翟龍余

（江蘇財(cái)經(jīng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 淮安 223001）

一級(jí)倒立擺仿真模型的建立

翟龍余

（江蘇財(cái)經(jīng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 淮安 223001）

針對(duì)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)，首先利用牛頓力學(xué)的知識(shí)建立了數(shù)學(xué)模型，然后利用Simulink及其封裝功能建立了倒立擺系統(tǒng)的仿真模型，使模型更具靈活性，給仿真帶來(lái)很大方便。

倒立擺；數(shù)學(xué)模型；仿真模型

倒立擺系統(tǒng)是研究控制理論的一種典型實(shí)驗(yàn)裝置，具有成本低廉，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，物理參數(shù)和結(jié)構(gòu)易于調(diào)整的優(yōu)點(diǎn)，是一個(gè)具有高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)藕合特性的不穩(wěn)定系統(tǒng)。在控制過(guò)程中，它能有效地反映諸如可鎮(zhèn)定性、魯棒性、隨動(dòng)性以及跟蹤等許多控制中的關(guān)鍵問(wèn)題，是檢驗(yàn)各種控制理論的理想模型。本文以一級(jí)倒立擺為例，首先建立了倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，最終利用simulink建立其仿真模型。

1 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

經(jīng)過(guò)小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素，如忽略了空氣阻力、系統(tǒng)內(nèi)部的摩擦，不考慮構(gòu)件的變形，則可以將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。這是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典牛頓力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。[1]

圖1 倒立擺系統(tǒng)

各參數(shù)符號(hào)含義如下：

符號(hào) 含義單位M 小車質(zhì)量kg m 擺桿質(zhì)量kg b 小車摩擦系數(shù)N/m/sec l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 m I 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量kg*m2 F 加在小車上的力N x 小車位置m擺桿與垂直向上方向的夾角 rad

圖2是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖，其中，N 和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直兩個(gè)方向的分量。矢量正方向如圖2所示。

圖2 小車與擺桿的受力分析

小車作平動(dòng)，由小車的水平受力分析，可以得到以下方程：

擺桿作平面運(yùn)動(dòng)，可分解為質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)，由水平方向的受力分析，可以得到下式：

代入（1）式得：

再由擺桿的垂直方向的受力分析,得到下式:

又由擺桿對(duì)質(zhì)心的力矩平衡方程有:

整理得:

在 與 1（單位是弧度）相比很小，即 <<1時(shí)，則可以進(jìn)行近似處理： cos ≈ 1，sin ≈ ˙≈0。用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力 F，線性化后得到兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：

可解得：

經(jīng)整理后得到倒立擺的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)化形式如下：

2 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的仿真模型

Simulink是Matlab最重要的組件之一，它提供一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。在該環(huán)境中，可以構(gòu)造出復(fù)雜的仿真模型，下文根據(jù)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，利用 Simulink的封裝功能，構(gòu)建了倒立擺系統(tǒng)仿真模型子系統(tǒng)。[2]

根據(jù)倒立擺的數(shù)學(xué)模型即表達(dá)式(9)，在Matlab中，用Simulink構(gòu)建一級(jí)倒立擺模塊 SingleInvPend,具體步驟如下：

（1）雙擊Matlab圖標(biāo)，啟動(dòng)Matlab，在工具欄中雙擊Simulink圖標(biāo)啟動(dòng)Simulink 模塊庫(kù)瀏覽器窗口，然后再單擊其工具欄中的新建（creat a new mode）圖標(biāo)，新建一個(gè)Simulink模型窗口。

（2）從Simulink模塊庫(kù)瀏覽器的菜單Simulink的子菜單端口和子系統(tǒng)模塊（Port & Subsystems）下選中子系統(tǒng)Subsystem,并用左鍵拖入到新建的Simulink模型窗口中。左擊系統(tǒng)框圖下字符串“Subsystem”，刪除后輸入“SingleInvPend”，實(shí)現(xiàn)子系統(tǒng)的重新命名。結(jié)果如圖3。

圖3 SingleInvPend模塊

圖4 SingleInvPend模塊

（3）雙擊圖3中的SingleInvPend模塊，從Port &Subsystems下在拖出三個(gè)輸出模塊out，把一個(gè)輸入模塊和四個(gè)輸出模塊分別重新命名為：u和 x 、x'、 a 、a',分別代表系統(tǒng)的輸入向量u和輸出向量 x、x˙、 、˙（Matlab中不支持公式編輯器和希臘字母）。結(jié)果如圖4。

（4）雙擊SingleInvPend模塊，然后從Simulink下子菜單“用戶自定義函數(shù)模塊”（User-Defined Functions）中拖出Fcn子模塊，單擊Fcn子模塊下的Fcn，刪除Fcn重新命名為K1；再雙擊Fcn子模塊并將對(duì)話框中的“Expression”中的內(nèi)容修改為：[ -4*b /(4*M +m1)]*u，然后按OK，這就定義好了K1。(說(shuō)明：由于matlab子系統(tǒng)的變量名是不區(qū)分大小寫，所以數(shù)學(xué)模型中的擺桿的質(zhì)量m在matlab中用m1代替)

（5）重復(fù)步驟4）依次定義K2、K3、K4、K5、K6。

（6）在窗口中再加入四個(gè)積分模塊和兩個(gè)加法模塊，雙擊四個(gè)積分模塊，把“Initial condition”下的內(nèi)容分別修改為“init_cond(1)、init_cond(2)、init_cond(3)、init_cond(4)”。它們表示倒立擺的系統(tǒng)的初始條件。

（7）把所有模塊按公式（9）的運(yùn)算關(guān)系連結(jié)起來(lái)，得到子系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖，如圖5所示。

（8）利用 Simulink的 Mask功能進(jìn)行封裝。右擊SingleInvPend模塊，選擇Mask Subsystem（封裝子系統(tǒng)）菜單，彈出子系統(tǒng)封裝對(duì)話框，點(diǎn)擊Parmeters標(biāo)簽，在參數(shù)對(duì)話框中，依次添加 init_ cond 、M、M1、l、b、g等各參數(shù)變量，結(jié)果如圖6。

圖5 子系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)

圖6 子系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)簽

圖7 封裝后的參數(shù)設(shè)計(jì)

3 結(jié)束語(yǔ)

在倒立擺仿真控制時(shí)，有時(shí)需要了解不同的初始狀態(tài)下控制系統(tǒng)的響應(yīng)，或者要了解系統(tǒng)在其他參數(shù)情況下的控制系統(tǒng)的響應(yīng)，這時(shí)我們只要重新雙擊封裝后的子系統(tǒng)模型，再重新輸入新的參數(shù)值即可，從而使模型更具靈活性，給仿真帶來(lái)很大方便。

[1] 固高科技（深圳）有限公司編著.倒立擺與自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)[M].2005,24-27.

[2] 王正林,王勝開,陳國(guó)順.MATLAB/Simulink與控制系統(tǒng)仿真[M].北京:電子工業(yè)出版社,2005.7:44-77.

Building the Simulation Model of an Inverted Pendulum

Zhai Longyu
( Jiangsu Finance and Economics College , Huai’an Jiangsu , China 223003)

This paper aims at an inverted pendulum system. It argues, after building a mathematical model on the basis of Newtonian mechanics, we can use Simulink and its MASK function to establish a simulation model of an inverted pendulum system,which can make the model more flexible and bring more convenience to the simulation.

inverted pendulum; mathematical model; simulation model

N945.12

B

1008-1151(2011)08-0268-03

2011-04-17

翟龍余（1966－），男，江蘇姜堰人，江蘇財(cái)經(jīng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部副教授，碩士，從事高等數(shù)學(xué)與matlab應(yīng)用教學(xué)。