張鐵聲

(1．青島濱海學(xué)院，山東青島266555;2．山西省社會(huì)科學(xué)院，太原030006)

論哥德爾語句的維特根斯坦疑難
——未提及自身的算術(shù)命題何以談?wù)撟陨?

張鐵聲1，2

(1．青島濱海學(xué)院，山東青島266555;2．山西省社會(huì)科學(xué)院，太原030006)

維特根斯坦就哥德爾語句G提出了如下疑難，這個(gè)并未提及自身的算術(shù)命題何以竟會(huì)談?wù)撟陨?借助特定元數(shù)學(xué)關(guān)系的計(jì)算機(jī)可判定性及其特征函數(shù)的算術(shù)可定義性進(jìn)行深入分析，即可得出以下結(jié)論:G非但沒有提及自身，甚至也沒有談?wù)撟陨?，而只不過是涉及了自身——是G的推論在談?wù)揋。

哥德爾語句;維特根斯坦;提及自身;談?wù)撟陨?涉及自身

03－0012－07

一、問題的提出

哥德爾(不完全性定理的)證明的關(guān)鍵之點(diǎn)在于構(gòu)造那個(gè)著名的不可判定語句。哥德爾表明，在形式算術(shù)系統(tǒng)P中有一個(gè)語句G，它居然斷言“我在P中不可證”。G正是那個(gè)在P中不可判定的哥德爾語句，亦即G與﹁G在P中均不可證。簡單地說，若假定G在P中可證，G便是真的，由其所言便有G在P中不可證，這就導(dǎo)致了矛盾，故有G在P中不可證;另一方面，由于G在P中不可證，由其所言便有﹁G是假的，故而﹁G在S中也不可證。

然而，維特根斯坦卻就哥德爾語句G提出了一個(gè)疑難，這個(gè)疑難可表述為:這個(gè)并未提及自身的算術(shù)命題何以竟會(huì)談?wù)撟陨?他就此寫道:

“21．不要忘記，這個(gè)說其自身不可證的命題，必須被認(rèn)為是一個(gè)數(shù).學(xué).斷言，——因?yàn)檫@并非理.所.當(dāng).然.。一個(gè)斷言如此這般的結(jié)構(gòu)不能被構(gòu)造出來的命題必須被認(rèn)為是數(shù)學(xué)命題，這并非理所當(dāng)然。

這就是說，當(dāng)我們說‘它談?wù)撈渥陨怼?，就必須以一種特殊方式去理解這句話。因?yàn)樵谶@里，由于表達(dá)式‘這個(gè)命題談?wù)摗母挥谧兓挠梅?，容易造成混亂。

在這個(gè)意義上，命題‘625=25×25’也在談?wù)撍陨?也就是說，左邊的數(shù)字由右邊的數(shù)字相乘得出。哥德爾的談?wù)撈渥陨淼拿}，并未提及其自身?！雹龠@段引文的英文文本參見Blackwell Publishers出版的電子版The Collected Works of Ludwig Wittgenstein(pp385－386):21．Do not forget that the proposition asserting of itself that it is unprovable is to be conceived as a mathematical assertion－for that is not a matter of course．It is not a matter of course that the proposition that such－and－such a structure cannot be constructed is to be conceived as a mathematical proposition．That is to say:when we said:“it asserts of itself”－this has to be understood in a special way．For here it is easy for confusion to occur through the variegated use of the expression“this proposition asserts something of…”In this sense the proposition‘625=25(25’also asserts something about itself:namely that the left－h(huán)and number is got by the multiplication of the numbers on the right．G?del’s proposition，which asserts something about itself，does not mention itself．《維特根斯坦全集》中文版(涂紀(jì)亮主編，河北教育出版社2003年版)第7卷——《論數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》中的譯文(見第298頁)為:21．不要忘記:一個(gè)說它自身不可證明的命題，被理解為數(shù)學(xué)陳述，——因?yàn)樗⒎遣谎远鞯?。一個(gè)關(guān)于某種結(jié)構(gòu)不能被構(gòu)造出來的命題被理解為數(shù)學(xué)命題，這不是不言而喻的。這就是說，如果有人說“他談?wù)撟约骸?，那就要以一種特殊方式去理解這句話。在這里，由于混淆使用“這個(gè)命題談?wù)撍陨怼边@個(gè)表達(dá)式，因此容易造成混亂。在這種意義上，“625=25×25”這個(gè)命題也是談?wù)撍陨?這就是說．如果人們把右邊的數(shù)字相乘，就會(huì)得出左邊的數(shù)字。哥德爾的那個(gè)談?wù)撍陨淼拿}，沒有涉及它自身。

維特根斯坦就哥德爾語句提出這樣的疑難是不足為怪的，事實(shí)上，就連哥德爾本人也曾對(duì)此深感驚訝?！?930年9月哥德爾出席一個(gè)在柯尼斯堡召開的會(huì)議(《認(rèn)識(shí)》第2卷內(nèi)有所報(bào)道)，宣布了他的結(jié)果?？柤{普、海丁、馮諾伊曼與會(huì)。馮諾伊曼十分熱情地對(duì)待哥德爾的結(jié)果，私下里同哥德爾討論過一次。在這次討論中，馮諾伊曼問:鑒于組合論對(duì)象總能映射到整數(shù)上，是否也能造出不可判定的數(shù)論命題呢?馮諾伊曼表示他相信能做到。哥德爾回答說:‘這樣當(dāng)然能造出一些談到整數(shù)的不可判定命題，但其中會(huì)出現(xiàn)與加、乘之類的數(shù)論概念迥然不同的概念吧?！瘯?huì)后不久，哥德爾自己也不勝驚訝，他居然成功地將不可判定命題換成一個(gè)前方有(自然數(shù)上的)量詞的多項(xiàng)式了?！蓖鹾浦赋?，正是由于“關(guān)系B(x，y，z)看樣子與加、乘之類的算術(shù)運(yùn)算隔得非常遠(yuǎn)”，哥德爾才對(duì)自己竟會(huì)“成功地表明這是個(gè)‘算術(shù)’謂詞，即可以用加、乘借助于量詞來表達(dá)的謂詞”大感驚訝［1］。

如此看來，哥德爾語句的維特根斯坦疑難的確頗為費(fèi)解，值得深入探討。

二、計(jì)算機(jī)可計(jì)算性與算術(shù)可定義性

欲回答維特根斯坦疑難，也許首先應(yīng)當(dāng)弄清楚的就是，與表面看上去相反，形式算術(shù)系統(tǒng)中的公式具有出乎意外的極其豐富的“表現(xiàn)力”，以至于可用以定義所有的計(jì)算機(jī)可計(jì)算函數(shù)。換言之，每一個(gè)計(jì)算機(jī)可計(jì)算函數(shù)都是算術(shù)可定義的。

對(duì)于任一(定義域和值域均為自然數(shù)亦即非負(fù)整數(shù)的)函數(shù)y=f(x1，x2，…，xn)，若形式算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)有一含n+1個(gè)自由變?cè)墓紽(x1，x2，…，xn，y)滿足:若自變量x1，x2，…，xn分別取值a1，a2，…，an時(shí)y=f(x1，x2，…，xn)之函數(shù)值為b，則F (ˉa1，ˉa2，…，ˉan，y)(形式算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)部用0，0'，0″，0?…(或其他符號(hào)串)表示自然數(shù)0，1，2，3…，ˉai為ai的內(nèi)部表示)當(dāng)且僅當(dāng)y=ˉb(在標(biāo)準(zhǔn)解釋下)為真;若x1，x2，…，xn分別取值a1，a2，…，an時(shí)y= f(x1，x2，…，xn)無定義，則F(ˉa1，ˉa2，…，ˉan，y)無論y取何值(在標(biāo)準(zhǔn)解釋下)均不為真，就稱函數(shù)y= f(x1，x2，…，xn)是算術(shù)可定義的(簡稱為“算術(shù)的”)。令人驚異的倒不是形式算術(shù)系統(tǒng)的公式可以用來定義函數(shù)，而是其公式的“表現(xiàn)力”居然“強(qiáng)大”到可以定義一切遞歸函數(shù)。業(yè)已證明，所有遞歸函數(shù)都是算術(shù)可定義的。

以下我們將簡略證明，(理想的或者說存儲(chǔ)容量不受限制的)計(jì)算機(jī)可計(jì)算性與算盤機(jī)(abacus machine)可計(jì)算性等價(jià)。由于算盤機(jī)可計(jì)算性與遞歸可計(jì)算性等價(jià)，于是便有，一切計(jì)算機(jī)可計(jì)算函數(shù)都是算術(shù)可定義的。

所謂計(jì)算機(jī)可計(jì)算函數(shù)，嚴(yán)格地說，實(shí)為計(jì)算機(jī)程序可計(jì)算函數(shù)。盡管計(jì)算機(jī)程序語言種類繁多，但很多語言，尤其是高級(jí)語言的“大多數(shù)特征只是為了更加方便使用該語言來編程而添加的，它們并沒有擴(kuò)展語言的基本功能”［2］，而基本要素語言(Bare Bones)則析出了為通用程序設(shè)計(jì)所必需的最小一組要素。所以，計(jì)算機(jī)(程序)可計(jì)算函數(shù)，實(shí)際上等價(jià)于基本要素語言程序可計(jì)算函數(shù)。

基本要素語言之特點(diǎn)為:

◆變量類型為任意長的二進(jìn)制數(shù);

◆變量名必須以一個(gè)(英文)字母打頭，可后接字母、數(shù)字(0～9中的任何一個(gè))之任意組合;

◆包括3個(gè)賦值語句和一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu):

◇clear name;(name可以是任一變量名(下同)，使變量值為0)

◇incr name;(使變量值加1)

◇decr name;(若變量值≠0，使之減1;若變量值=0，維持其值不變)

◇while name not 0 do;

·

·

·

end;(若變量值≠0，執(zhí)行do和end之間的語句，然后返回該循環(huán)結(jié)構(gòu);若變量值=0，就跳過該循環(huán)結(jié)構(gòu)，繼續(xù)向下執(zhí)行其他語句)

不難證明，凡基本要素語言程序可計(jì)算的函數(shù)都是算盤機(jī)可計(jì)算的。

算盤機(jī)是一種抽象計(jì)算機(jī)，其存儲(chǔ)容量不受限制，有任意多個(gè)寄存器可供使用，其編號(hào)為1、2、3等正整數(shù)，算盤機(jī)的程序可表為帶有編號(hào)的指令表，其指令僅有兩種:

◆［指令編號(hào)］將寄存器n中的數(shù)值加1，然后轉(zhuǎn)向指令r

◆［指令編號(hào)］如果寄存器n中的數(shù)值≠0，則將其中的數(shù)值減1，然后轉(zhuǎn)向指令r;否則(如果寄存器n中的數(shù)值=0)轉(zhuǎn)向指令s

為簡明計(jì)，其程序一般采用流程圖表示。在流程圖表示法中，上述指令可分別以圖1中的初等運(yùn)算流程a和b表示(其中標(biāo)有e的箭頭指向減1運(yùn)算之后要執(zhí)行的操作)［3］。

圖1 算盤機(jī)流程圖中的初等運(yùn)算流程

顯然，初等運(yùn)算流程a、b分別與基本要素語言中的語句“incr name”以及“decr name”等效。進(jìn)一步，運(yùn)用這兩種初等運(yùn)算流程還可實(shí)現(xiàn)基本要素語言中另一賦值語句“clear name”以及循環(huán)結(jié)構(gòu)的功能。不難看出，圖2中的流程c和d分別與之等效。

圖2 與“clear name”以及“while－end”循環(huán)結(jié)構(gòu)等效的流程

由于計(jì)算機(jī)可計(jì)算函數(shù)都是基本要素語言程序可計(jì)算的，而后者實(shí)際上又均為算盤機(jī)可計(jì)算的，所以，計(jì)算機(jī)可計(jì)算函數(shù)也都是算盤機(jī)可計(jì)算的。不難看出，反之亦然。于是便有，計(jì)算機(jī)可計(jì)算性與算盤機(jī)可計(jì)算性等價(jià)。

我們知道，圖靈機(jī)可計(jì)算性、算盤機(jī)可計(jì)算性、遞歸可計(jì)算性這三種可計(jì)算性概念是等價(jià)的［3］。由于計(jì)算機(jī)可計(jì)算性等價(jià)于算盤機(jī)可計(jì)算性，于是便有，這四種可計(jì)算性等價(jià)。業(yè)已證明，遞歸(可計(jì)算)函數(shù)乃是算術(shù)可定義的，于是便有，與之等價(jià)的函數(shù)類，特別是計(jì)算機(jī)可計(jì)算函數(shù)也是算術(shù)可定義的(見圖3)。

圖3 四種函數(shù)類的等價(jià)性及其算術(shù)可定義性

三、元數(shù)學(xué)關(guān)系與計(jì)算機(jī)可計(jì)算性

欲回答維特根斯坦疑難，還有必要弄清楚以下事實(shí)，那就是某些元數(shù)學(xué)(關(guān)于形式算術(shù)系統(tǒng)的語形的或者說句法的)關(guān)系(成立與否)是計(jì)算機(jī)可判定的，換言之，其(基于哥德爾編碼的)特征函數(shù)是計(jì)算機(jī)可計(jì)算的。借助上一節(jié)的結(jié)論，由此即可進(jìn)一步推知，由這些關(guān)系的判定程序所確定的函數(shù)乃是算術(shù)可定義的。

哥德爾編碼的方法并不限于一種，實(shí)際上只要滿足以下要求即可:

(1)為形式算術(shù)系統(tǒng)的每個(gè)初始符號(hào)分別配以一個(gè)為其所特有的自然數(shù)(此即初始符號(hào)的哥德爾數(shù));

(2)在此基礎(chǔ)上，給出初始符號(hào)的有限序列(符號(hào)串)的編碼規(guī)則，該規(guī)則應(yīng)使其分別對(duì)應(yīng)于一個(gè)為其所特有的自然數(shù)(此即初始符號(hào)的有限序列的哥德爾數(shù))，并且任給一自然數(shù)均可依據(jù)該規(guī)則確定其是否初始符號(hào)的有限序列的編碼數(shù)以及(在肯定的情況下)相應(yīng)的序列為何;

(3)進(jìn)而給出初始符號(hào)的有限序列之有限序列(符號(hào)串的有限序列)的編碼規(guī)則，該規(guī)則應(yīng)使其分別對(duì)應(yīng)于一個(gè)為其所特有的自然數(shù)(此即初始符號(hào)的有限序列之有限序列的哥德爾數(shù))，并且任給一自然數(shù)均可根據(jù)該規(guī)則確定其是否初始符號(hào)的有限序列之有限序列的編碼數(shù)以及(在肯定的情況下)相應(yīng)的序列為何。

形式算術(shù)系統(tǒng)及其哥德爾編碼都不是唯一的，以下是張家龍教授針對(duì)一種形式算術(shù)系統(tǒng)給出的哥德爾編碼法的實(shí)例［4］。不過，此后的討論將不失一般性。

(i)初始符號(hào)的哥德爾數(shù)

將1～14依次配給以下符號(hào):

?→∧∨﹁??=+·'0() 1234567891011121314

將大于14的素?cái)?shù)依次配給自然數(shù)變?cè)?

xyz …171923…

(ii)初始符號(hào)的有限序列的編碼規(guī)則

依次寫出初始符號(hào)的有限序列中每一初始符號(hào)的哥德爾數(shù)，由此即可得到一個(gè)自然數(shù)的有限序列k1，k2，k3，…，kn，然后以下式計(jì)算該初始符號(hào)的有限序列之哥德爾數(shù):

此處Pi代表第i個(gè)素?cái)?shù)(素?cái)?shù)按升序排列)。

(iii)初始符號(hào)的有限序列之有限序列的編碼規(guī)則

依上法依次求出該序列中每個(gè)初始符號(hào)的有限序列的哥德爾數(shù)，由此即可得到一個(gè)自然數(shù)的有限序列k1，k2，k3，…，kn，該初始符號(hào)的有限序列之有限序列的哥德爾數(shù)仍以下式計(jì)算:

此處Pi代表第i個(gè)素?cái)?shù)(素?cái)?shù)按升序排列)。

在給定一種形式算術(shù)系統(tǒng)的哥德爾編碼方法之后，我們便可使用狀如“哥德爾數(shù)為m的(或者簡稱作“第m號(hào)”，下同)初始符號(hào)”、“哥德爾數(shù)為m的初始符號(hào)的有限序列”、“哥德爾數(shù)為m的初始符號(hào)的有限序列的有限序列”以及“哥德爾數(shù)為m的(合式)公式”、“哥德爾數(shù)為m的性質(zhì)(亦即僅含一個(gè)自由變?cè)暮鲜焦?”、“哥德爾數(shù)為m的語句(或命題，亦即閉公式)”、“哥德爾數(shù)為m的證明”之類的短語(摹狀詞)來指稱特定的對(duì)象(如果這樣的對(duì)象存在的話)。

上述短語形式，若將其中的m代入一個(gè)自然數(shù)，會(huì)有兩種可能:一是該自然數(shù)恰為相應(yīng)類型的哥德爾數(shù)，此時(shí)該短語便確有所指;二是該自然數(shù)并非相應(yīng)類型的哥德爾數(shù)，此時(shí)該短語便并無所指?，F(xiàn)在的問題是，我們有無判定此類短語是否確有所指且在回答為肯定的情況下求得其所指的算法。回答是肯定的。

對(duì)于狀如“哥德爾數(shù)為m的初始符號(hào)”、“哥德爾數(shù)為m的初始符號(hào)的有限序列”以及“哥德爾數(shù)為m的初始符號(hào)的有限序列的有限序列”的短語而言，上述算法顯然是存在的。以前述哥德爾編碼方法為例，“哥德爾數(shù)為m的初始符號(hào)”確有所指，當(dāng)且僅當(dāng)m∈{1～14，大于14的素?cái)?shù)}，其具體所指由(i)即可查得;“哥德爾數(shù)為m的初始符號(hào)的有限序列”確有所指，當(dāng)且僅當(dāng)將m分解為素?cái)?shù)因子之積2k1·3k2·5k3…Pkii·…·Pknn后由相應(yīng)指數(shù)構(gòu)成的自然數(shù)之有限序列k1，k2，k3，…，kn恰為初始符號(hào)的哥德爾數(shù)的有限序列，并且，在回答為肯定的情況下，只要將該有限序列中初始符號(hào)的哥德爾數(shù)改寫為相應(yīng)的初始符號(hào)即可求得其所指;“哥德爾數(shù)為m的初始符號(hào)的有限序列的有限序列”確有所指，當(dāng)且僅當(dāng)，將m分解為素?cái)?shù)因子之積2k1·3k2·5k3…Pkii·…·Pknn后得到自然數(shù)之有限序列k1，k2，k3，…，kn，再將ki(i=1，2，…，n)依上法分別分解為素?cái)?shù)因子之積，由相應(yīng)指數(shù)所得之自然數(shù)的有限序列的有限序列恰為初始符號(hào)的哥德爾數(shù)的有限序列之有限序列，并且，在回答為肯定的情況下，只要將該有限序列中的初始符號(hào)的哥德爾數(shù)改寫為相應(yīng)的初始符號(hào)即可求得其所指。

類似地，判定狀如“哥德爾數(shù)為m的合式公式”、“哥德爾數(shù)為m的性質(zhì)”、“哥德爾數(shù)為m的語句”、“哥德爾數(shù)為m的證明”的短語是否確有所指以及在回答為肯定的情況下求得其所指也均有相應(yīng)的算法。

我們可先用前述算法判定m是否初始符號(hào)的有限序列的哥德爾數(shù)或者初始符號(hào)的有限序列的有限序列的哥德爾數(shù)，如果回答為否定即可做出否定的回答。如果回答是肯定的，則可進(jìn)一步求得該初始符號(hào)的有限序列(或者初始符號(hào)的有限序列之有限序列)，然后依據(jù)合式公式、性質(zhì)、語句或者證明之定義判定該序列究竟是否確有所指，在回答為肯定的情況下自然也可求得其所指。

附帶說一下，我們甚至根本不必求出上述初始符號(hào)的有限序列(或者初始符號(hào)的有限序列之有限序列)，而只要求得相應(yīng)的初始符號(hào)之哥德爾數(shù)的有限序列(或者初始符號(hào)之哥德爾數(shù)的有限序列之有限序列)作為其替身，即可判定“哥德爾數(shù)為m的合式公式(性質(zhì)、語句或證明)”究竟是否確有所指。這意味著，從輸入到輸出，只要處理自然數(shù)便能給出判定結(jié)果(肯定時(shí)輸出1，否定時(shí)輸出0)。事實(shí)上，這兩類算法并無本質(zhì)不同，前者的結(jié)果實(shí)際上完全取決于該初始符號(hào)的有限序列(或者初始符號(hào)的有限序列之有限序列)中各初始符號(hào)的類型及其“空間”關(guān)系是否滿足特定的定義，而考查相應(yīng)的初始符號(hào)之哥德爾數(shù)的有限序列(或者初始符號(hào)之哥德爾數(shù)的有限序列之有限序列)中各初始符號(hào)的哥德爾數(shù)的類型及其“空間”關(guān)系是否滿足相應(yīng)的條件自然可以得到同樣結(jié)果。

類似地，元數(shù)學(xué)關(guān)系“第m號(hào)證明是第n號(hào)公式的證明”(簡記作Prf(m，n))以及“第n號(hào)證明是將第m號(hào)性質(zhì)中的自由變?cè)搿后所得到的公式的證明”(簡記作W(m，n))等也是計(jì)算機(jī)可判定的。換言之，其特征函數(shù)都是計(jì)算機(jī)可計(jì)算的。Prf(m，n)為真，當(dāng)且僅當(dāng)m確為一個(gè)證明的哥德爾數(shù)，n確為一個(gè)公式的哥德爾數(shù)，且該證明的最后一行恰為第n號(hào)公式。W(m，n)為真，當(dāng)且僅當(dāng)n確為一個(gè)證明的哥德爾數(shù)，m確為一個(gè)性質(zhì)的哥德爾數(shù)，且該證明的最后一行恰為將第m號(hào)性質(zhì)中的自由變?cè)搿后所得到的公式。W(m，n)非常重要，涉及哥德爾語句之構(gòu)造，尤為值得關(guān)注。

請(qǐng)注意，由于上述元數(shù)學(xué)關(guān)系均為計(jì)算機(jī)可判定的，故由相應(yīng)的判定程序所確定的函數(shù)乃是算術(shù)可定義的。

四、哥德爾語句:字面意義、解讀與推論

關(guān)系W(m，n)的判定程序所確定的函數(shù)亦即關(guān)系W(m，n)的特征函數(shù)Fw(m，n)。既然該函數(shù)是計(jì)算機(jī)可計(jì)算的，它自然也就是算術(shù)可定義的。換言之，在形式算術(shù)系統(tǒng)中，存在一含有3個(gè)自由變?cè)墓紻(x1，x2，y)可以定義該函數(shù)，亦即對(duì)任意m0、n0，若當(dāng)且僅當(dāng)y=時(shí)為真，若當(dāng)且僅當(dāng)y =時(shí)為真。亦即為真，F(xiàn)w(m0，n0)=1，否則，F(xiàn)w(m0，n0)=0。換言之，D為真，意味著W(m，n)的判定程序在輸入為m0，n0時(shí)輸出1;為假，意味著W (m，n)的判定程序在輸入為m0，n0時(shí)輸出0。簡言之:

此即所謂哥德爾語句，為簡便計(jì)，記作G。

G為真，當(dāng)且僅當(dāng)W(m，n)的判定程序在輸入j和任意一個(gè)自然數(shù)時(shí)均輸出0。

依據(jù)該判定程序之功能，于是又有:

G為真，當(dāng)且僅當(dāng)將哥德爾數(shù)為j的性質(zhì)中的自由變?cè)搿所得之公式在形式算術(shù)系統(tǒng)中不可證。

由于將哥德爾數(shù)為j的性質(zhì)中的自由變?cè)搿所得到的公式不是別的，恰恰是G本身，故又有:

G為真，當(dāng)且僅當(dāng)G在形式算術(shù)系統(tǒng)中不可證。

基于G的上述特點(diǎn)，即不難看出G與﹁G均不可證。

哥德爾語句屬于僅由邏輯符號(hào)(邏輯聯(lián)結(jié)詞，量詞，變?cè)仍~，標(biāo)點(diǎn)符號(hào))以及被稱為算術(shù)語言的一組非邏輯符號(hào)(如+，·，'，0)構(gòu)成的“算術(shù)語句”。作為“算術(shù)語句”，G的字面意義只能是“純算術(shù)的”:請(qǐng)注意，D(x1，x2， y)表示的是一個(gè)特定的含有3個(gè)自由變?cè)墓?。盡管如此，G之所言實(shí)際上卻意味著W(m，n)的判定程序(或遞歸算法)在輸入j和任意一個(gè)自然數(shù)時(shí)均輸出0。這一點(diǎn)之所以可能，乃是因?yàn)檎缥覀兿惹八姡?jì)算機(jī)程序所能描述的算法本質(zhì)上只不過就是加加減減及其循環(huán)(遞歸)計(jì)算而已，故而由此構(gòu)造出來的(遞歸)函數(shù)恰恰適于采用“算術(shù)語句”以另一種方式來加以定義［3］，W(m，n)的判定程序所確定的函數(shù)自然也在此列，可由一含有3個(gè)自由變?cè)墓紻(x1，x2，y)加以為真，亦即定義。由于G亦即?的特殊構(gòu)造，故有G為真當(dāng)且僅當(dāng)W(m，n)的判定程序在輸入j和任意一個(gè)自然數(shù)時(shí)均輸出0，這自然意味著將第j號(hào)性質(zhì)中的自由變?cè)搿后所得到的公式在形式算術(shù)系統(tǒng)中不可證，又由于將第j號(hào)性質(zhì)中的自由變?cè)搿后所得到的公式正是G本身，于是便可進(jìn)而推知:G為真，當(dāng)且僅當(dāng)G在形式算術(shù)系統(tǒng)中不可證。不難看出，“G在形式算術(shù)系統(tǒng)中不可證”并非G之所言，而只不過是G的推論。

五、回答維特根斯坦疑難

現(xiàn)在讓我們回過頭來回答維特根斯坦的疑難:哥德爾語句G這個(gè)并未提及自身的算術(shù)命題何以竟會(huì)談?wù)撟陨?

在我們看來，哥德爾語句G的確是個(gè)并未(甚至也根本不可能)提及自身的算術(shù)命題，因而，嚴(yán)格地說，它根本不會(huì)(也根本不可能)談?wù)撟陨?。所以，正確的問法也許應(yīng)當(dāng)是:哥德爾語句G這個(gè)并未提及自身的算術(shù)命題何以竟會(huì)涉及自身?對(duì)此則可回答如下:哥德爾語句G盡管并未提及自身卻能涉及其自身之原因在于，G為真當(dāng)且僅當(dāng)G在形式算術(shù)系統(tǒng)中不可證，也就是說，G這個(gè)算術(shù)語句之真假居然與其自身在形式算術(shù)系統(tǒng)中可證與否相關(guān)聯(lián)。G之所以具有此種奇特性質(zhì)，乃是由于G為真實(shí)際上意味著元數(shù)學(xué)關(guān)系W(m，n)之判定程序在輸入j和任意一個(gè)自然數(shù)時(shí)均輸出0，并且反之亦然。而這又可由元數(shù)學(xué)關(guān)系W(m，n)的計(jì)算機(jī)可判定性及其特征函數(shù)的算術(shù)可定義性以及G的特定構(gòu)造得到解釋。

最后，再讓我們逐一審視維特根斯坦的前述評(píng)語。

維特根斯坦說:“不要忘記，這個(gè)說其自身不可證的命題，必須被認(rèn)為是一個(gè)數(shù)學(xué)斷言，——因?yàn)檫@并非理所當(dāng)然。一個(gè)斷言如此這般的結(jié)構(gòu)不能被構(gòu)造出來的命題必須被認(rèn)為是數(shù)學(xué)命題，這并非理所當(dāng)然?！闭缥覀兯姷降?，G的確只不過是一個(gè)數(shù)學(xué)命題，甚至只不過是一個(gè)算術(shù)命題，不過，它并未“說其自身不可證”，也并未“斷言如此這般的結(jié)構(gòu)不能被構(gòu)造出來”，所有這些只不過是G的推論。

維特根斯坦評(píng)論道:“這就是說，當(dāng)我們說‘它談?wù)撈渥陨怼?，就必須以一種特殊方式去理解這句話。因?yàn)樵谶@里，由于表達(dá)式‘這個(gè)命題談?wù)摗母挥谧兓挠梅?，容易造成混亂?！憋@然，他的這一見解不無道理。說G“談?wù)撈渥陨怼保凑掌胀ǚ绞剿坪蹩衫斫獬墒荊的字面意義在“談?wù)撈渥陨怼?，這顯然是不確切的。在這里，只能“以一種特殊方式”將其理解成是G的推論在“談?wù)揋”。

維特根斯坦甚至進(jìn)一步發(fā)揮說:“在這個(gè)意義上，命題‘625=25×25’也在談?wù)撍陨?也就是說，左邊的數(shù)字由右邊的數(shù)字相乘得出?！本S氏此論頗具迷惑力。如此說來，“談?wù)撟陨怼必M不成了所有的命題的“常態(tài)”?必須強(qiáng)調(diào)的是，如此這般的“談?wù)撟陨怼迸cG的“談?wù)撟陨怼辈⒉皇且换厥?。?qǐng)注意“左邊的數(shù)字由右邊的數(shù)字相乘得出”與“625=25×25”所斷言的只不過是同一個(gè)東西(亦即同樣的對(duì)象具有同樣的關(guān)系)而已，區(qū)別僅僅在于前者使用摹狀詞來指稱對(duì)象并且用語詞而不是用符號(hào)來表述關(guān)系。然而命題G與“談?wù)撈渥陨怼钡拿}“G在形式算術(shù)系統(tǒng)中不可證”所斷言者卻根本不是同一個(gè)東西，亦即并非在斷言同樣的對(duì)象具有同樣的關(guān)系。

維特根斯坦指出:“哥德爾的談?wù)撈渥陨淼拿}，并未提及其自身?！北M管意識(shí)到“談?wù)撈渥陨怼比菀讓?dǎo)致誤解，維氏還是使用了這一表述方式。令他困惑的是:G既然并未提及其自身，又緣何能夠談?wù)撈渥陨?由上述討論則可看到，G非但并未提及其自身，而且也并未“談?wù)撈渥陨怼?，事?shí)上，不是G而是G的推論在談?wù)揋。

［1］王浩．哥德爾［M］．康宏逵，譯．上海:上海譯文出版社，2002:64，388．

［2］Brookshear J G．計(jì)算機(jī)科學(xué)概論［M］．王保江，譯．北京:人民郵電出版社，2003:390－391．

［3］Boolos G S，Burgess J P，Jeffrey R C．可計(jì)算性與數(shù)理邏輯［M］．何自強(qiáng)，譯．北京:電子工業(yè)出版社，2005．

［4］張家龍．?dāng)?shù)理邏輯發(fā)展史——從萊布尼茨到哥德爾［M］．北京:社會(huì)科學(xué)文獻(xiàn)出版社，1993:346－347．

(責(zé)任編輯張佑法)

On Wittgenstein’s Puzzle about G?del Sentence——Why Does the Arithmetical Sentence Which Does Not Mention Itself Assert Something about Itself?

ZHANG Tie－sheng1，2

(1．Qingdao Binhai University，Qingdao 266555，China; 2．Shanxi Academy of Social Sciences，Taiyuan 030006，China)

Wittgenstein set a puzzle about G?del Sentence G:why does the arithmetical sentence which does not mention itself assert something about itself?The problem can be solved by deep analysis based on computer－decidability of some meta－mathematical relationships and arithmetical definability of their characteristic functions．In fact，G?del Sentence G does not mention itself nor assert something about itself．It merely involves itself．It is the deduction to derive from G that asserts something about G．

G?del Sentence;Wittgenstein;mentioning itself;asserting something about itself;involving itself

B81－05

A

1674－8425(2011)

2010－11－02

張鐵聲(1946—)，男，遼寧凌海人，青島濱海學(xué)院教授，山西省社會(huì)科學(xué)院研究員，研究方向:思維科學(xué)、認(rèn)知科學(xué)與邏輯哲學(xué)。