李帥 楊康

沈陽理工大學(xué)信息工程學(xué)院

串聯(lián)電路系統(tǒng)可靠度最大化的算法研究

李帥 楊康

沈陽理工大學(xué)信息工程學(xué)院

對電子電路系統(tǒng)而言，如何使其獲得最大的可靠性是設(shè)計的主要目標(biāo)之一。文章給出了粒子群算法的可靠性優(yōu)化求解策略，根據(jù)數(shù)學(xué)模型，討論了求解步驟，還加入變異操作來避免早熟收斂，最后給出了實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果。結(jié)果表明該算法與其他方法相比收斂速度更快，精度更高，從而驗(yàn)證了該算法應(yīng)用于最大化串聯(lián)電路系統(tǒng)可靠性問題的可行性和有效性。

可靠性；最大化；單目標(biāo)優(yōu)化；PSO算法；變異操作

由于計算機(jī)性能的提高和軟件技術(shù)的發(fā)展，使得優(yōu)化過程得以快速、容易地實(shí)現(xiàn)，縮短了可靠性優(yōu)化設(shè)計時間，促進(jìn)了可靠性優(yōu)化方法在可靠性設(shè)計中更加廣泛的發(fā)展和應(yīng)用。以往的最優(yōu)冗余大多關(guān)注于在滿足一定的可靠性要求下,整個系統(tǒng)的成本最小,少有關(guān)于系統(tǒng)可靠度最大化的研究。

1. 單目標(biāo)優(yōu)化模型建立

系統(tǒng)可靠性優(yōu)化問題按照其目標(biāo)函數(shù)數(shù)目的多少分為：單目標(biāo)優(yōu)化和多目標(biāo)優(yōu)化。單目標(biāo)優(yōu)化：是指在一定資源消耗的條件下，優(yōu)化目標(biāo)為最大化系統(tǒng)可靠度或者最小化系統(tǒng)資源消耗的單一優(yōu)化問題，最終獲得一個最優(yōu)解。

在串－并聯(lián)電路系統(tǒng)中，最大化系統(tǒng)可靠度的問題可用如下優(yōu)化模型表示:

式中：ni為第i級子系統(tǒng)的冗余數(shù)；qi(qi=1-Ri)為第i級子系統(tǒng)各不相同元件的不可靠度；g（ni）為第i級子系統(tǒng)單元成本，Ri為子系統(tǒng)各相同元件的可靠度。

圖1 串－并聯(lián)冗余系統(tǒng)

若qi＜＜1,目標(biāo)函數(shù)還可以表示為

對非線性規(guī)劃(2),若目標(biāo)函數(shù)f(x)是凸函數(shù),約束集合是凸集,則稱非線性規(guī)劃(2)是凸規(guī)劃。顯然在(2)中只含不等式約束,又gi(x)是凹函數(shù),則約束集是凸集。存在定理:凸規(guī)劃的局部最優(yōu)解必是全局最優(yōu)解.求解問題式(2)就是在可行集中找出一點(diǎn)x*使得目標(biāo)函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處取得最小值。

2. PSO算法

系統(tǒng)可靠性優(yōu)化已被證明是一個NP完全問題，很難采用基于梯度的微分方法求解，即不存在精確的求解方法。為此，本文采用粒子群優(yōu)化算法(PSO)來進(jìn)行復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性優(yōu)化分析。它是一種現(xiàn)代群體智能算法，1995年首先由Kennedy和Eberhart提出[1],是以所有粒子追隨著最優(yōu)粒子飛行，在解空間中進(jìn)行隨機(jī)搜索。每個潛在解與粒子運(yùn)行速度相聯(lián)系，該速度不停地根據(jù)粒子經(jīng)驗(yàn)以及粒子鄰居們的經(jīng)驗(yàn)來調(diào)整大小、方向，總是希望粒子能朝著更好的方向發(fā)展。在搜索過程中，全局搜索能力與局部搜索能力的平衡關(guān)系對于算法的成功起著至關(guān)重要的作用。粒子更新公式如下所示：

其中w稱為慣性權(quán)值，c1和c2是兩個正常數(shù)，稱為加速因子，r1和r2是兩個0～1之間的隨機(jī)數(shù).通常使用一個常量Vmax來限制粒子的速度，改善搜索結(jié)果。

用粒子群算法求解本文的問題，具體可按如下步驟進(jìn)行：

首先注意到本文的最優(yōu)解是在整數(shù)空間，即使粒子的位置和速度均為整數(shù)，下一位置則可能為實(shí)數(shù)，這樣不能保證仍在整數(shù)空間內(nèi)搜索。本文取變量y1，y2，…均屬于[0，1]區(qū)間的實(shí)數(shù)，其值對應(yīng)于粒子的位置。xi與yi對應(yīng)，若k=[liyi]，則xi取整數(shù)集合｛n1，n2，n3，…,nm｝中的第k個元素，即xi=n1+k-1。這樣[0，1]區(qū)間的實(shí)數(shù)就與整數(shù)對應(yīng)起來。目標(biāo)函數(shù):

另外在有約束的極小化問題的懲罰函數(shù)中，適應(yīng)值函數(shù)定義為最小不可靠度模型的目標(biāo)函數(shù)和對違反約束的懲罰之和。有約束的問題“變成無約束的優(yōu)化問題”即

式中,M為一充分大正數(shù)。

設(shè)每一個冗余子系統(tǒng)的n值為Xi，則每一個粒子的編碼為[X1，X2，…，Xn]，種群大小popsize設(shè)置為20，粒子飛行最大速率Vmax=2.0，種群規(guī)模為20，最大迭代次數(shù)為100,c1=1.4946，c2=1.4946，慣性權(quán)重w由0.9～0.4線性減小,M為18。

算法描述：

Stepl初始化所有的粒子，在允許的范圍內(nèi)隨機(jī)設(shè)置粒子的初始位置和初始速度;

Step2判斷每個粒子是否滿足約束條件;

Step3評價每個粒子的適應(yīng)值，即計算目標(biāo)函數(shù)值；

Step4計算個體歷史最優(yōu)位置pbest；

Step5計算種群歷史最優(yōu)位置gbest；

Step6根據(jù)粒子的速度和位置更新方程更新粒子的速度和位置；

Step7若滿足迭代條件，則終止迭代，輸出結(jié)果；否則轉(zhuǎn)到Step2。

3.求解實(shí)例

設(shè)某4級串一并聯(lián)系統(tǒng)，總造價不大于200元，各級別元件不可靠度及單價數(shù)據(jù)見表1，求最佳冗余設(shè)計方案，使系統(tǒng)可靠度最大。

用matlab進(jìn)行仿真求解,得到如下結(jié)果:迭代進(jìn)化得到的適應(yīng)度值:0.049.(見圖2)。

圖2 pso求解的適應(yīng)度進(jìn)化曲線

粒子群優(yōu)化算法收斂快，具有很強(qiáng)的通用性，但同時存在著容易早熟收斂，搜索精度較低，后期迭代效率不高等缺點(diǎn)。在粒子群優(yōu)化算法中引入變異操作，即對某些變量以一定的概率重新初始化。變異操作拓展了在迭代中不斷縮小的種群搜索空間，使粒子能夠跳出先前搜索到的最優(yōu)值位置，在更大的空間中開展搜索，同時保持了種群多樣性，提高算法尋找到更優(yōu)值的可能性(迭代過程見圖3)。

表 1

圖4 20次平均適應(yīng)度進(jìn)化曲線

因此，在普通粒子群算法的基礎(chǔ)上引入了簡單變異算子，基本思想就是粒子每次更新之后，以一定概率重新初始化粒子，最終得到最優(yōu)解[3]。

最優(yōu)解:n1=1,n2=3,n3=1,n4=1,n5=2,n6=1,n7=1,n8=2;此時的系統(tǒng)最大可靠度R=0.9949。沒有冗余優(yōu)化的8級串聯(lián)系統(tǒng)可靠度為0.400,由此可見，群智能算法對于解決最大化復(fù)雜系統(tǒng)可靠性問題具有一定的高效性和易實(shí)現(xiàn)性。

為了檢驗(yàn)算法的有效性，本文同時采用了遺傳算法和模擬退火算法對該問題進(jìn)行求解。遺傳算法參數(shù)如下：種群規(guī)模為N＝20,交叉概率為pc=0.95,變異概率為pm=0.08,迭代次數(shù)為100; 模擬退火算法參數(shù)如下：起始溫度T=100000，終止溫度T0=1,退火速度為0.9。三種算法隨機(jī)運(yùn)行20次所找到的平均最小適應(yīng)度進(jìn)化曲線所示。顯然，粒子群算法的要比其他算法進(jìn)化的快，而且結(jié)果也優(yōu)于另兩種算法（見圖4）；通過比較三者的目標(biāo)函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)方差,發(fā)現(xiàn)粒子群算法的方差比其他算法的小一個數(shù)量級,說明粒子群算法求最優(yōu)解時,優(yōu)化表現(xiàn)比較平穩(wěn)；另外,粒子群達(dá)到最優(yōu)的頻率明顯大于其他算法(見表1)。

圖3 改進(jìn)的pso求解的適應(yīng)度進(jìn)化曲線

4.結(jié)束語

以往解決可靠性優(yōu)化問題都是從整個系統(tǒng)的成本最小化的角度建立單目標(biāo)優(yōu)化模型,本文則從串聯(lián)電路系統(tǒng)可靠性最大化的角度建立了數(shù)學(xué)模型。

在粒子群算法求解的過程中注意到本文的解都應(yīng)該在整數(shù)空間,因此對模型進(jìn)行了改進(jìn)，并通過加入罰函數(shù)的方法將有約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，最終形成了適合粒子群算法的目標(biāo)函數(shù)。

粒子群算法作為一種全局搜索算法，尤其適用于處理傳統(tǒng)搜索方法難以解決的復(fù)雜問題和非線性問題，但是它卻不能保證最終收斂于問題的全局最優(yōu)解。在算法中引入變異操作后，通過仿真發(fā)現(xiàn)這種自變異的粒子群算法克服了早熟收斂，搜索精度較低，后期迭代效率不高的缺點(diǎn)。

考慮到遺傳算法存在早熟的弱點(diǎn),而模擬退火算法全局搜索能力差，經(jīng)過改進(jìn)的粒子群算法能夠較好地克服了這兩種算法的缺點(diǎn)。通過實(shí)際算例仿真計算驗(yàn)證了自變異粒子群算法與遺傳算法。模擬退火算法相比在求解串聯(lián)電路系統(tǒng)可靠度最大化時無論是求解過程還是結(jié)果，這種算法都勝過其他兩種算法。因此，加入變異操作的粒子群算法為串聯(lián)電路系統(tǒng)可靠性最大化問題的求解提供了新的思路。

[1]Kennedy J, Eberhart R. Particle swarms optimization [A]. Proc IEEE Int Conf on Neural Networks[C]. Perth, 1995: 1942-1948

[2] Eberhart R C, Shi Y. Particle swarm optimization: developments, applications and resources[A].Proceedings of the IEEE Congress on Evolutionary Computation [C]. Piscataway, NJ:IEEE Service Center, 2001: 81-86

[3]呂振肅，侯志榮.自適應(yīng)變異的粒子群優(yōu)化算法.電子學(xué)報. Mar.2004, Vol.32 No.3

[4]豐建榮，劉志河，劉正和.混合整數(shù)規(guī)劃問題遺傳算法的研究及仿真實(shí)現(xiàn).系統(tǒng)仿真學(xué)報.2004，16(4)：845～848

[5]飛思科產(chǎn)品研發(fā)中心 編著. MATLAB 6.5輔助優(yōu)化計算及設(shè)計.電子工業(yè)出版社

[6][加]B.S.迪隆.系統(tǒng)設(shè)計和應(yīng)用的可靠性工程.宇航出版社

[7]謝云.用模擬退火算法并行求解整數(shù)規(guī)劃問題.高技術(shù)通訊.1991，1(10)：21—26

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.18.011

遼寧高等教育教學(xué)資源平臺建設(shè)

李帥， 男 沈陽理工大學(xué)信息工程學(xué)院碩士研究生。 研究方向:虛擬儀器與信息處理。