈M，使d=λd'。因?yàn)镸是偽內(nèi)射模，所以存在交換圖(圖1)(A是M的任意子模)，

定理7 設(shè)R是主理想整環(huán)，則偽內(nèi)射模的商模是偽內(nèi)射模。

證明:E是偽內(nèi)射模R－模，由定理6知，E是可除的，設(shè)A是E的商模，則有滿同態(tài)g:

E→A，對(duì)任意λ≠0且λ∈R，存在e∈E使g(e)=d，但E是可除的，所以存在e'∈E使e=

λe'，從而d=g(e)=g(λe')=λg(e')，其中g(shù)(e')∈A，所以A是可除的，由引理2知，A是內(nèi)射模，從而A是偽內(nèi)射模。

圖1 交換圖

［1］班秀和，韋儒和.偽內(nèi)射模與特殊環(huán)［J］.阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008(2):12－14.

［2］J.Rotman.An Introduction to Homological Algebra［M］.New York:Academic Press，1979:65 －75，232 －238.

［3］F.W.Anderson K.R.Fuller.Rings and Categories of Modules［M］.New York:Spring-verlag.1973:129 －130.

責(zé)任編輯:鐘 聲

Pseudo-injective modules and homological dimension

SUN Pinga，LI Zheng-yub，LI Yanga
(a.College of Science;b.College of Information，Shenyang Jianzhu University，Shenyang 110168，China)

Through introducing the concept of pseudo-injective modules，this paper defines pseudo-injective dimension and pseudo-injective global dimension and demonstrates the relationships between the two.When R is a semisimple ring or a left hereditary ring，the properties of pseudo-injective dimension is presented，which proves the properties of the modules when R is an integral ring.

pseudo-injective module;pseudo-injective dimension;pseudo-injective global dimension

O153.3

A

1009－3907(2011)06－0041－02

2010-03-25

沈陽建筑大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科基金資助項(xiàng)目(20100303)

孫平(1980-)，女，吉林德惠人，講師，碩士，主要從事代數(shù)學(xué)方面研究。