劉 冬,張清華,2

1.西安測(cè)繪研究所,陜西西安 710054;2.信息工程大學(xué)測(cè)繪學(xué)院,河南鄭州450052

基于高斯過(guò)程的精密衛(wèi)星鐘差加密

劉 冬1,張清華1,2

1.西安測(cè)繪研究所,陜西西安 710054;2.信息工程大學(xué)測(cè)繪學(xué)院,河南鄭州450052

將高斯過(guò)程方法應(yīng)用到精密衛(wèi)星鐘差加密中,通過(guò)選擇合適的核函數(shù),將5 min間隔的鐘差數(shù)據(jù)插值到30 s間隔。將結(jié)果與IGS提供的30 s精密鐘差數(shù)據(jù)和四階多項(xiàng)式擬合插值方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較,結(jié)果表明,高斯過(guò)程方法具有較高的加密精度,適用于 GPS所有在軌衛(wèi)星的原子鐘鐘差的加密,達(dá)到厘米級(jí)精度。

精密鐘差;加密;高斯過(guò)程;回歸

1 引 言

GPS精密單點(diǎn)定位技術(shù)不能用組差的方式來(lái)消除衛(wèi)星鐘差,而廣播星歷中的衛(wèi)星鐘差精度也僅為7 ns,無(wú)法滿(mǎn)足精密單點(diǎn)定位的要求。通常采用IGS提供的鐘差產(chǎn)品,將15 min或5 min的精密衛(wèi)星鐘差加密到用戶(hù)所需的采樣間隔。由于實(shí)際數(shù)據(jù)采樣率會(huì)更高,所以必須采用估計(jì)或內(nèi)插的方法得到高采樣率的衛(wèi)星鐘差。因此,對(duì)精密星歷進(jìn)行內(nèi)插或擬合就成為 GPS精密數(shù)據(jù)處理等實(shí)際應(yīng)用中的重要工作。

目前,國(guó)內(nèi)外較常用的加密方法是Lagrange多項(xiàng)式插值、Newton多項(xiàng)式插值、Hermite插值、樣條函數(shù)插值、切比雪夫多項(xiàng)式插值、三角函數(shù)插值等[1-2]。

本文采用高斯過(guò)程回歸方法進(jìn)行精密鐘差加密,通過(guò)選擇合適的協(xié)方差函數(shù),將 IGS提供的5 min間隔的精密鐘差數(shù)據(jù)插值到30 s間隔,試驗(yàn)結(jié)果表明,該方法具有較高的加密精度,且對(duì)所有的衛(wèi)星原子鐘都有較強(qiáng)的適用性。

2 高斯過(guò)程回歸

高斯過(guò)程回歸是近年來(lái)由統(tǒng)計(jì)學(xué)理論發(fā)展來(lái)的一種全新學(xué)習(xí)機(jī),它將函數(shù)視為變量,由訓(xùn)練數(shù)據(jù)和貝葉斯估計(jì)理論得到關(guān)于函數(shù)的后驗(yàn)概率估計(jì),達(dá)到對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的目的。它對(duì)處理高維數(shù)、非線(xiàn)性復(fù)雜分類(lèi)和回歸問(wèn)題具有很好的適應(yīng)性,且泛化能力強(qiáng),與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)相比,有較容易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。

2.1 高斯過(guò)程

隨機(jī)過(guò)程可以定義為在某個(gè)概率空間上的一簇隨機(jī)變量。高斯過(guò)程是一種重要的隨機(jī)過(guò)程,是對(duì)高斯分布的推廣。如果高斯分布是描述向量的分布情況,那么可以將高斯過(guò)程理解為是描述函數(shù)的分布情況。

高斯過(guò)程又稱(chēng)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程,其任意有限變量集合都有著聯(lián)合高斯分布的特性,即對(duì)于任意整數(shù) n≥1及任意的變量 x1,x2,x3,…,xn,與其對(duì)應(yīng)的函數(shù) f(x1),f(x2),f(x3),…,f(xn)的聯(lián)合概率分布服從n維高斯分布。高斯過(guò)程的全部統(tǒng)計(jì)特征完全由它的均值 m(x)和核函數(shù) k(x,x′)來(lái)確定,一般記為 f(x)～GPf(m(x),k(x,x′))。核函數(shù)是任意一對(duì)輸入的隨機(jī)變量 x和 x′的協(xié)方差函數(shù)。高斯過(guò)程的核函數(shù)必須是半正函數(shù)。與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類(lèi)似,通常需要通過(guò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集來(lái)確定核函數(shù)的超參數(shù),具體訓(xùn)練方法見(jiàn)參考文獻(xiàn)[3—4]。

假設(shè)有 N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)的訓(xùn)練集D={(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xN,yN)},xi∈Rnx,是nx維輸入矢量,yi∈R是相應(yīng)的輸出標(biāo)量,令 X=[x1x2x3… xN],y=[y1y2y3…yN]。應(yīng)用內(nèi)積空間中的重構(gòu)核希爾伯特空間(reproducing kernel Hilbert space,RKHS)來(lái)描述輸入輸出的關(guān)系,即考慮映射 φ:Rnx|→H,由此可得

一般情況下,認(rèn)為 b=0(可以采用剔除均值的方法得到)。對(duì)于給定的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集

如果假定w的先驗(yàn)概率為N(0,I),其中ε是獨(dú)立的隨機(jī)變量,服從均值為0,方差為δ2εI的高斯分布,那么 y是高斯過(guò)程。

令 k(xi,xj)=〈φ(xi),φ(xj)〉,則

式中,Kij=k(xi,xj)。

2.2 高斯過(guò)程預(yù)測(cè)

高斯過(guò)程預(yù)測(cè)是指對(duì)任意的測(cè)試輸入 x＊,給出其函數(shù)值的預(yù)測(cè)值 g(x＊),寫(xiě)成概率分布函數(shù)的形式,即條件分布p(g(x＊)|x＊,X,y)。根據(jù)公式(3)可以將訓(xùn)練輸出 y和預(yù)測(cè)值g(x＊)寫(xiě)成聯(lián)合分布,即

式中,k＊=K(X,x＊),k＊＊=k(x＊,x＊)。根據(jù)聯(lián)合分布,可以很容易得到 g(x＊)的條件分布函數(shù)

3 基于高斯過(guò)程的鐘差加密

導(dǎo)航衛(wèi)星中在外部空間受到極其復(fù)雜的環(huán)境影響,使得鐘差數(shù)據(jù)具有一定的不穩(wěn)定性,又沒(méi)有具體的規(guī)律可循,因此可以通過(guò)高斯過(guò)程回歸的學(xué)習(xí)能力對(duì)鐘差數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行擬合,進(jìn)而進(jìn)行加密。在學(xué)習(xí)過(guò)程中,協(xié)方差函數(shù)的選擇非常重要。

在考慮時(shí)變鐘漂參數(shù)時(shí),國(guó)外常用的頻漂模型是對(duì)數(shù)模型和指數(shù)模型。同時(shí)在對(duì) GPS衛(wèi)星鐘特性分析和實(shí)際鐘差數(shù)據(jù)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上,選取Matern協(xié)方差函數(shù)作為核函數(shù)[3],其表達(dá)式如下

式中,v,l是正參數(shù);Kv(·)為修正的Bessel函數(shù);d(x,x＊)為距離函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中,核函數(shù)的參數(shù)選擇為v=3/2,l=1。選擇了各向同性函數(shù)作為距離函數(shù),即

式中,p為比例系數(shù)。最終采用的核函數(shù)為

式中,s為信號(hào)方差,s和p是該核函數(shù)的超參數(shù)。如果將距離當(dāng)作變量,顯然,該核函數(shù)可以看成是一個(gè)指數(shù)函數(shù)和一階多項(xiàng)式的乘積。

4 算例與分析

為了分析與比較幾種鐘差加密方法的精度,采用IGS提供的2009-08-21的間隔為30 s的鐘差數(shù)據(jù)(igs15455.clk_30s)。在其中讀取衛(wèi)星的鐘差,其采樣間隔為30 s,將其作為真值,再?gòu)闹刑暨x間隔為5 min的數(shù)據(jù)作為節(jié)點(diǎn),分別用多項(xiàng)式擬合法(Polyfit),高斯過(guò)程回歸算法(GP)進(jìn)行加密,并將加密結(jié)果與真值進(jìn)行比較分析,其方案如下:

(1)用四階多項(xiàng)式擬合和高斯過(guò)程回歸算法來(lái)對(duì) PRN32衛(wèi)星在一天內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行加密,并對(duì)加密的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

(2)采用四階多項(xiàng)式和高斯過(guò)程回歸算法對(duì)不同類(lèi)型的衛(wèi)星原子鐘的鐘差加密進(jìn)行加密,對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

4.1 PRN32衛(wèi)星的鐘差加密

采用四階多項(xiàng)式和高斯過(guò)程方法對(duì)PRN32衛(wèi)星鐘差進(jìn)行加密,其24小時(shí)的擬合結(jié)果如圖1所示,圖2給出了局部放大的擬合結(jié)果,圖3是鐘差擬合殘差(與真實(shí)鐘差的差),每個(gè)歷元為30 s。由圖3可以看出,采用 GP方法得到的精密鐘差與真實(shí)鐘差的偏差非常小,并且在24小時(shí)中都非常穩(wěn)定,而采用四階多項(xiàng)式方法得到的鐘差不僅加密誤差加大,而且具有明顯震蕩。表1給出采用不同方法得到的擬合均方誤差(RMS),顯然,采用 GP方法進(jìn)行鐘差加密要比四階多項(xiàng)式方法鐘差加密的精度提高很多(相差一個(gè)數(shù)量級(jí)),達(dá)到了27 ps,等效距離誤差約0.81 cm。

圖1 鐘差擬合結(jié)果曲線(xiàn)(PRN32衛(wèi)星)Fig.1 Clock error fitting(PRN32)

圖2 鐘差擬合結(jié)果局部放大曲線(xiàn)(PRN32衛(wèi)星)Fig.2 Clock error fitting selective enlargement(PRN32)

表1 加密精度比較(PRN02衛(wèi)星)Tab.1 Comparison of densification precision(PRN32)/ns

圖3 鐘差擬合殘差曲線(xiàn)(PRN32衛(wèi)星)Fig.3 Clock error fitting residual(PRN32)

4.2 不同類(lèi)型衛(wèi)星鐘的鐘差加密

為了驗(yàn)證 GP方法鐘差加密的適用性,利用IGS提供的2009-08-21所有衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)。圖4是采用四階多項(xiàng)式方法對(duì)不同衛(wèi)星鐘中進(jìn)行鐘差加密精度(均方誤差)。圖5是采用GP方法對(duì)不同衛(wèi)星鐘中進(jìn)行鐘差加密精度(均方誤差)。表2是兩種方法對(duì)不同衛(wèi)星鐘加密精度的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。通過(guò)對(duì)比,采用 GP方法對(duì)不同衛(wèi)星鐘的鐘差進(jìn)行加密,都可以得到較高的插值精度,且不同衛(wèi)星鐘的擬合誤差量級(jí)基本相同;四階多項(xiàng)式方法對(duì) GPS中BlockⅡA衛(wèi)星的Cs鐘的擬合誤差較大。分析結(jié)果表明:采用四階多項(xiàng)式方法加密鐘差,對(duì)于 GPS中BlockⅡA衛(wèi)星的Cs鐘和Rb鐘,鐘差誤差達(dá)到了分米級(jí);GP方法對(duì)于所有的 GPS衛(wèi)星鐘加密都有非常好的適用性,加密精度都可達(dá)到厘米級(jí)。

圖4 多項(xiàng)式擬合的加密精度Fig.4 Densification precision of polynomial fitting

圖5 高斯過(guò)程回歸加密精度Fig.5 Densification precision of Gaussian processregression

表2 不同衛(wèi)星原子鐘加密精度比較Tab.2 Comparison of densification precision for different satellite atomic clocks /ns

5 結(jié)束語(yǔ)

鐘差加密是 GPS數(shù)據(jù)處理中重要而經(jīng)常性的工作,應(yīng)用高斯過(guò)程方法對(duì) GPS衛(wèi)星鐘的鐘差進(jìn)行加密,通過(guò)與四階多項(xiàng)式鐘差加密方法的精度對(duì)比,得出以下結(jié)論:①采用 GP方法對(duì) GPS衛(wèi)星鐘的鐘差進(jìn)行加密具有較高的插值精度高,殘差穩(wěn)定;②GP方法鐘差加密對(duì)于所有的 GPS衛(wèi)星鐘都有普遍的適用性。

[1] HAN Baomin.Densification Methods of GPS Satellite Clock Errors and Their Impact on Orbit Determination Precision of LEOs[J].Geomatics and Information Science of Wuhan University,2006,31(12):1076-1079.(韓保民.精密衛(wèi)星鐘差加密方法及其對(duì)星載 GPS低軌衛(wèi)星定軌精度影響[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版,2006,31(12):1076-1079.)

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[4] RASMUSSEN C.Evaluation of Gaussian Processes and Other Methods for Non-linear Regression[D].Toronto:University of Toronto,1996.

(責(zé)任編輯:宋啟凡)

Densification of Precise Satellite Clock Errors Based on Gaussian Processes

LIU Dong1,ZHANG Qinghua1,2
1.Xi’an Institute of Surveying and Mapping,Xi’an 710054,China;2.Institute of Surveying and Mapping,Information and Engineer U-niversity,Zhengzhou 450052,China

The Gaussian processes(GP)method is used to densify the 5 min interval clock errors to 30 s interval with a suitable kernel function.The densification results are compared with the IGS data and the densified clock errors using the four order polynomial interpolation method.The results indicate that the GP method can provide high densification precision and is applicable to densify the clock errors of all GPS on-board atom clocks.The accuracy is up to the centimeter level.

precise clock errors;densification;Gaussian processes;regression

LIU Dong(1977—),male,PhD,majors in is satellite navigation and nonlinear signal processing.

P135

:A

1001-1595(2011)S-0059-04

2011-01-31

修回日期:2011-03-19

劉冬(1977—),男,博士,研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航與非線(xiàn)性信號(hào)處理。

E-mail:ld_yzy@yahoo.com.cn