師曉宙，胡 超 ，向望華，宋 霜，王小靜

(1.天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院，天津 300072; 2.教育部光電信息技術(shù)科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072; 3.中科院先進(jìn)技術(shù)研究院，廣東 深圳 518055)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)輔助骨科手術(shù)(Computer Assisted Orthopaedic Surgery)已經(jīng)成為新的研究和應(yīng)用的熱點(diǎn)［1］。依靠計(jì)算機(jī)的輔助，骨科手術(shù)變得更加精確、安全，同時(shí)由于機(jī)器人的應(yīng)用，使得很多醫(yī)生難以完成的操作得以順利實(shí)施。輔助機(jī)器人對(duì)手術(shù)器械運(yùn)動(dòng)的精度要求非常嚴(yán)格，因此系統(tǒng)必須要有精確的定位。在定位技術(shù)方面，常用的有光學(xué)定位［2－3］、超聲定位［4］、X 射線定位［5］和磁定位［6－12］等。光學(xué)定位的精度高，但是存在光線反射、物體遮擋等問題;X射線定位可以提供精度較高的二維、三維圖像，但是該方法需要從不同角度獲取圖像，并且使醫(yī)生和患者承受長時(shí)間的X射線輻射，給病人帶來很大的副作用;超聲定位的測量范圍大，檢測簡單，但是容易受溫度、濕度的影響，精度較低。

由于人體是非導(dǎo)磁體，其磁導(dǎo)率和真空磁導(dǎo)率相近，所以人體的介入對(duì)于靜(或低頻變化)磁場幾乎沒有影響，從而在手術(shù)環(huán)境中磁定位可以得到很高的精度。磁定位有永磁體定位和電磁定位。永磁體定位具有體積小、不需電源和控制電路等特點(diǎn)，但容易受地磁場和周圍磁場的干擾，影響精度，且要求定位空間上沒有磁性材料的器械，否則會(huì)有干擾影響結(jié)果，甚至?xí)苟ㄎ皇?。本文采用的電磁定位?yīng)用電磁感應(yīng)的原理，能夠克服環(huán)境靜磁場的影響，受外界干擾小，并且可以通過控制電流和線圈的方向來獲得不同的磁場分布，因而更加方便;同時(shí)通過特定的磁場交變信號(hào)調(diào)制方法，能大大降低周圍磁性材料的器具對(duì)定位結(jié)果的影響，保證定位的精度和魯棒性;同時(shí)利用LM的最優(yōu)化算法，保證計(jì)算的精度和速度。我們?cè)O(shè)計(jì)了基于交變電磁信號(hào)的定位跟蹤系統(tǒng)，應(yīng)用于骨科手術(shù)機(jī)器人的植釘手術(shù)過程。下面是該系統(tǒng)的介紹。

1 電磁定位模型

理論上，通電導(dǎo)體周圍的磁場分布可由畢奧－薩伐爾定律推出，當(dāng)源點(diǎn)O到場點(diǎn)P的距離r遠(yuǎn)大于通電線圈的尺寸R時(shí)，可將線圈近似為磁偶極子［13－16］。

如圖1所示，電磁線圈(磁偶極子)在場點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

圖1 載流線圈

由磁偶極子模型做進(jìn)一步推導(dǎo)，如圖2所示，點(diǎn)O=(a，b，c)T為磁偶極子的位置，H0=(m，n，p)T為磁體方向。從式(1)可以推出，點(diǎn)P=(x，y，z)T處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為［12］

其中BT是和磁場大小相關(guān)的一個(gè)常量，

圖2 磁偶極子模型

在發(fā)射線圈中加入交流電，即會(huì)產(chǎn)生變化的磁場。依據(jù)電磁感應(yīng)定律，通過導(dǎo)體回路的磁通量隨時(shí)間發(fā)生變化時(shí)，回路中就有感應(yīng)電動(dòng)勢產(chǎn)生。我們以線圈作為接收器，通過接收線圈的磁通量發(fā)生變化時(shí)，接收回路產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。

由式(3)、式(4)可知，由于線圈有固定的尺寸和匝數(shù)，所以S和n為常數(shù)，感應(yīng)電動(dòng)勢E與B的變化率成線性關(guān)系。通過測量E的大小，可計(jì)算出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。

如圖3所示，在發(fā)射線圈所處的位置定義一個(gè)坐標(biāo)系(發(fā)射坐標(biāo)系XYZ)，一個(gè)發(fā)射線圈可以等效為一個(gè)磁偶極子，它產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度按發(fā)射坐標(biāo)系XYZ可以分解為三個(gè)正交的分量Bx'By'Bz'。將三個(gè)正交的接收線圈作為一組接收器，對(duì)應(yīng)一個(gè)發(fā)射線圈，一組接收器將沿著接收線圈自身的正交方向感應(yīng)到三個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度BxByBz。

圖3 發(fā)射接收模型

B'xB'yB'z通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，即先繞X軸旋轉(zhuǎn)α度角，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)β度角，最后繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ度角，可得到BxByBz。(α，β，γ)表示接收器的角度信息。

旋轉(zhuǎn)矩陣

將式(2)展開，有

則

n為發(fā)射線圈的編號(hào)。

BnxBnyBnz可由接收線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢計(jì)算得到，發(fā)射線圈的位置(a，b，c)和磁體方向(m，n，p)均為已知，由式(9)、式(10)、式(11)、式(12)可以確定三個(gè)方程，而目標(biāo)的方向和角度信息需要確定六個(gè)參數(shù)(x，y，z，α，β，γ)，因此至少需要六個(gè)方程，即兩個(gè)發(fā)射線圈和一組接收線圈，才能夠得到目標(biāo)的信息。

2 定位算法

得到方程之后，要通過合適的算法來計(jì)算位置參數(shù)(x，y，z)和方向參數(shù)(α，β，γ)。這里，我們選用Levenberg-Marquardt算法。

Levenberg-Marquardt(LM)算法是廣泛應(yīng)用的最優(yōu)化算法，融合了梯度下降法和高斯－牛頓迭代。LM算法的關(guān)鍵是用模型函數(shù)f對(duì)待估參數(shù)向量L在其鄰域做線性近似，忽略掉二階以上的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，從而轉(zhuǎn)化為線性最小二乘問題，它具有收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)。

定義:B為傳感器測得的數(shù)據(jù)，L為目標(biāo)參數(shù)，則

目標(biāo)函數(shù)為B－f(L)，LM算法是要找到最佳的L使上述目標(biāo)函數(shù)為最小，算法過程如下:

對(duì)于很小的‖δL‖，由泰勒展開得:

其中J為雅克比矩陣?f(L)/?L。

LM算法是迭代的，每一步都希望找到一個(gè)δL令

最小，這樣轉(zhuǎn)化為一個(gè)求解線性最小二乘問題。即

解方程即可得到δL。其中JTJ為Hessian矩陣的近似。

為了提高LM算法的收斂速度，令

其中

I為單位矩陣，ui＞0稱為阻尼因子，它可以調(diào)節(jié)迭代的速度，還可以消除N的奇異性。

在最開始迭代的時(shí)候，ui=k［JTJ］ii，k?1 為常數(shù)。當(dāng)前迭代值距離最優(yōu)解遠(yuǎn)的時(shí)候，增大ui使得收斂速度加快;當(dāng)前迭代值距離最優(yōu)解近的時(shí)候，減小ui的值以提高精度。

在迭代過程中，若

則用δL更新L，同時(shí)減小ui的值，進(jìn)入下一次迭代;否則增大ui的值，重新計(jì)算 δL。直至滿足中止條件。

中止條件包括以下:

1:‖JTε‖＜ε1

2:‖δL‖＜ε2

3:‖εTε‖＜ε3

4:count=countmax

其中 ε1ε2ε3為遠(yuǎn)小于 1 的常數(shù)，count為當(dāng)前迭代次數(shù)，countmax為允許的最大迭代次數(shù)。

3 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

考慮到電路中的噪聲和電磁信號(hào)的衰減，為了保證定位的精度，適當(dāng)增加發(fā)射線圈個(gè)數(shù)，并在不同位置放置，保證信號(hào)的接收。由式(12)可知，每增加1個(gè)發(fā)射線圈，可以增加3個(gè)方程。對(duì)此利用MATLAB軟件對(duì)系統(tǒng)做出仿真，找出最適合的發(fā)射線圈個(gè)數(shù)。

圖4 仿真模型

在實(shí)驗(yàn)中，將發(fā)射線圈在同一平面內(nèi)放置，每3個(gè)發(fā)射線圈正交放置在一起，即一組發(fā)射線圈處于同一位置，但角度不同。3組發(fā)射線圈的位置為(0，0，0)(0，1，0)(0.5，0.5，0)，單位為米。9 個(gè)發(fā)射線圈的磁體方向分別為(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1)(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1)(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1)。接收線圈在1 m×1 m×1 m的空間內(nèi)隨機(jī)放置。

首先將接收線圈隨機(jī)放置在一個(gè)位置，然后增加發(fā)射線圈的個(gè)數(shù)，從2個(gè)逐個(gè)增加到9個(gè)，對(duì)應(yīng)的方程從3個(gè)增加到27個(gè)。每增加一個(gè)發(fā)射線圈，通過所得方程組和LM算法計(jì)算接收線圈的位置和角度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5圖6所示。

圖5 位置誤差隨方程數(shù)的變化

圖6 角度誤差隨方程數(shù)的變化

為了驗(yàn)證仿真的準(zhǔn)確性，我們做了進(jìn)一步的仿真。發(fā)射線圈分別取2個(gè)、5個(gè)、9個(gè)，接收線圈在1 m×1 m×1 m的空間內(nèi)隨機(jī)放置，計(jì)算50個(gè)位置下不同方程個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的位置和角度誤差。圖7、圖8為仿真結(jié)果。

圖7 6、15、27組方程的位置誤差，50個(gè)位置

圖8 6、15、27組方程的角度誤差，50個(gè)位置

從仿真實(shí)驗(yàn)中可以發(fā)現(xiàn)隨著方程數(shù)的增加，目標(biāo)位置和方向的精度在不斷提高。仿真的位置誤差平均為0.3 mm，方向誤差0.002弧度。

根據(jù)仿真的結(jié)果，在實(shí)驗(yàn)中我們采用了3組發(fā)射器，每組發(fā)射線圈由3組正交的線圈組成，發(fā)射器的位置和仿真實(shí)驗(yàn)相同。在發(fā)射器中輸入交流信號(hào)，選用研華公司的PCI 1747U采集信號(hào)，信號(hào)經(jīng)過處理校正后利用VC++進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算和方向位置的顯示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，位置誤差平均為1.3 mm，方向誤差平均為0.002 2弧度。圖9、圖10、圖11為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖9 計(jì)算結(jié)果和位置方向顯示

圖10 實(shí)驗(yàn)結(jié)果：位置誤差，30個(gè)位置

圖11 實(shí)驗(yàn)結(jié)果：角度誤差，30個(gè)位置

4 結(jié)論

這里針對(duì)計(jì)算機(jī)輔助骨科手術(shù)提出了電磁定位的方法，基于磁偶極子模型，利用電磁感應(yīng)定律，通過LM算法進(jìn)行計(jì)算，得出目標(biāo)在位置上(x，y，z)和方向上旋轉(zhuǎn)角度(α，β，γ)的信息。仿真結(jié)果顯示，在采取27組方程的情況下可以得到很好的定位精度。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，位置誤差平均為1.3 mm，方向誤差0.001 2弧度。今后將繼續(xù)分析發(fā)射線圈的位置分布和接收線圈的定位范圍，從系統(tǒng)硬件設(shè)計(jì)及磁場模型分布的優(yōu)化等方面來減小誤差和干擾，提高系統(tǒng)精度。

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