康文龍 李琳琳

（遼寧工程技術(shù)大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧阜新 123000）

深溝球軸承摩擦系數(shù)小并且極限轉(zhuǎn)速高，尺寸和形式變化多樣，堅實耐用，通用性強，運行時噪聲較低，常用于煤礦機械、各種機床、汽車、摩托車、精密儀表、低噪聲電機等一般機械中，是機械工業(yè)中應(yīng)用最為廣泛的一類軸承。深溝球軸承主要用來承受徑向載荷，也可承受一定的軸向載荷。當(dāng)深溝球軸承受到一定的徑向載荷時，滾動體由于剛性原因會發(fā)生變形，從而引起轉(zhuǎn)軸與軸承座即殼體產(chǎn)生相對位移，輕則影響傳動精度，重則會導(dǎo)致噪聲、震動，甚至損壞機械。本文即利用有限元分析軟件和接觸理論對受一定徑向載荷的軸承進(jìn)行應(yīng)力和剛度分析，對深溝球軸承的認(rèn)識與應(yīng)用有極其重要的作用，首先可以更好地了解深溝球軸承的接觸變形特性，在進(jìn)行機械設(shè)備設(shè)計中更準(zhǔn)確地選擇軸承的規(guī)格型號;其次通過深入了解軸承的接觸變形性能，可以更好地對運行中的軸承進(jìn)行維護(hù)，提高其使用壽命和運行可靠性;第三，可以利用此分析方法對各種類型軸承的接觸變形性能進(jìn)行分析，以便更精確的選用和維護(hù)，并不局限于本文所選的國標(biāo)軸承。

1 深溝球軸承的接觸應(yīng)力分析

1．1 深溝球軸承建模［1－2］

本文的研究對象是材料為GCr15軸承鋼的深溝球軸承，型號6248，內(nèi)徑 d=240 mm，外徑 D=440 mm，寬度B=72 mm，裝配倒角不小于4 mm，滾動體數(shù)Z=15，彈性模量 E=2．1 ×1011Pa，泊松比μ=0.3。然后利用布爾運算命令并用自底向上法和自頂向下法，建模如圖1所示。

1．2 模型的網(wǎng)格劃分和創(chuàng)建接觸對

實體建模是為了劃分網(wǎng)格以生成節(jié)點和單元，包括定義單元屬性和網(wǎng)格生成控制并生成網(wǎng)格。在單元庫中選用SOLID45為實體單元，材料屬性中彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比PRXY=0.3，摩擦因數(shù) MU=0.2，先利用命令（SWEEP）對內(nèi)圈和外圈進(jìn)行網(wǎng)格劃分，使深溝球軸承內(nèi)外圈劃分網(wǎng)格，然后對滾動體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并把軸承可能接觸的部分進(jìn)行細(xì)化（REFINE），劃分過后軸承的網(wǎng)格如圖 2 所示［3－4］。

再利用ANSYS接觸導(dǎo)向?qū)⒔佑|軸承內(nèi)圈的外滾道溝曲面與滾動體的球面設(shè)置為接觸對，使軸承內(nèi)圈的弧面為接觸面，滾動體的球面為目標(biāo)面;將接觸軸承外圈的內(nèi)滾道溝曲面與滾動體的球面設(shè)置為接觸對，使軸承外圈的弧面為接觸面，滾動體的球面為目標(biāo)面。接觸類型為柔體與柔體的面面接觸，如圖3、圖4所示。

1．3 邊界條件與載荷

ANSYS面－面接觸單元使用GAUSS積分點作為接觸檢查點的缺省值，它使Newton－Cotes節(jié)點積分項產(chǎn)生更精確的結(jié)果。定義邊界條件及施加載荷。根據(jù)軸承實際的工作情況和計算載荷的特點，邊界條件為:在柱坐標(biāo)系下（X向表示半徑、Y向表示圓心角、Z向表示軸向），約束深溝球軸承的外圈的外表面在X，Y，Z三個方向的自由度。徑向載荷通過軸作用于內(nèi)圈，位于上半圈的滾動體基本不受力，下半圈的滾動體將載荷傳到外圈，滾動體上的載荷沿圓周變化。鑒于深溝球軸承主要工作環(huán)境和本文研究的重點及計算工作的簡化，建模中作出2個假設(shè):①軸承的初始間隙為零;②軸承只承受徑向載荷，載荷沿內(nèi)圈線性變化，y=0°處載荷最大，y=90°處載荷為零。加載后的軸承模型如圖5所示，軸承所加載荷應(yīng)力如圖6。

1．4 應(yīng)力求解和結(jié)果分析

對于非線性問題ANSYS的方程求解器，采用帶校正的線性近似來解。它將載荷分成一系列的載荷向量，可以在幾個載荷步內(nèi)或者一個載荷步的幾個子步內(nèi)施加。ANSYS使用牛頓－拉普森平衡迭代的算法，迫使在每個載荷增量的末端解達(dá)到平衡收斂。每次求解前，完全的NR方法估算出殘差矢量，這個矢量是回復(fù)力（對應(yīng)于單元應(yīng)力的載荷）和所加載荷的差值，然后使用非平衡載荷進(jìn)行線性求解，且核查收斂性。如果不滿足收斂準(zhǔn)則，重新估算非平衡載荷，修改剛度矩陣，獲得新解直到問題收斂。本文采用一個載荷步（其他均用缺省值）進(jìn)行靜力學(xué)分析。計算結(jié)果可由深溝球軸承的接觸應(yīng)力等值線圖表示，最大應(yīng)力為3 833 Pa，我們可以清晰地從圖7中看到，在軸承的正下方的滾珠和與之相連接處受力最大，而真實的情況也是最容易在這個地方發(fā)生破壞。

2 深溝球軸承的剛度分析

2．1 Hertz 橢圓形點接觸理論［5］

Hertz求解點接觸的兩物體接觸應(yīng)力與變形時，假設(shè)在外力Q的作用下，接觸點將變形放大進(jìn)而形成一個平面，該接觸面在兩物體接觸點公法線方向上垂直投影所得為橢圓，其長軸和短軸分別為2a和2b，在接觸面內(nèi)接應(yīng)力為半圓分布。由Hertz理論知道，如果Q通過接觸點公法線，則物體趨近于受力方向的變形量為

其中:A和B分別為第一、第二類完全橢圓積分;∑ρ為主曲率和;E1和E2分別為物體1和2的彈性模量;V1和V2分別為物體1和2的泊松比。

2．2 深溝球軸承徑向負(fù)荷作用變形量分析

本文的目的在于分析滾動體和內(nèi)圈、外圈的剛度即變形量，故要假設(shè)軸承座或殼體與轉(zhuǎn)軸均為剛性體，內(nèi)圈與轉(zhuǎn)軸無間隙緊密接觸，外圈與軸承座或殼體無間隙緊密接觸，亦即內(nèi)、外圈無變形，緊隨著滾動體的變形而使相對曲率中心發(fā)生位移，當(dāng)某一個滾動體處于軸正下方時，軸承內(nèi)圈與外圈的滾道溝曲率中心距離為L，軸承受載荷時滾動體變形，而曲率中心隨著滾動體的變形會發(fā)生上、下移動［6］（如圖8、圖9所示）。

軸承在受到徑向載荷時，雖然只有滾動體發(fā)生變形，但是與之接觸的內(nèi)圈和外圈卻在位置上會發(fā)生變動，結(jié)果是受載荷的轉(zhuǎn)軸軸心相對于軸承座或整個殼體位置發(fā)生變動，最大變動量如圖9中內(nèi)外圈滾道溝曲率中心的變形位移量μ1和μ2，因此在公法線方向上總的變形量為

其中:Q1和Q2分別為內(nèi)圈、外圈與滾動體接觸作用力;Eb、E1和E2分別為滾動體、內(nèi)圈和外圈的彈性模數(shù);Vb、V1和V2分別為滾動體、內(nèi)圈和外圈的泊松比。

在6248 軸承中，（∑ρ）1=0.045 2，對應(yīng)=0.962 3，（∑ρ）2=0.033 4，對應(yīng)=0.976 0，彈性模量Eb=E1=E2=2.1×1011Pa，泊松比 Vb=V1=V2=0.3。得到μ1=Q12/3× 0.093 μm，μ2=Q22/3×0.109 μm。當(dāng) Q1=Q2=300 N 時，μr=μ1+μ2=9.1 μm。

用積分法將上述特殊位置的變形延伸至處于各個位置的滾動體，可得到整個軸承的徑向剛度。設(shè)滾動體與內(nèi)外圈接觸點公法線和軸承豎直方向所成角度為φ，當(dāng)公法線向右偏時為正。當(dāng)φ=0°時，軸承內(nèi)外圈發(fā)生最大徑向偏移μmax，因初始軸承間隙為零，故有μmax=μr，如圖10 所示有:

滾動體受到內(nèi)外圈的大小相等、方向相反的外力，根據(jù)式（4）、（5），所以有

當(dāng)軸承處于靜力平衡時，負(fù)荷Fr等于軸承內(nèi)外圈與滾動體接觸作用力總和:

用積分形式表達(dá)即為

軸承剛度定義為當(dāng)軸承承受一定外力作用時，為抵抗外力而產(chǎn)生的變形位移，用外力的改變量與相對變形位移量的比值表示:

對6248軸承，當(dāng)初始間隙為零時，只有受載方向的8顆滾動體受力，此時可以得到

當(dāng)轉(zhuǎn)軸受到向下的徑向載荷100 kN時，位于正下方的滾動體受到最大力54 645 N，而處于兩側(cè)各個角度的滾動體受力如表1所示。

表1 滾動體處于不同角度時所受力

利用MATLAB對上述12組數(shù)據(jù)進(jìn)行基于二次樣條函數(shù)的一類保形擬插值，得到滾動體所受載荷與滾動體所處角度之間的函數(shù)曲線（圖11）。

根據(jù)上述結(jié)果可以得到不同徑向載荷下軸承的徑向變形量和相對徑向剛度（表2）。

表2 不同徑向載荷下軸承的徑向變形量和相對徑向剛度

利用MATLAB對上述8組數(shù)據(jù)進(jìn)行基于二次樣條函數(shù)的一類保形擬插值，得到Fr和μr及Fr和Kr曲線圖（圖12、13）。從圖中可以看出，隨著軸承所受載荷越來越大，變形量會越來越大，但變化幅度有減小的趨勢，而剛度變化的幅度也會越來越小。

3 結(jié)語

相對于一些分析方法，如獨立的仿真軟件應(yīng)力云圖法結(jié)果只是用圖形定性或估量表述軸承的接觸變形，不夠精確;還有的方法如古典數(shù)值法、邊界元等現(xiàn)代數(shù)值法，結(jié)果精度雖與牛頓－拉普森和Hertz理論相差不大，但過程比較繁瑣。在本文所述的方法里，只要掌握了牛頓－拉普森有限元接觸分析方法和研究對象的變形方式，就很容易更精確、有效、實用可靠地進(jìn)行分析，更便于工程運用［7］:

（1）當(dāng)深溝球軸承只受到向下的徑向負(fù)荷作用時，處于軸承正下方的滾動體受到的應(yīng)力和壓強最大，而兩側(cè)滾動體則按一定規(guī)律遞減;軸承的徑向變形量和剛度會隨著徑向負(fù)荷的增加而增加，但是增加的幅度會逐漸減小。

（2）當(dāng)負(fù)荷達(dá)到額定值時，我們可以得到軸承的最大徑向變形量，可作為轉(zhuǎn)軸設(shè)計和軸承選用時的參考依據(jù)。根據(jù)本文差值結(jié)果，在知道所受徑向負(fù)荷時，可以知道軸承的變形情況，進(jìn)而根據(jù)變形情況在設(shè)計或計算裝配軸承和轉(zhuǎn)軸時做好預(yù)設(shè)，以減小轉(zhuǎn)軸工作時的誤差;同時，當(dāng)知道對軸承施加某應(yīng)力引起的變形情況時，可以反推得到軸承所受力的大小，在應(yīng)力接近額定值時對工作環(huán)境和條件進(jìn)行調(diào)整，以延長軸承工作壽命，提高工作效率。

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