孫宜標(biāo) 劉春麗 王麗梅

（沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110870）

環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)是為直接驅(qū)動(dòng)而設(shè)計(jì)的一種三相永磁同步電動(dòng)機(jī)，具有直徑/長(zhǎng)度比很大、極數(shù)多的特點(diǎn)［1］。在采用環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)直接驅(qū)動(dòng)復(fù)合A/C軸的伺服系統(tǒng)中，由于受到電動(dòng)機(jī)對(duì)最大電流、發(fā)熱等因素的限制，從而導(dǎo)致輸入飽和現(xiàn)象。輸入飽和可導(dǎo)致控制輸入與被控對(duì)象實(shí)際輸入不等，進(jìn)而引起系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)變差，甚至引起系統(tǒng)不穩(wěn)定［2］。為保證伺服系統(tǒng)可靠運(yùn)行，在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中必須考慮輸入飽和問(wèn)題。

文獻(xiàn)［3］通過(guò)求解一個(gè)參數(shù)化的Lyapunov方程，設(shè)計(jì)了低增益控制器保證系統(tǒng)半局穩(wěn)定，但該控制器使得系統(tǒng)收斂速度慢且收斂域小;文獻(xiàn)［4－5］設(shè)計(jì)了低－高增益混合控制器使系統(tǒng)全局穩(wěn)定且有較大的收斂域;文獻(xiàn)［6－7］采用抗飽和補(bǔ)償器來(lái)減小輸入飽和對(duì)系統(tǒng)的影響。以上方法主要針對(duì)精確已知的系統(tǒng)，而環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中存在的非線(xiàn)性、參數(shù)變化以及不可預(yù)知的外部擾動(dòng)等因素明顯影響系統(tǒng)的伺服性能。因此，在處理系統(tǒng)輸入飽和時(shí)，考慮這些因素具有實(shí)際意義。針對(duì)該問(wèn)題，文獻(xiàn)［8］結(jié)合飽和函數(shù)和自適應(yīng)魯棒控制器［9］（ARC，A-daptive Robust Controller）實(shí)現(xiàn)良好的伺服性能。

本文針對(duì)復(fù)合A/C軸環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中由于輸入飽和造成的伺服性能下降問(wèn)題，基于反步法設(shè)計(jì)了飽和自適應(yīng)魯棒控制位置控制器，即設(shè)計(jì)一個(gè)虛擬控制律保證誤差信號(hào)在每一步都收斂且有界。在控制器設(shè)計(jì)中構(gòu)建非降函數(shù)處理執(zhí)行器飽和，將控制輸入限制在飽和范圍內(nèi);對(duì)參數(shù)不確定性，用不連續(xù)投影算法進(jìn)行在線(xiàn)參數(shù)估計(jì)。該方法不僅使伺服系統(tǒng)在無(wú)輸入飽和情況下具有較好的伺服性能，且在輸入飽和情況下也能實(shí)現(xiàn)良好的跟蹤性能。

1 環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型

圖1為環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)直接驅(qū)動(dòng)復(fù)合A/C軸示意圖，該電動(dòng)機(jī)作為一種特殊的永磁同步電動(dòng)機(jī)，具有直徑/長(zhǎng)度比較大，轉(zhuǎn)軸中空，轉(zhuǎn)子呈薄環(huán)狀和極數(shù)多等特點(diǎn)，保證了電動(dòng)機(jī)運(yùn)行時(shí)慣量小且能產(chǎn)生大轉(zhuǎn)矩等優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)只考慮基波分量時(shí)，可采用d－q軸系下的模型，令電流內(nèi)環(huán)d軸電流分量id=0，使定子電流矢量和永磁體磁場(chǎng)在空間上正交，則復(fù)合A/C軸永磁環(huán)形力矩電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)方程為:

式中，J為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ω為轉(zhuǎn)子的電角速度;Te和Tc分別為電動(dòng)機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩;B為粘滯摩擦系數(shù);d為外部擾動(dòng)。

電動(dòng)機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩可寫(xiě)成

其中:KT是轉(zhuǎn)矩系數(shù);iq為電動(dòng)機(jī)q軸電流。

齒槽轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)子位置θ相關(guān)，表達(dá)式為［10］:

其中:Ti為i次諧波的齒槽轉(zhuǎn)矩峰值;Nc為定子齒數(shù)與極數(shù)的公倍數(shù);Ksk為電動(dòng)機(jī)斜槽系數(shù)。

齒槽轉(zhuǎn)矩Tc以基波為主要影響因素，設(shè)

其中:Ac為未知量;Sc（θ）為齒槽轉(zhuǎn)矩基波的形態(tài)函數(shù)。

令狀態(tài)變量 x=［θ，ω］T=［x1，x2］T，則伺服系統(tǒng)狀態(tài)方程為

其中u=KTiq/J為控制輸入。

2 飽和自適應(yīng)魯棒控制器設(shè)計(jì)

2．1 模型變換與條件假設(shè)

在復(fù)合A/C軸的工件加工中，外部擾動(dòng)d=d1+，其中d1為負(fù)載擾動(dòng)為未建模不確定性。d1是系統(tǒng)外部擾動(dòng)中最主要的因素。則根據(jù)式（5）可得

實(shí)際系統(tǒng)中，參數(shù)J、B、Ac和 d均有界，且邊界已知或可測(cè)，故做如下假設(shè):

假設(shè)1:

其中ξmin=［ξ1min，…，ξ4min］T，ξmax=［ξ1max，…，ξ4max］T且ξmin，ξmax和δdj是已知的。

假設(shè)2:

其中ubd是控制輸入u（t）的邊界值。

2．2 飽和ARC控制器設(shè)計(jì)

飽和ARC的設(shè)計(jì)目標(biāo)是:在滿(mǎn)足式（7）、（8）和（9）的條件下，所設(shè)計(jì)飽和ARC控制律使得系統(tǒng)全局穩(wěn)定且輸出誤差

盡可能小。其中，x1d（t）為x1的期望跟蹤軌跡。

基于標(biāo)準(zhǔn)反步法設(shè)計(jì)飽和ARC控制律。首先對(duì)x2構(gòu)建一個(gè)有界虛擬控制函數(shù)α1，使得當(dāng)x2=α1時(shí)系統(tǒng)輸出跟蹤誤差z1收斂到零。

則有

虛擬控制函數(shù)α1給出如下:

其中:σ1（z1）是關(guān)于z1的飽和函數(shù)，該函數(shù)是平滑非降的且滿(mǎn)足以下條件:

（i）如果|z1|＜L11，則有σ1（z1）=k1z1

其中:L11＞0，L12＞0，k1＞0和M1＞0是設(shè)計(jì)參數(shù)，則函數(shù)σ1（z1）如圖2所示。

合并式（12）和式（13）得

其中，當(dāng)z2=0時(shí)，z1趨近于零。

由式（11）和（13）可知

令u=ua+us，其中ua為自適應(yīng)控制項(xiàng)，用來(lái)補(bǔ)償模型已知?jiǎng)討B(tài)以實(shí)現(xiàn)良好的跟蹤性能;us為魯棒控制項(xiàng)，用以抑制不確定性對(duì)系統(tǒng)性能的影響。為保證控制輸入u有界，ua和us必須有界。

由于 ua必須有界，則φT（x）=［－x2，Sc（x1），－1］T可以寫(xiě)成φT（x）=［－z2，0，0］T+［－α1，－Sc（x1），－1］T=φaT（x）+φbT（x），其中φaT（x）在突加強(qiáng)干擾的情況下是無(wú)界的，φbT（x）顯然有界。自適應(yīng)控制項(xiàng)ua為

其中^ξ為ξ的估計(jì)值。

參數(shù)向量^ξ通過(guò)以下不連續(xù)投影參數(shù)估計(jì)算法給出

對(duì)于任何自適應(yīng)函數(shù)τ，不連續(xù)投影參數(shù)估計(jì)算法（17）可以保證以下條件成立:

則式（16）可寫(xiě)成

將式（20）代入式（15），可得

為使z2有界，由式（21）可知，魯棒控制項(xiàng)us必須克服（?σ1/?z1）z2和參數(shù)不確定性的影響。對(duì)z2構(gòu)建一個(gè)飽和函數(shù)，令us=－σ2（z2），其中σ2（z2）滿(mǎn)足以下條件:

（i）如果|z2|＜L21，則有?σ2/?z2=k21

（ii）z2σ2＞0，?z2≠0

（iii）如果 L21≤|z2|≤L22，則有?σ2/?z2=k22＞ k21且σ2（L22）=M2，σ2（－L22）=－M2

（iv）若 |z2|≥L22，則|σ2（z2）|≥M2

其中:L21＞0，L22＞0，k21＞0，k22＞0和M2＞0是設(shè)計(jì)參數(shù)，飽和函數(shù)σ2（z2）如圖3所示。故控制輸入為

系統(tǒng)在無(wú)外部擾動(dòng)情況下運(yùn)行時(shí)，采用適中的增益k21使得系統(tǒng)響應(yīng)速度較快，跟蹤誤差跟蹤較小且對(duì)較小參數(shù)不確定性具有魯棒性;當(dāng)系統(tǒng)受到較大外部擾動(dòng)時(shí)，瞬態(tài)跟蹤誤差變大，采用更大的增益k22減小跟蹤誤差，提高抑制干擾的能力;當(dāng)系統(tǒng)受到極大的擾動(dòng)時(shí)，遠(yuǎn)離正常工作區(qū)域，即|z2|?L22，σ2是一常數(shù)保證系統(tǒng)狀態(tài)在執(zhí)行器的物理限制范圍內(nèi)，當(dāng)該干擾消失，系統(tǒng)回到原狀態(tài)。飽和自適應(yīng)魯棒控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

其中，θd為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子期望位置，θ為實(shí)際位置輸出。首先由式（13）構(gòu)造出虛擬控制函數(shù)α1，再通過(guò)實(shí)際輸入誤差z2由式（17）進(jìn)行在線(xiàn)參數(shù)估計(jì)，然后根據(jù)式（16）求得自適應(yīng)控制項(xiàng)ua，最后由式（22）得出控制輸入u。

3 仿真結(jié)果及分析

以德國(guó)CyTec公司的R166/100型環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)為例，參數(shù)如下:額定轉(zhuǎn)矩Ten=232 N·m，轉(zhuǎn)矩系數(shù)KT=9.4 N·m/A，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=0.205 kg·m2，額定電流In=42.1 A，粘滯摩擦系數(shù)B=0.09 N·m·rad/s，極對(duì)數(shù) p=15，電動(dòng)機(jī)槽數(shù) Q=36。采用MATLAB7．1進(jìn)行仿真。

根據(jù)環(huán)形力矩電動(dòng)機(jī)模型，照上述方法設(shè)計(jì)飽和ARC控制器，得到參數(shù)如下:k1=4 100，M1=0.05，L11=10 ×10－6rad，k21=5 500，k22=6 200，L12=22 ×10－6rad，L21=0.025，L22=0.3，M2=320，Г=diag{0.2，0.1，0.5，5 000}，齒槽轉(zhuǎn)矩為T(mén)c=6sin（180x1）N·m，給定軌跡為θd=0.5sin（2πt）rad。為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的性能，設(shè)環(huán)形力矩電動(dòng)機(jī)所承受電流極限值為60 A。

圖5和圖6分別是ARC和飽和ARC控制系統(tǒng)在d=0 N·m和d=350 N·m時(shí)的位置跟蹤響應(yīng)曲線(xiàn)。由圖可以看出，當(dāng)系統(tǒng)處于正常工作范圍內(nèi)，飽和ARC控制器可實(shí)現(xiàn)良好的跟蹤性能和抗干擾性能。

由于復(fù)合A/C軸環(huán)形力矩電動(dòng)機(jī)受到極大擾動(dòng)時(shí)，為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)飽和ARC的性能，在t=2 s時(shí)，突加d=650 N·m的擾動(dòng)，持續(xù)時(shí)間為0.2 s，采用ARC控制器和飽和ARC控制器的位置跟蹤誤差曲線(xiàn)分別如圖7和圖8所示。仿真結(jié)果表明，當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)輸入飽和情況時(shí)，自適應(yīng)魯棒控制系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定情況，而所設(shè)計(jì)的飽和ARC控制器可最終實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)跟蹤。出現(xiàn)輸入飽和時(shí)，伺服系統(tǒng)q軸電流曲線(xiàn)如圖9所示。

4 結(jié)語(yǔ)

為使伺服系統(tǒng)復(fù)合A/C軸環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)在實(shí)際中可靠運(yùn)行，除考慮自身參數(shù)變化、外部擾動(dòng)以及齒槽轉(zhuǎn)矩等不確定性因素的影響外，也須對(duì)強(qiáng)擾動(dòng)引起的輸入飽和問(wèn)題進(jìn)行處理。本文針對(duì)直接驅(qū)動(dòng)復(fù)合A/C軸環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)，結(jié)合反步法和自適應(yīng)魯棒算法設(shè)計(jì)了飽和自適應(yīng)魯棒控制器。控制器包括魯棒項(xiàng)和自適應(yīng)項(xiàng)，魯棒項(xiàng)設(shè)計(jì)中構(gòu)建飽和函數(shù)保證控制輸入在飽和范圍內(nèi);自適應(yīng)項(xiàng)通過(guò)采用不連續(xù)投影算法對(duì)不確定性進(jìn)行估計(jì)以實(shí)現(xiàn)良好的跟蹤性能。仿真結(jié)果和分析表明，所設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)了伺服系統(tǒng)在有無(wú)飽和情況下均能達(dá)到良好伺服性能的雙重目標(biāo)，滿(mǎn)足了高精度直接驅(qū)動(dòng)復(fù)合A/C軸伺服系統(tǒng)的要求。

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