劉潤輝

（韶關(guān)市職工大學(xué)，廣東 韶關(guān) 512031）

實(shí)操比賽是數(shù)控技能大賽中最重要的比賽，其單項(xiàng)成績在總成績中占比例最大。隨著參賽選手技能水平的不斷提高，實(shí)操試題的難度也在逐年加大［1］?？v覽歷屆全國數(shù)控車技能大賽，非圓曲線的加工編程是必考的實(shí)操內(nèi)容，而且編程難度在逐漸增大:曲線的幾何造型，已由常見的橢圓、雙曲線、拋物線、正（余）弦曲線擴(kuò)展到了擺線、漸開線等形式;具體形狀，已由最初的正置非圓曲線，逐步過渡到了傾斜非圓曲線。傾斜非圓曲線的首次出現(xiàn)，是在2006年舉辦的第二屆全國數(shù)控車技能大賽教師組的軟件仿真考試中，當(dāng)時僅僅是一道關(guān)于傾斜非圓曲線的宏程序糾錯題，并未要求選手編制完整的宏程序。而現(xiàn)在，傾斜非圓曲線的加工編程已成為數(shù)控車技能大賽的新熱點(diǎn)。

普通數(shù)控車床既沒有非圓曲線插補(bǔ)功能、也沒有旋轉(zhuǎn)指令，使得非圓曲線的加工編程存在一定難度。一般參賽選手都能解決非圓曲線正置時的情形;而對傾斜情形（如圖1），卻普遍感到難度陡增。圖1試件出自2010年廣東省技能大賽某市選拔賽數(shù)控車職工組、學(xué)生高級組的實(shí)操試題。圖中的橢圓及正弦曲線均呈傾斜狀（軸線與數(shù)控車床Z軸均成一定夾角）。這種傾斜非圓輪廓線在數(shù)控銑床（或加工中心）上編程并不難，使用G68坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)指令即可解決問題。但由于數(shù)控車削編程中沒有坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)指令，使試題難度增加。毋庸置疑，非圓曲線的傾斜給參賽選手加工編程帶來了新的考驗(yàn)。

1 加工編程中的數(shù)學(xué)處理

機(jī)械零件輪廓的幾何造型一般由直線、圓弧及非圓曲線組成，其中非圓曲線可以用直線或圓弧去逼近，用等間距（或等弦長或等誤差）等方式進(jìn)行擬合［2］。因此，非圓曲線加工編程離不開一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其中解析幾何、初等代數(shù)特別是三角函數(shù)是最主要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。如果不討論曲線的擬合方式，那么，在傾斜非圓曲線的加工編程中，刀具運(yùn)動軌跡的生成面臨兩個難點(diǎn):一是曲線方程的旋轉(zhuǎn)變換，二是起止點(diǎn)參變量取值范圍的計算。這兩者將共同決定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的遞變規(guī)律。

本文將給出旋轉(zhuǎn)變換公式及逆變換公式解決這兩個難點(diǎn)。

2 常見非圓曲線正置時的參數(shù)方程

圖1中傾斜的橢圓及正弦曲線都可視作正置曲線旋轉(zhuǎn)而成。表1列舉一些常見非圓曲線正置時的方程。所選取的參數(shù)方程，符合數(shù)控車加工的習(xí)慣及經(jīng)驗(yàn)。合理表達(dá)曲線正置時的參數(shù)方程及參數(shù)含義，是傾斜非圓曲線的加工編程中快速進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的基礎(chǔ)。

3 傾斜非圓曲線方程的確定及起止點(diǎn)參變量取值范圍的計算

3．1 旋轉(zhuǎn)變換公式推導(dǎo)及傾斜非圓曲線方程的確定

當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中的任意曲線C繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某個角度α到達(dá)位置C'（呈傾斜狀）時，曲線C上任意一點(diǎn)P與原點(diǎn)的連線段OP也會跟著繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度α，到達(dá)位置 OP'（圖2），且|OP|=|OP'|。其坐標(biāo)變換公式如下所述:

設(shè)曲線上任意一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)為P（x，z），旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為P'（x'，z'），并設(shè)∠POZ=θ，|OP|=|OP'|=l。α為已知的旋轉(zhuǎn)角度。則旋轉(zhuǎn)前坐標(biāo)方程為

旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)方程為

代入即得旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換公式為

若已知旋轉(zhuǎn)前的參數(shù)方程為

代入式（1），即可得旋轉(zhuǎn)后的參數(shù)方程為

如果曲線C旋轉(zhuǎn)之后又平移，只須疊加平移分量x0，z0，便得 C'的參數(shù)方程式為

上述公式，解決了傾斜非圓曲線加工編程中生成刀具運(yùn)動軌跡的第一個難點(diǎn)——傾斜非圓曲線方程（即旋轉(zhuǎn)后的曲線參數(shù)方程）的確定。

3．2 旋轉(zhuǎn)逆變換公式的推導(dǎo)及起止點(diǎn)參變量取值范圍的確定

上述各公式中的參數(shù)t都源自公式（2）。因此，無論平移或旋轉(zhuǎn)，曲線上相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的t值并不改變。所求加工起止點(diǎn)參變量值，實(shí)質(zhì)上就是曲線正置時相應(yīng)點(diǎn)的t值，即公式（2）中相應(yīng)t值。要算此值，關(guān)鍵是要知道起止點(diǎn)旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)x或z。而據(jù)基準(zhǔn)尺寸圖所讀取的起止點(diǎn)坐標(biāo)，是曲線旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)（x'，z'）。因此，需要推導(dǎo)出由旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)P'（x'，z'）計算旋轉(zhuǎn)前的點(diǎn)P（x，z）的逆變換公式。

不妨將曲線C看成由曲線C'繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度－α而成（旋轉(zhuǎn)方向與原來逆向）。故只須將坐標(biāo)變換公式（1）中的角α以－α代替，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，z）為

此即旋轉(zhuǎn)逆變換公式。把（x'，z'）代入公式（5），算得x或z，再返回式（2），就可解得t的值。

公式（5）解決了傾斜非圓曲線加工編程中生成刀具運(yùn)動軌跡的第二個難點(diǎn)——起止點(diǎn)參變量取值范圍的確定。很多參賽選手習(xí)慣通過解三角形來計算t值。但相比之下，上述方法更省時省力，而且適用范圍更廣——無論傾斜曲線以何種復(fù)雜的幾何造型出現(xiàn)，只要知道其正置時的參數(shù)方程，都可據(jù)此公式簡便快捷地確定傾斜曲線上任意一節(jié)點(diǎn)的t值，優(yōu)化了加工編程中的數(shù)學(xué)處理。

注意上述公式中的x值均為半徑編程值。

4 傾斜非圓曲線加工編程中的數(shù)學(xué)處理實(shí)例

（1）以圖1a為例

將橢圓編程坐標(biāo)零點(diǎn)建立在橢圓中心，橢圓z2/a2+x2/b2=1（a＞b＞0）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度α。

第一步:寫出旋轉(zhuǎn)前的參數(shù)方程:

第二步:代入式（1）即得旋轉(zhuǎn)后的曲線方程:

如圖1a，a=15 mm，b=5 mm，α= －10°。代入公式，即可得圖中上部分橢圓輪廓的方程:

若把橢圓編程坐標(biāo)系零點(diǎn)建立在工件右端面中心，則把橢圓中心坐標(biāo)即平移分量x0=12.43 mm，z0=－40 mm疊加上去即可:

實(shí)際編程中，可直接采用方程（6）作為加工曲線方程，平移分量的疊加則可通過另外的變量賦值處理［3］。具體見宏程序 O0001 中 N90、N100。

第三步:為簡便起見，起止點(diǎn)參數(shù)范圍的計算，只須考慮以橢圓中心作零點(diǎn)的情形。因此，須把圖示尺寸換算成下列起止點(diǎn)坐標(biāo):

起點(diǎn):x'=24÷2 －12．43= －0．43，z'= －26．1 －（－40）=13．9;

終點(diǎn):x'=35÷2－12．43=5．07，z'= －40－（－40）=0。

把（x'，z'）的值及α= －10°代入公式（5）中第二式:z=z'cos（－α）－x'sin（－α），算得起止點(diǎn)旋轉(zhuǎn)前的z坐標(biāo):

第四步:再將z值返回到旋轉(zhuǎn)前方程第二式:z=15cost，解得起止點(diǎn)參變量取值范圍:

第五步:根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定加工步長:+0．349 687 5°。

刀具加工的起始角度是23.427 1°，每移動一次轉(zhuǎn)角就增加0.349 687 5°，循環(huán)操作直到轉(zhuǎn)角達(dá)到93.364 6°時結(jié)束。

（2）以圖1b為例（僅說明曲線方程的確定）

將正弦曲線x=Asin［（2π/T）z］繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度α。旋轉(zhuǎn)前的參數(shù)方程為

代入式（1）即得旋轉(zhuǎn)后的曲線方程為

假設(shè)正弦曲線編程坐標(biāo)系零點(diǎn)建立在工件右端面中心。

將 T=24 mm，A=1 mm，α= －16°，x0=18.539÷2=9.269 5 mm，z0=0代入公式，即可得圖中正弦曲線的方程:

需注意的是，在上述各公式中，旋轉(zhuǎn)角α的取值遵循數(shù)學(xué)中角的正負(fù)規(guī)定:當(dāng)曲線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時α取正值，順時針方向旋轉(zhuǎn)時α取負(fù)值。其次，其他任意傾斜曲線的曲線方程及起止點(diǎn)參數(shù)范圍，都可由公式（1）及（5）導(dǎo)出，其數(shù)學(xué)處理技巧是相通的。

5 數(shù)控車床加工傾斜非圓曲線的實(shí)例驗(yàn)證

分別以零件設(shè)計圖1中a、b為例。毛坯材料:45#鋼。數(shù)控車床系統(tǒng):廣數(shù)GSK980TDa。

宏程序清單及說明如下:

加工零件如圖3。

加工零件如圖4。

6 結(jié)語

各級數(shù)控技能競賽及職業(yè)院校的數(shù)控實(shí)訓(xùn)教學(xué)都更為強(qiáng)調(diào)和重視宏程序的應(yīng)用。宏程序教學(xué)已成為職業(yè)院校的重要實(shí)訓(xùn)項(xiàng)目之一。

數(shù)控車加工宏程序的編制，不僅要具備相應(yīng)的工藝知識和經(jīng)驗(yàn)，以確定合理的刀具、走刀方式;同時還應(yīng)具有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，才能設(shè)計出精確的刀具運(yùn)動軌跡，編寫出高質(zhì)高效的加工程序［4］。要在沒有旋轉(zhuǎn)指令的普通數(shù)控車床上實(shí)現(xiàn)傾斜非圓曲線的擬合加工，其數(shù)學(xué)處理尤為重要。在同一擬合方式下，數(shù)學(xué)處理的關(guān)鍵在于解決兩點(diǎn):一是傾斜非圓曲線參數(shù)方程的建立;二是方程式中參數(shù)取值范圍即加工起止點(diǎn)的參變量范圍的確定。文中給出的旋轉(zhuǎn)變換公式（1）及逆變換公式（5），分別快捷有效地解決了這兩個問題。

［1］南方網(wǎng)．聚焦廣東省職業(yè)技能大賽［EB/OL］．南方網(wǎng)，2010．8．24．

［2］金福吉．第二屆全國數(shù)控技能大賽實(shí)操試題點(diǎn)評［EB/OL］．中國就業(yè)網(wǎng)，2009．7．2．

［3］王禾玲．?dāng)?shù)控加工刀具運(yùn)動軌跡的研究［D］．咸陽:西北農(nóng)林科技大學(xué)，2006．

［4］宋兆沛．?dāng)?shù)控加工程序編制中非圓曲線節(jié)點(diǎn)的計算［J/OL］．中國數(shù)控機(jī)床網(wǎng)，2008．2．27．

［5］楊琳．?dāng)?shù)控車床加工工藝與編程［M］．2版．北京:勞動出版社，2009．

［6］陳海舟．?dāng)?shù)控銑削加工宏程序及應(yīng)用實(shí)例［M］．2版．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2008．