任林源，陸 軍

（1.西安工業(yè)大學(xué) 數(shù)理系，陜西 西安 710032；2.武警西安指揮學(xué)院 數(shù)理教研室，陜西 西安 710038）

量子態(tài)的分辨是量子信息理論的一個(gè)基本問(wèn)題，無(wú)糾纏的局域分辨更是一個(gè)研究熱點(diǎn)[1-8]。在 LOCC（Local operation and classical communication）的限制下，正交態(tài)并不是總可以精確分辨的[1]，因此從局域的角度來(lái)看，對(duì)量子態(tài)局域分辨的能力有所下降。直覺上，和全局分辨一樣，態(tài)的正交性應(yīng)該能夠保證量子態(tài)在局域下就可以精確分辨，而量子態(tài)的不可分辨或許是由于量子態(tài)的糾纏引起的。但令人驚奇的是Bennett[2]構(gòu)造了一組乘積純態(tài)，盡管它們沒有糾纏也不可精確局域分辨，這便是“非糾纏的非局域性”的表現(xiàn)。J.Walgate[3]卻證明了任意兩個(gè)多體正交純態(tài)可以精確局域分辨，此結(jié)果說(shuō)明了在LOCC下量子態(tài)的糾纏與否與其精確分辨的關(guān)系不大，也說(shuō)明了此問(wèn)題的復(fù)雜性。Ghosh[4]等人完全解決了特殊的Bell態(tài)的分辨問(wèn)題。Fan[5]證明了態(tài)的個(gè)數(shù)與系統(tǒng)的維數(shù)是與Bell態(tài)的分辨有關(guān)系的。曹[6]證明了最大糾纏態(tài)完全集，只要有兩份拷貝就可以完全LOCC分辨。近期，段[7]研究了多體態(tài)的分辨，構(gòu)造了一些特殊的不可LOCC分辨的子空間。本文研究并且得到了兩體混合量子態(tài)可以局域分辨的一個(gè)必要條件，并構(gòu)造了一個(gè)GHZ態(tài)不可局域分辨的子空間。

以兩體態(tài)為例來(lái)說(shuō)明混合量子態(tài)的局域分辨過(guò)程：假如有兩方，比如一個(gè)是Alice另一方是Bob，他們分別各擁有整個(gè)量子系統(tǒng)的一部分。他們事先知道在系統(tǒng)里有 m個(gè)秘密制備的正交混合態(tài)，但是他們并不確切地知道自己到底是擁有那一個(gè)態(tài)。Alice首先在她自己的部分做局域測(cè)量，并將得到的結(jié)果通過(guò)經(jīng)典信道告訴另一方 Bob，然后 Bob根據(jù)Alice的測(cè)量結(jié)果選擇合適的測(cè)量算子來(lái)測(cè)量他享有的系統(tǒng)部分，再將結(jié)果發(fā)給Alice；Alice再利用Bob的結(jié)果再做測(cè)量。經(jīng)過(guò)多次成功的局域測(cè)量，他們就可以分辨出這組量子態(tài)。此分辨過(guò)程可以用總的一套廣義測(cè)量算子｛Mm｝來(lái)代表多次測(cè)量算子的測(cè)量效果[9]。為了簡(jiǎn)潔，以下分別用A和B表示Alice和Bob。利用標(biāo)準(zhǔn)分解得到任意混合態(tài)的特征分解：

其中

定理 1設(shè) Alice和 Bob分享量子態(tài) ρ1, ...,ρN，Alice擁有的基態(tài)為計(jì)算基態(tài)

如果Alice先做分辨，那么他們可以精確分辨 ρ1, ...,ρN的必要條件是

并且存在不相等的正整數(shù) αi, i = 0,...,n - 1，滿足當(dāng)時(shí)，有

其中

是量子態(tài)ρk（k=1,...,N）的支集。

證明設(shè) Alice的測(cè)量算子｝是非平凡測(cè)量算子（即｛Mm｝與單位算子I不成正比例），那么對(duì)

有

設(shè)

是其譜分解，因?yàn)椋鸐m｝是非平凡的，所以不妨設(shè)α0,α1, ...，，將和分別寫為

將上式子代入(1)和(2)即可證。

注意到，當(dāng)n=2時(shí)，(3)和(4)就為[10]：

正交量子態(tài)可以精確分辨的必要條件。

量子態(tài)

是量子信息論里使用比較多的態(tài)，在量子隱形傳態(tài)中可作為量子信道[1,11,13]，它的表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，制備也相對(duì)容易，所以研究GHZ量子態(tài)的LOCC分辨也是有意義的。

定理2設(shè)

是4個(gè)n量子位態(tài)的集合，并且

有以下形式

那么集合

不可以LOCC精確分辨。

來(lái)分辨集合S。

（1）如果

那么測(cè)量完成后，態(tài)

變?yōu)?/p>

顯然不可能精確分辨

所以不可以精確分辨集合S。

（2）如果

那么測(cè)量完成后，態(tài)

變?yōu)?/p>

和

由假設(shè)不可能精確分辨

所以不可以精確分辨集合S。顯然，我們有以下推論：

推論1設(shè)

是n量子位的集合，如果S中有N-1個(gè)態(tài)

那么集合S不可以LOCC精確分辨。

從現(xiàn)有的文獻(xiàn)[2-11]來(lái)看，對(duì)于混合態(tài)的局域分辨研究得比較少，但在量子信息的實(shí)際應(yīng)用，如隱形傳態(tài)、稠密編碼等具體量子態(tài)的應(yīng)用中[13]，由于通信的雙方相距遙遠(yuǎn)，進(jìn)行局域操作只能是如局域么正變換、局域一般測(cè)量、經(jīng)典通信、不完全測(cè)量等操作組成[7,10]。所以，在某種意義上研究混合態(tài)的局域分辨就更有實(shí)際意義。