許長勇，肖志華，沈栩竹

（云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昆明 650091）

非線性方程的數(shù)值解法一直都是非線性科學(xué)的一個(gè)重要課題。經(jīng)典牛頓迭代法（CN[1]）是非線性方程求根的基本方法，二階收斂到單根。牛頓法因收斂速度快而得到廣泛應(yīng)用，也備受學(xué)者的重視，近年來很多文獻(xiàn)中提出各種修正的牛頓法。Chun提出四階收斂到單根的兩步修正牛頓法（MCN4[2]）；通過對(duì)四階收斂的算法增加一步迭代，Chun和Ham提出六階收斂的修正牛頓法（MCN6[3]），Kou、Wang和Li提出七階收斂的修正牛頓法（MCN7[4]）。在此基礎(chǔ)上，本文運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和均差的性質(zhì)，提出一個(gè)新的八階收斂的修正牛頓法。

1 算法構(gòu)造

為方便表述，首先給出一些相關(guān)預(yù)備知識(shí)。

定義1[1]設(shè)迭代過程

收斂于方程

的根*x，如果迭代誤差

當(dāng)n→∞時(shí)成立下列漸進(jìn)關(guān)系式

稱該迭代過程是p階收斂的，稱

為誤差方程。

定義2[4]稱 p1/d為算法的效能指數(shù)，其中p表示迭代算法的收斂階，d表示每步迭代所需要的計(jì)算。

定義3[5]稱

為函數(shù) f(x)關(guān)于點(diǎn)x0，x1的一階均差。

為函數(shù) f(x)的二階均差。

一般地，稱

為函數(shù) f(x)的k階均差。

特別地，

下面構(gòu)造一個(gè)新的八階收斂的修正牛頓法。

將 f(x)在yn處作泰勒展開，可得：

令 x= zn，可得：

由(3)得：

將(5)代入(4)，可得：

為避免計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)，考慮如下近似關(guān)系：

將(7)代入(6)，可得：

即得到一個(gè)新的算法（MCN8）：

2 收斂性分析

定理1設(shè)ξ是充分光滑函數(shù)

證明不妨設(shè)

并記

將 f ( xn)，f'(xn)和 f ( yn)在ξ處作泰勒展開，并考慮 f(ξ)=0，可得

由(9)-(12)得：

從而

由(15)-(19)得：

即證得由迭代格式(8)所得的序列{ xn}是八階收斂的。

注衡量一個(gè)迭代算法優(yōu)劣除了考察收斂階外，還要考察其算法的效能指數(shù)。本文算法（MCN8）的效能指數(shù)為，顯然高于

3 數(shù)值試驗(yàn)

為檢驗(yàn)本文算法（MCN8）的效率，分別用CN，MCN6，MCN7和MCN8來解下列常用的測(cè)試函數(shù)方程[3,4]：

從初始值x0開始迭代，用經(jīng)過同等函數(shù)計(jì)算個(gè)數(shù)（TNFE）運(yùn)算后的值作為標(biāo)準(zhǔn)，來說明新算法的有效性。所有結(jié)果都是在Matlab 7.0的環(huán)境下操作，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 不同迭代法的比較表（函數(shù)計(jì)算個(gè)數(shù)總和均為12）

由數(shù)值試驗(yàn)可見，新算法（MCN8）具有收斂速度快，精確效果好的特點(diǎn)，故較其他算法具有一定的優(yōu)越性。

注 在數(shù)值試驗(yàn)中，MCN6為文獻(xiàn)[3]的式(12)在選取

的情況下所得到的算法；MCN7為文獻(xiàn)[4]的式(8)在選取α =1的情況下所得到的算法。

4 結(jié)論

提出了一個(gè)新的八階收斂的修正牛頓法，理論分析和數(shù)值試驗(yàn)表明新算法是一種較優(yōu)的求解非線性方程的方法。