王 斌,江衛(wèi)華,黃曉芹,李國剛

(1.河北化工醫(yī)藥職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,河北石家莊 050026;2.河北科技大學(xué)理學(xué)院,河北石家莊 050018)

帶有 p-Lap lacian算子的二階微分方程組多個正解的存在性

王 斌1,江衛(wèi)華2,黃曉芹2,李國剛2

(1.河北化工醫(yī)藥職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,河北石家莊 050026;2.河北科技大學(xué)理學(xué)院,河北石家莊 050018)

利用五個泛函的不動點定理,研究帶有 p-Lap lacian算子的二階微分方程組分別在3種邊界條件下至少3個正解的存在性,并給出例子驗證所得結(jié)論。

p-Lap lacian算子;五個泛函的不動點定理;錐;正解

對于帶有 p-Lap lacian算子的微分方程的研究已有很多結(jié)論[1-4],文獻[1-2]分別利用錐上的不動點定理和五個泛函的不動點定理研究了帶有 p-Lap lacian算子的二階微分方程正解的存在性。文獻[3-4]分別利用錐上的不動點指數(shù)理論和錐拉伸和錐壓縮不動點定理給出了帶有 p-Lap lacian算子的微分方程組邊值問題至少1個正解存在的條件,筆者利用五個泛函的不動點定理研究帶有 p-Lap lacian算子的二階微分方程組

分別在

的邊值條件下至少有3個正解的存在性,其中φp(v)=|v|p-2v。

1 主要結(jié)果

以下用到的基本概念和定理見文獻[5]。假設(shè)如下條件成立:

H1)f,g:[0,1]×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)是連續(xù)的;

H2)B0(v)和B1(v)是2個定義在 R的連續(xù)奇函數(shù),并且存在 m>0,使得對所有 v≥0,有0≤Bj(v)≤m v,j=0,1;其中ψp是φp的反函數(shù)。易知A為全連續(xù)算子,且(x,y)為問題(1)和(2)的解的充分必要條件是(x,y)是A的不動點。

則問題(1)和(4)至少存在3對正解(xi,yi),滿足

證明 定義全連續(xù)算子 T2為

類似定理1證明可得結(jié)論成立。

2 示 例

考慮下列邊值問題:

其中

[1] WANG Jun-yu.The existence of positive solutions for the one-dimensional p-Lap lacian[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1997,125(8):2 275-2 283.

[2] GUO Yan-ping,GEWei-gao.Three positive solutions for the one-dimentional p-Laplacian[J].J Math Anal Appl,2003,286:491-508.

[3] 王 芳,鐘承奎,王彩勛.一類一維奇異 p-Laplacian方程組邊值問題正解的存在性[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)(Journal of Lanzhou University(Natural Sciences)),2009,45(1):103-106.

[4] 田元生,劉春根.p-拉普拉斯四點邊值問題擬對稱正解的多重性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)(Journal of System Science and Mathematical Science),2010,30(3):349-357.

[5] ZHANGB,L IU X.Existence of multiple symmetric positive solutions of higher order Lidstone p roblems[J].J Math Anal Appl,2003,284:672-689.

Existence of multiple positive solutions of second-order differential system s w ith p-Laplacian

WANGBin1,JIANGWei-hua2,HUANG Xiao-qin2,L IGuo-gang2

(1.Department of Basic Courses,Hebei Professional and Technological College of Chemical and Pharmaceutical Engineering,Shijiazhuang Hebei 050026,China;2.College of Sciences,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang Hebei 050018,China)

Using five functions fixed point theorem,we p rove the existence of at least three positive solutions to second-order system s w ith p-Lap lacian under three kindsof boundary conditions,respectively.We give an examp le to illustrate our result.

p-Laplacian operator;five functions fixed point theo rem;cone;positive solution

O152.7

A

1008-1542(2011)01-0015-05

2010-06-15;

2010-10-10;責任編輯:張 軍

國家自然科學(xué)基金資助項目(10875094);河北省自然科學(xué)基金資助項目(A2009000664)

王 斌(1964-),男,河北石家莊人,副教授,主要從事微分方程方面的研究。