季 宇， 孫云蓮， 李 晶

(1.武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院， 武漢 430072； 2.五環(huán)化工有限公司， 武漢 430072)

RELAX算法在間諧波檢測中的應(yīng)用①

季 宇1， 孫云蓮1， 李 晶2

(1.武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院， 武漢 430072； 2.五環(huán)化工有限公司， 武漢 430072)

間諧波是頻率非基波整數(shù)倍的諧波成分，傳統(tǒng)諧波測量方法將會因為非同步采樣而產(chǎn)生泄漏誤差。為準確測量間諧波，文中提出基于松弛譜估計(RELAX)的檢測方法。因為該方法針對復(fù)信號進行分析，在檢測前需先對采樣信號進行希爾伯特變換構(gòu)成復(fù)序列，計算結(jié)束后的相位測量結(jié)果也要進行修正。由于RELAX算法的復(fù)雜度集中在快速傅里葉變換(FFT)處，故相比于其它方法其計算速度是有優(yōu)勢的。最后通過對具體間諧波信號的仿真測量，驗證了該方法的有效性和實用性。

間諧波； 非同步采樣； RELAX算法； 希爾伯特變換； 快速傅里葉變換

隨著電力系統(tǒng)中非線性負荷的大量投用，電力系統(tǒng)中的諧波情況也愈發(fā)復(fù)雜，不僅存在頻率是基頻整數(shù)次的整數(shù)次諧波，而且存在非整數(shù)次諧波成份。這些對電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定運行造成了極大的危害。而對諧波間諧波進行有效分析治理的基礎(chǔ)便是對其準確的檢測。

目前電力系統(tǒng)中的間諧波源主要是以電弧爐為主的波動性負荷及變頻調(diào)速裝置類的非線性負荷。此外，高壓直流輸電技術(shù)從原理上分析等同于交直交的變流系統(tǒng)，因此也可劃為第二類間諧波源。從頻域上分析，前者由于電弧阻抗的時變性導(dǎo)致頻譜呈連續(xù)譜，后者則是具有特征頻率的離散譜，且其頻率可通過互調(diào)理論進行分析。無論是連續(xù)譜還是離散譜都具有間諧波的統(tǒng)一特征即頻率非工頻整數(shù)倍且幅值較小，這一特征決定了以往很多諧波檢測方法對于間諧波將不再適用。目前間諧波的檢測方法可以分為兩大類，即非參數(shù)估計法和參數(shù)估計方法。前者包括快速傅里葉變換(FFT)、插值傅里葉變換[1～3]、小波分析[4]、支持向量機法[5]等；后者則主要是基于現(xiàn)代譜估計的方法[6]，包括奇異值最小二乘法、PRONY法、BURG法以及一大類空間譜估計方法。這些方法中快速傅里葉變換作為最常用的方法在非同步采樣時會出現(xiàn)譜峰偏離，引起參數(shù)估計誤差。插值傅里葉方法針對傳統(tǒng)傅里葉變換進行算法修正，通過加窗和插值的方法克服頻譜泄露及欄柵效應(yīng)。然而，這類算法運算量較大，一般需要求解高階方程。小波分析類方法是將觀測信號利用子帶分離技術(shù)進行頻帶劃分，得到各個頻率諧波。而小波濾波器的混疊性及噪聲敏感是這類方法的缺點。支持向量機法是利用支持向量機的回歸特性，結(jié)合迭代變權(quán)方法估計諧波參數(shù)。這種方法能夠保證全局收斂性，且估計參數(shù)是全局最優(yōu)的，但參數(shù)選擇問題限制了該方法的廣泛應(yīng)用。參數(shù)估計方法中奇異值最小二乘法和PRONY法可以直接測量間諧波的全部參數(shù)，但計算量較大，且由于在推導(dǎo)公式中存在假設(shè)條件(如白噪聲假設(shè))，因此實際檢測結(jié)果可能存在較大偏差。BURG法實質(zhì)是格型濾波算法，利用萊文森遞推公式計算模型參數(shù)。該方法避免了求解相關(guān)矩陣，但對于高階模型及大樣本情況分析效果較差。子空間法通過分離信號與噪聲空間給出觀測信號的偽譜，因此只能用于頻率檢測，且在信噪比較低時效果較差。本文中介紹的RELAX方法屬于非參數(shù)估計法，能夠準確計算諧波的全部參數(shù)。同時，計算過程中利用了FFT，但克服了FFT非同步采樣時的估計誤差，且具有一定抗噪性能。

1 RELAX算法介紹[8，9]

RELAX算法是一種具有超分辨率的譜分析算法，該算法假設(shè)復(fù)諧波模型[3]為

n=0，1，…，N-1

(1)

其中αk是諧波幅值，此處可理解為帶相位信息，即αk=|αk|ejφ，en是觀測噪聲，K是諧波個數(shù)(實際運算中可以先使用熵值估計方法或FFT方法對主要諧波個數(shù)進行估計)。在此基礎(chǔ)上將諧波參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為下面的優(yōu)化問題：

J1(f1，α1，…，fk，αk)=

(2)

其中y=[y0y1…yN-1]T，ω(fk)=[1，ej2πfk，…，ej2πfk(N-1)]T，‖·‖2表示歐氏范數(shù)。設(shè)

P=[ω(f1)，ω(f2)，…，ω(fk)]

(3)

因為P的列向量相互獨立，故可將范式中的表達式理解為一個向量投影問題，則原優(yōu)化式可表示成

(4)

由泛函分析可知，當投影向量作正交投影時可取得最小范數(shù)解，最小范數(shù)解(即最小二乘解)為

(5)

此時待估計的參數(shù)只有各個諧波頻率。設(shè)諧波頻率矢量f=[f1，f2，…，fk]T，及正交投影矩陣Ω=P(PHP)-1PH，優(yōu)化式最小范數(shù)值即為正交投影矩陣補空間上投影長度。基于此，優(yōu)化目標簡化為：

J2(f1，f2，…，fk)=‖Ω⊥y‖2=

‖(I-Ω)y‖2

(6)

上面分析的過程將多參數(shù)估計轉(zhuǎn)化為單一的頻率參數(shù)的估計，然而計算最小范數(shù)解相對復(fù)雜，但可以基于此得到一個很重要的結(jié)論，就是當諧波個數(shù)K小于實際個數(shù)時， 已測出的部分諧波參數(shù)仍是可靠的，這是由正交理論決定的。

J3(fk)=Min‖yk-αkω(fk)‖2

(7)

求解該優(yōu)化式，可得

Maxfk|ωH(fk)yk|

(8)

(9)

由此可以看出，fk的估計可以利用FFT方法進行計算，且幅值最大處的頻率，即為所估計頻率值，而該頻率處FFT變換幅值與估計幅值成比例。實際應(yīng)用RELAX方法計算時，在計算出某一對參數(shù)后，應(yīng)利用優(yōu)化式J1判斷參數(shù)估計是否合適，如果未達到誤差要求則循環(huán)迭代，直到參數(shù)估計的足夠好后再計算后面的參數(shù)。這樣每增加一對參數(shù)的估計，就需對前面已估計出的參數(shù)進行更新。

需要說明的是上面介紹的RELAX算法不能直接用來分析實信號，但通過以下步驟修正后可以準確檢測諧波(間諧波)信號參數(shù)。

步驟1X(t)=x(t)+jH[x(t)]

在這樣反差顯著且形式緊迫的大環(huán)境下， 結(jié)合計算機信息和3D圖形處理分析技術(shù)以及互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展契機，BIM應(yīng)運而生, 并迅速引起行業(yè)內(nèi)領(lǐng)袖企業(yè)的關(guān)注和重視。 BIM作為一個完整的概念被明確提出可以回溯到20世紀90年代 [4]。而其真正興起是在新千年后，在軟件行業(yè)巨頭Autodesk， Bentley Systems和Graphisoft等公司的共同推動下，一系列以數(shù)字化建造為核心概念的新一代軟件產(chǎn)品(例如AECOsim以及稍后占北美市場主導(dǎo)地位的Autodesk Revit)被推出，以取代傳統(tǒng)CAD產(chǎn)品作為行業(yè)變革的技術(shù)基礎(chǔ)并支持建筑行業(yè)內(nèi)數(shù)字信息交互和協(xié)同合作。

(10)

步驟2φ=φ+π/2

(11)

(注：H[·]表示Hilbert變換，且Hilbert變換在負頻處有π/2的相位延遲)

至此，整個算法流程如下：

(1)估計主諧波個數(shù)K。

(2)初始化αk及fk，對觀測數(shù)據(jù)進行HILBERT變換，取變換后復(fù)值觀測數(shù)據(jù)作待測數(shù)據(jù)。

(3)計算待估計分量yk。

(5)根據(jù)優(yōu)化目標J1判斷參數(shù)估計是否準確，滿足條件則依次估計其它分量參數(shù)否則重復(fù)估計已測參數(shù)。

(6)對估計相位進行修正。

2 仿真實驗

構(gòu)造如下含間諧波的虛擬電壓信號，

V(t)=10sin(2π50t+π/4)+

2sin(2π73t+π/3)+

4sin(2π77t+π/5)+

6sin(2π121t+π/6)+e(t)

(12)

其中加入了信噪比為30dB的高斯白噪聲。下圖分別是觀測信號波形及使用FFT對觀測信號進行頻域分析結(jié)果(頻域圖中幅值已歸一化)。

為使用RELAX方法，需先確定K值?，F(xiàn)定義譜峰分離判別式

(13)

當兩個頻率處的譜峰滿足上述關(guān)系，即可認為被正確識別。本例中經(jīng)計算K為3，這是由于73 Hz與77Hz頻率接近而無法分辨。為測試算法容錯能力，實驗中分別取K為3、4、5、6，測試算法的。圖3表示RELAX算法在不同K值下的分析結(jié)果，表1是具體的誤差分析。

圖1 混噪待測信號Fig.1 Signal mixed with noise

圖2 FFT頻域分析Fig.2 Frequency analysis via FFT表1 不同K值下RELAX算法誤差分析Tab.1 Error analysis of RELAX algorithm in different case of K

諧波數(shù)K實測頻率/Hz誤差/%實測幅值/V誤差/%實測相位/rad誤差/%349.980.049.891.10.754.5176.770.033.8830.596.1120.860.126.1220.512.6449.890.229.910.90.790.5972.560.62.073.51.050.2777.120.164.1230.630.27120.520.45.921.330.512.6549.790.429.782.20.772.9672.650.481.8861.031.6476.890.143.892.80.612.92120.390.51.8768.830.2356.07120.270.62.0366.170.6320.32649.850.39.594.11.2356.6172.730.371.12441.022.676.490.661.3765.750.2166.58120.390.55.783.670.488.3349.890.220.9890.20.2864.3576.520.621.2369.255.21729.2

結(jié)合圖3和表1可以看出，當諧波估計數(shù)K小于實際諧波個數(shù)時，RELAX算法仍可準確檢測諧波參數(shù)。當K大于實際個數(shù)時，會產(chǎn)生某些頻率諧波的重復(fù)測量，并導(dǎo)致這些頻率處諧波參數(shù)估計不準確。因此只需要將這些頻率諧波合并，并相應(yīng)減少K值重復(fù)計算便可將參數(shù)準確測量。

圖3 RELAX在不同K值下頻率估計Fig.3 Frequency estimation via RELAX by different K

3 結(jié)語

RELAX算法的計算主要使用FFT，因此在實時性上得到保障，經(jīng)實際測試雖然計算精度不如PRONY及SVD-TLS方法，但測量時間遠小于二者。與傳統(tǒng)FFT方法相比較，該方法不存在頻譜泄露問題，可準確計算頻率接近的諧波參數(shù)，因此可以應(yīng)用于間諧波的實時測量分析中。

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ApplicationofRELAXAlgorithmonInterharmonicDetection

JI Yu1， SUN Yun-lian1， LI Jing2

(1.School of Electrical Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China；2.Wuhuan Chemical Co.,Ltd., Wuhan 430072, China)

Interharmonic is the special harmonic element which is not an integer multiple of the fundamental. Due to the asynchronous sampling problem, serious leakage error may arise with the measurement method for normal harmonics. In this paper, a new approach for sinusoidal parameter estimation based on RELAX(Relaxation algorithm)is presented. To get the correct result, the proposed method depends on two additional steps: the Hilbert Transform of the samples and the phase revise. The method can make the faster measurement in comparison with others since the Fast Fourier Transform(FFT) takes up the main calculation time of the RELAX. Finally, the simulation results have verified the effectiveness and practicability of the algorithm.

interharmonic； asynchronous sampling； relaxation algorithm； Hilbert transform； fast Fourier transform

2009-11-09

2010-01-18

TM93

A

1003-8930(2011)03-0135-04

季 宇(1982-)，男，博士，研究方向為電能質(zhì)量分析與控制。Email:jiyu820507@gmail.com

孫云蓮(1962-)，女，博士生導(dǎo)師，研究方向為電能質(zhì)量分析與控制，分布式發(fā)電并網(wǎng)控制技術(shù)。Email:ylsun@whu.edu.cn

李 晶(1980-)，女，碩士，研究方向為化工設(shè)計中的配電技術(shù)。Email:lijingdk@cwcec.com