李建文,李作虎,周 巍,3,斯順杰

1.信息工程大學測繪學院,河南鄭州450052;2.武漢大學衛(wèi)星導航定位技術(shù)研究中心,湖北武漢430079;3.63883部隊,河南 洛陽 471003;4.78138部隊,四川成都 610036

衛(wèi)星導航中幾何精度衰減因子最小值分析及應用

李建文1,2,李作虎1,周 巍1,3,斯順杰4

1.信息工程大學測繪學院,河南鄭州450052;2.武漢大學衛(wèi)星導航定位技術(shù)研究中心,湖北武漢430079;3.63883部隊,河南 洛陽 471003;4.78138部隊,四川成都 610036

DOP是評估衛(wèi)星導航定位性能的重要手段之一。在分析 GDOP的數(shù)學意義和測量意義的基礎上,提出兩種GDOP最小值的求解方法,并對最小值進行理論分析。結(jié)果表明,傳統(tǒng)場合中認為DOP為“精度衰減”因子是有局限性的;隨著衛(wèi)星與用戶幾何關(guān)系的改變,包括 GDOP在內(nèi)的所有DOP完全可以小于1,從而具有一定的精度增強作用。在此基礎上,提出一種評價星座空間分布均勻程度的星座幾何構(gòu)型品質(zhì)因數(shù),并以GPS和Galileo星座為例進行試驗,結(jié)果表明該因數(shù)可以較好地評價星座的空間分布均勻程度?；?GPS星座在近地空間內(nèi)導航精度性能的試驗結(jié)果很好地證明了DOP具有精度增強的屬性。

衛(wèi)星導航;精度;精度因子;星座;性能評估

1 引 言

精度因子(dilution of precision,DOP)作為評估衛(wèi)星導航定位性能的重要手段之一,不僅具有測量意義,還具有明確的數(shù)學意義。在測量上,DOP反映了由于觀測衛(wèi)星與接收機空間幾何布局的影響造成的偽距誤差與用戶定位授時誤差間的比例系數(shù),是評估用戶定位授時精度的重要內(nèi)容;根據(jù)用戶在測量中關(guān)注的性能指標不同,DOP可細分為 GDOP、PDOP、HDOP、VDOP 和TDOP,具體的定義可以參考早期的 GPS經(jīng)典文獻[1]。在數(shù)學上,DOP作為基于最小二乘平差解的權(quán)逆陣對角線的重要組成部分,同時也是未知參數(shù)協(xié)方差對角線元素與偽距等效方差的比值,反映了觀測信息對于解算的未知參數(shù)的貢獻程度[2]。但無論是在測量上還是在數(shù)學上,DOP都反映了導航解的質(zhì)量,與導航解具有同樣重要的地位。然而,由于歷史原因,DOP產(chǎn)生于 GPS理論中 ,其字面意思為“Dilution Of Precision”,所以大多傳統(tǒng)場合都稱其為精度衰減因子;因為其確實在一般場合中作為一個放大因子來體現(xiàn)星地空間幾何對于由于測距誤差而導致對定位授時誤差的影響,故文獻[1]指出 GDOP的典型值為1～100。而事實上,以 GDOP為例,在數(shù)學上,其最小值要小于1,GDOP將不再僅僅是一個精度衰減因子,而是一個精度增強因子,而這個結(jié)論在測量上也是存在的,而且具有積極的意義。本文將推導這個結(jié)論,并給出其在某些方面的應用價值。

2 GDOP最小值的求解

衛(wèi)星導航定位中,通常選擇4顆或4顆以上的可視衛(wèi)星進行導航定位解算,其用戶位置和時間偏差參數(shù)誤差的協(xié)方差矩陣為 G=(HTH)-1,其中 H是導航定位解算方程的系數(shù)矩陣,通常稱為觀測矩陣,如下式

式中,axi,ayi,azi(i=1,2,…,n)分別表示用戶與可視衛(wèi)星之間方向矢量的余弦;n為可視衛(wèi)星的數(shù)目。因此,具有以下數(shù)學關(guān)系

由于 GDO P=(tr(HTH)-1)1/2,需要計算HTH如下

根據(jù)矩陣跡的定義可得:tr(HTH)=2n。設λi(i=1,2,3,4)是 HTH的特征值,則有

此時,GDOP可表示為

此時,GDOP最小值的求解已經(jīng)轉(zhuǎn)化為矩陣HTH特征值值域的估計問題。如果不考慮 HTH特征值的值域差異,即存在四個特征值相等的情況,則可以利用正數(shù)的幾何平均值總是小于它們的算數(shù)平均值來獲得 GDOP的最小值。但事實上從式(3)可見,HTH的第4行、第4列的對角元素總是n,而其他行與列的對角線元素具有相似性,下面用矩陣論中的蓋爾斯高林(Gerschgorin)圓盤定理說明前三個特征值的值域相同[3]。

根據(jù)蓋爾斯高林圓盤定理,對于復數(shù)域內(nèi)的矩陣 HTH,對應的四個 Z平面上的圓盤分別為

該定理指出矩陣的特征值與其對應的圓盤具有一定關(guān)系,而從式(6)中可知,前三式具有輪換對稱性,而第四式卻明顯不同于前三式。據(jù)此可以認為 HTH的前三個特征值具有相同的值域,而第四個特征值則具有不同于前三個特征值的值域。

事實上,可以采用反證法證明λ4≥n,具體可見文獻[4],在此不再贅述。

至此,即可采用不等式求解(5)式的最小值

其中,當且僅當λi(i=1,2,3)相等時等號成立?？紤]到式(4),可以將 GDOP用λ4表示;又由于λ4≥n,即得當λ4=n時 GDOP獲得最小值

下面從測量的角度來證明這個結(jié)論。

在用戶坐標已知的情況下,只有一個未知量,即接收機鐘差,此時觀測方程為 H4=[1…1]T,則 HT4H4=n,且 GDOP退化為在特殊條件下的TDOP,即可得

同理,如果不考慮鐘差或認為鐘差已知,則可得tr(HT3H3)=n,其中 H3表示去掉鐘差系數(shù)的觀測矩陣,故 HT3H3為矩陣式(3)HTH的前3行前3列組成的對稱方陣。此時,GDOP則退化為PDOP,即

上式在λi(i=1,2,3)相等時等號成立。再結(jié)合式(4)以及式(9)成立的關(guān)系可得

綜合式(9)和式(11)可得到

文獻[4]還給出了 GDOP最小時須滿足如下條件

可見當用戶處于多顆可視衛(wèi)星形成的均勻多面體的中心時,GDOP最小,定位精度最高。上式亦表明此時每個軌道面上的衛(wèi)星都是均勻分布的。另外,式(8)亦表明 GDOP最小值也是可視衛(wèi)星數(shù)目的函數(shù),有效可視衛(wèi)星數(shù)越大,則 GDOP最小值越小。

3 構(gòu)建星座幾何構(gòu)型品質(zhì)因數(shù)

根據(jù)式(13),依據(jù) GDOP最小時需要滿足的條件可構(gòu)建用于描述星座幾何構(gòu)型的品質(zhì)因數(shù)(constellation geometry factor,CGF),用來描述星座空間布局的均勻程度。筆者分別提出如下兩個因子:

瞬時CGF為

平均CGF為

其中,n為可視衛(wèi)星數(shù)目;m為星座運行周期內(nèi)等間隔采樣的個數(shù)。在計算 axi、ayi、azi(i=1,2,…,n)時假定用戶位于地球質(zhì)心。

分析式(14)瞬時CGF,可得出以下結(jié)論:

(1)用戶處于多顆可視衛(wèi)星形成的均勻多面體的中心時,CGF=1/n,僅僅與可視衛(wèi)星數(shù)目有關(guān)。該結(jié)論表明,此時星座可視衛(wèi)星越多,則CGF越小,星座幾何構(gòu)型品質(zhì)越高。

(2)用戶處于多顆可視衛(wèi)星形成的不均勻的多面體的中心時,CGF不僅與星座的可視衛(wèi)星數(shù)目有關(guān),還與星座衛(wèi)星布局的均勻程度有關(guān)。CGF越小,則星座衛(wèi)星布局越均勻,其構(gòu)型品質(zhì)越高。

要分析星座的幾何構(gòu)型品質(zhì),需要采用式(15)平均CGF模型,并在星座的運行周期內(nèi)進行統(tǒng)計分析和量化比較,從而得出對于星座幾何構(gòu)型的綜合評價。下面分別以 GPS與 Galileo星座為例計算平均CGF進行比較分析。其中 GPS的星座數(shù)據(jù)來自實測歷書,其許多衛(wèi)星的軌位已與標稱星座給出的軌位相差很大[5];Galileo星座是根據(jù)發(fā)布的標稱星座仿真得到。

表1數(shù)據(jù)反映了 GPS和 Galileo星座的幾何構(gòu)型品質(zhì)因數(shù)的比較。雖然 GPS星座在衛(wèi)星數(shù)目上要略微優(yōu)于 Galileo,但 Galileo星座在空間均勻度上要明顯由于 GPS。其原因不僅在于GPS設計星座不對稱,還在于GPS星座經(jīng)過長期運行,部分衛(wèi)星軌位已經(jīng)發(fā)生明顯改變,從而在一定程度上破壞了標稱星座原有的均勻度。

表1 GPS與 G alieo星座的平均CGF比較Tab.1 Mean CGF comparison between GPS and G alileo constellations

4 基于空間布局結(jié)構(gòu)的導航性能增強

目前 GNSS的服務空域(service volume)主要指全球地面或地表的空間區(qū)域,因而對于GNSS用戶而言,由于受到最低衛(wèi)星截止角的限制,其可視衛(wèi)星基本分布在用戶所在平面的一側(cè),即所有可視衛(wèi)星的高度角都為正。根據(jù)式(13)分析可知,這種很不均勻的衛(wèi)星空間布局將會導致較大的GDOP產(chǎn)生。

目前隨著衛(wèi)星導航技術(shù)的提高和空間探測活動的迅猛發(fā)展,未來 GNSS的服務空域?qū)玫綐O大的擴展,從地面幾十千米到離地面幾千千米的近地空間將成為 GNSS的重要應用領(lǐng)域[6-7]。在這種應用背景下,用戶與可視衛(wèi)星的幾何空間布局結(jié)構(gòu)將得到極大的改善:可視衛(wèi)星不再僅分布于用戶所在任意平面的一側(cè),負高度角的可視衛(wèi)星亦可得到有效利用,從而提高用戶導航定位授時的精度。不僅如此,這種導航定位精度性能的增強將會使得傳統(tǒng)的 GDOP性質(zhì)發(fā)生本質(zhì)改變:從“精度衰減”因子到“精度增強”因子。圖1為中緯度單點(E113°,N34°)在不同高度條件下同一時刻 GPS各種DOP值與可視衛(wèi)星數(shù)目之間的變化關(guān)系。需要強調(diào)的是隨著用戶離地面高度的增加,部分高度角為負的衛(wèi)星亦可視,可采用雙天線模型分別采集高度角為正的可視衛(wèi)星和高度角為負的可視衛(wèi)星的數(shù)據(jù)[5]。其中高度角為負的衛(wèi)星可視條件的判斷需要依據(jù)用戶高度、地球半徑以及臨界條件下衛(wèi)星與用戶連線與地球相切的幾何條件來完成,相關(guān)討論不是本文研究的重點,可參考文獻[8—10]。地面10 km以下采用5°衛(wèi)星截止角,10 km以上采用負截止角。

圖1 近地空間不同高度條件下的DOP值比較Fig.1 Comparison of DOPs at different heights in near space

正如圖1所示,隨著用戶高度的增加,星地空間幾何關(guān)系發(fā)生了明顯變化,各類DOP都有明顯減小,GDOP在用戶高度大于100 km時就開始小于1,成為名副其實的“精度增強”因子。目前,這種基于空間布局結(jié)構(gòu)的 GNSS性能增強其實已經(jīng)得到了實際應用,這就是利用偽衛(wèi)星對高空用戶的性能增強。這種方法可以實現(xiàn)區(qū)域?qū)Ш叫阅艿母纳?不僅包括精度,還將對完好性、連續(xù)性以及可用性加以增強,從而滿足高空用戶導航定位授時的需求。

5 結(jié) 論

在分析衛(wèi)星導航中DOP的數(shù)學意義和測量意義的基礎上,分別從數(shù)學角度和測量角度給出了求解GDOP最小值的方法。結(jié)論表明,GDOP最小值不僅與星地幾何空間有關(guān)系,還與參與計算的衛(wèi)星數(shù)目有函數(shù)關(guān)系。在此基礎上構(gòu)建了星座幾何構(gòu)型品質(zhì)因數(shù),并用 GPS和 Galileo星座進行了試驗,結(jié)果表明該因數(shù)可以反映星座空間幾何分布的均勻程度。最后分析了基于空間布局結(jié)構(gòu)的導航性能增強方法,并用試驗證明了DOP具有“精度增強”的屬性?；谠摻Y(jié)論,筆者認為,DOP應該稱為“精度因子”更為恰當,而不應該冠以“衰減”來限定。

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(責任編輯:馬保衛(wèi))

Study on the Minimum of GDOP in Satellite Navigation and Its Applications

LI Jianwen,LI Zuohu,ZHOU Wei,SI Shunjie
1.Institute of Surveying and Mapping,Information Engineering University,Zhengzhou 450052 China;2.Research Center of GNSS,Wuhan University,Wuhan 430079 China;3.63883 Troops,Luoyang 471003 China;4.78138 Troops,Chengdu 610036 China

The DOP is one of the ways to assessment the performance of satellite navigation and positioning.Based on the mathematical and surveying meanings of GDOP,two methods to get the minimum of GDOP were given,and the study on the minimum was made theoretically.The conclusion was drawn that,the traditional idea that DOP is just a factor to decrease the navigation&positioning precision was limited,since all DOPs including GDOP would certainly be less than one and improve the precision as a result with the change of geometrical relationship between satellites and users.On the basis of the above conclusions,CGF(Constellation Geometry Factor),which could be used to assessment the spatial geometrical layout characteristics of constellation,was given.The Test with GPS and Galileo constellations had shown that CGF could give an effective evaluation the spatial geometrical layout characteristics of constellation.The Test on the navigation precision performance in near-earth space with GPS constellation proved that DOP has the attribute to improve precision.

satellite navigation;precision;DOP;constellation;performance evaluation

LI Jianwen(1971—),male,associate professor,majors in satellite navigation system test and navigation&positioning applications.

P228

:A

中國衛(wèi)星導航學會青年優(yōu)秀論文獲獎者資助課題基金(CSNC2010-QY-012);信息工程大學博士研究生學位論文創(chuàng)新基金(YJ201004);衛(wèi)星導航與定位教育部重點實驗室(B類)開放課題基金(GRC-2009005)

1001-1595(2011)S-0085-04

2011-1-25

修回日期:2011-3-25

李建文(1971—),男,副教授,主要研究衛(wèi)星導航系統(tǒng)測試及導航定位應用。

E-mail:zzljw@126.com