高德寶

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué) 文理學(xué)院，黑龍江 大慶 163319）

在用模糊數(shù)及模糊關(guān)系構(gòu)建的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型中，對于可行域上的任一點(diǎn)，通過模糊關(guān)系運(yùn)算得到的目標(biāo)值均是模糊數(shù)。這樣就存在哪個(gè)模糊數(shù)較優(yōu)的問題，依據(jù)模糊數(shù)的優(yōu)劣程度進(jìn)行比較或排序的問題稱之為模糊數(shù)的排序問題。在模糊優(yōu)化與決策中，模糊數(shù)的比較與排序問題是基本問題。迄今為止，國內(nèi)外學(xué)者相繼提出了多種方法[1-6]。但沒有一種方法能得到普及，它們均各有優(yōu)缺點(diǎn)，各有適用范圍。

定義 1[7]設(shè)A是實(shí)數(shù)域R上的正規(guī)模糊集，且對?λ∈ [0,1]，Aλ均為一閉區(qū)間，則稱A為一個(gè)模糊數(shù)。若?λ∈ (0,1]，Aλ有界，則稱A為有界模糊數(shù)。

定理 1[7]A為有界模糊數(shù)的充分必要條件是存在閉區(qū)間[al,ar]，使得

其中L(x)為增函數(shù)，右連續(xù)，0 ≤L(x ) ＜ 1，且R (x)為減函數(shù)，左連續(xù)， 0≤R(x)＜ 1，且

易知L(x)與R(x)均有逆函數(shù)，設(shè)其分別為L-1(x)，R-1(x)，則L-1(x)，R-1(x)仍是右，左連續(xù)且仍是增函數(shù)與減函數(shù)。

本文所涉及的模糊數(shù) Ai(i = 1,2, … ,n)的隸屬函數(shù)為：

1 模糊數(shù)的排序方法

定義2[8]設(shè)E是一個(gè)非空集， xy∈E?, ，給定一個(gè)實(shí)數(shù)ρ(x,y)與之對應(yīng)，若ρ(x,y)滿足如下條件：

（1） ρ( x,y) ≥0，且 ρ( x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

（2） ρ( x, y)= ρ(y,x)；

（3） ρ(x,y)≤ ρ(x,z)+ρ(z,y),( z∈E)。

則稱ρ(x,y)是兩點(diǎn)x,y之間的距離。

定義3對任意的模糊數(shù) A1,A2，稱

為模糊數(shù) A1與A2之間的距離。

易知定義3滿足定義2中的所有條件。

距離的幾何意義：如圖 1所示， A1,A2的距離是指在A( x)=1與A(x)=0之間，L1(x)，L2(x)所圍面積的p次冪與 R1(x)，R2(x)所圍面積的p次冪之和的平均值之后開p次方。當(dāng) A1,A2為實(shí)數(shù)時(shí)，即它等同于實(shí)數(shù)的距離公式。

圖1 A1與A2之間的距離

定義4[2]設(shè)A為一模糊數(shù)，若x＜0時(shí)，A(x)=0，則稱A是正模糊數(shù)；若x＞0時(shí)，A(x)=0，則稱A為負(fù)模糊數(shù)；若存在 x1x2＜ 0，使得 A(x1)A( x2) ＞0，則稱A是變號模糊數(shù)。

定義 5若A為正模糊數(shù)，稱 wA= d(A,0)為A的排序指標(biāo)；若A為負(fù)模糊數(shù)，稱 wA=- d(A,0)為A的排序指標(biāo)；若0∈ (a1,a4)，取 A= Al∨ Ar，其中

定義6若 wA1＜ wA2，記作A1＜ A2，讀作A1小于A2；若wA1= wA2，記作 A1=A2，讀作A1等于A2。

若要對若干個(gè)有界模糊數(shù) Ai(i = 1,2,… ) 進(jìn)行排序，需先算出對應(yīng)的 d(Ai,0)(i = 1,2,… ) ，然后再根據(jù)對應(yīng)的wAi的大小對 Ai進(jìn)行排序。

2 排序效果分析

定理1設(shè) A1,A2為兩個(gè)LR模糊數(shù)。，則有 A1≤A2。

證明分三種情形。

（1）A1(x)，A2(x)均為正模糊數(shù)

由于A1(x)，A2(x)均為凸函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)有

故A1≤A2。

（2） A1,A2均為負(fù)模糊數(shù)

綜上所述，原命題成立。

特別地，當(dāng)A1為實(shí)數(shù)或A2為實(shí)數(shù)，仍有 A1≤A2。

推論若A2為正模糊數(shù)，則 A1≤ A1+ A2；若A2為負(fù)模糊數(shù)，則 A1+ A2≤ A1。

這些結(jié)果與人們的直覺是相符的并且不悖逆于實(shí)數(shù)的自然序關(guān)系。在一定程度上說明了此排序方法的有效性。

本文的排序方法具有以下幾方面的合理性：

性質(zhì) 1對任意的有界模糊數(shù)A1與A2， A1≤A2與A2≤ A1至少有一個(gè)成立。

性質(zhì)2對任意的有界模糊數(shù)若，則A1≤A2。

性質(zhì)3對任意的A1(x)，A2(x)，A3(x)，若 A1≤ A2且A2≤ A3，則 A1≤ A3。

性質(zhì) 4若在集合{ A1, A2}上有 A1≤ A2，則在集合{A1,A2,A3}上也有 A1≤A2。

性質(zhì)5對任意的A1(x)，A2(x)，若有 A1≤ A2，則當(dāng)r為正實(shí)數(shù)時(shí)，有 rA1≤ rA2。

證明性質(zhì)1~4由序的定義易知，下證性質(zhì)5。

由定義3知，d (r A,0)= rd(A,0)。從而可知 wrA1=rwA1，wrA2=rwA2。由 A1≤ A2知， wA1≤ wA2。

故rwA1≤ rwA2，從而 rA1≤ rA2。

3 實(shí)例分析

下面我們對具有代表性的五組模糊數(shù)的排序問題[8]進(jìn)行分析，圖 2(a)~圖 2(e)分別對這五組具有代表性的模糊數(shù)進(jìn)行了描述。

在定義3中，我們僅取p=2時(shí)。

對于圖 2(a)中所示的三個(gè)模糊數(shù) A1=(0.4,0.5,0.5,1)，A2=(0.4,0.7,0.7,1)， A3=(0.4,0.9,0.9,1)，易知 A1,A2,A3的支撐區(qū)間都相同且它們的峰值區(qū)間都為一個(gè)點(diǎn)，故其峰值區(qū)間越靠右表示的數(shù)值越大，即 A1＜ A2＜ A3。用本文方法可得：

wA1= 0.6185， wA2= 0.7159， wA3= 0.8139。由此可得： A1＜ A2＜ A3。

對于圖2(b)中所示的兩個(gè)模糊數(shù) A1= （0. 2,0.5,0.5,0.8） ，A2= （0.4,0.5,0.5,0.6）易知A1與A2的峰值區(qū)間相同，故其支撐區(qū)間越小越精確，即 A2＜ A1。用本文方法可得：

由此可得： A2＜ A1。

圖2 五組模糊數(shù)的排序問題

對于圖 2(c)所示的三個(gè)模糊數(shù) A1= (0.5,0.7,0.7,0.9)，A2= (0.3,0.4,0,7,0.9)， A3=(0.3,0.4,0,7,0.9)，易知A1與A2的峰值區(qū)間相同，故其支撐區(qū)間越小越精確。即 A2＜ A1。根據(jù)性質(zhì)4，待序范圍擴(kuò)大后，也應(yīng)有 A2＜ A1。A2與A3的支撐區(qū)間相同，峰值區(qū)間越往右越大，故 A2＜ A3。用本文方法可得

由此可得： A3＜ A2＜ A1。

對于圖 2(d)中的三個(gè)模糊數(shù) A1= (0.3,0.5,0.8,0.9)，A2=(0.3,0.5,0.5,0.9)與A3=(0.3,0.5,0.5,0.7)，易知A1與A2的支撐區(qū)間相同，峰值區(qū)間越往右越大，即 A2＜ A1。根據(jù)性質(zhì)4，待序范圍擴(kuò)大后，也應(yīng)有 A2＜ A1，且A2與A3的峰值區(qū)間相同都為同一個(gè)點(diǎn)，故支撐區(qū)間越大越精確。即A3＜ A2，所以 A3＜ A2＜ A1。用本文方法可得

由此可得： A3＜ A2＜ A1。

對于圖 2(e)中的兩個(gè)模糊數(shù) A1= (0.3,0.3,0.3,1)，A2= (0.1,0.7,0.7,0.8)，僅僅從對數(shù)值描述的精確程度方面看，兩者是相同的，且由 [0 .1,0.8]＜ [0.3,1]可得 A.1＞ A2；另一方面，由于 A1的支撐區(qū)間小于A2的支撐區(qū)間，故有A1＜A2。綜合兩方面考慮就很難確定兩者的優(yōu)越程度，用本文方法可得

雖然能得出 A1＜A2，但我們也能看到 wA1與 wA2相差無幾，這符合上面的分析結(jié)果。

4 結(jié)論

給出了度量模糊數(shù)間距離的一種新方法的基礎(chǔ)上，提出了模糊數(shù)的排序指標(biāo)，進(jìn)而能夠確定模糊數(shù)之間的序關(guān)系。文中從理論分析與實(shí)例分析兩個(gè)方面說明排序方法的效性與實(shí)際可行性。