袁麗君，姚天祥

（南京信息工程大學經濟管理學院，南京210044）

幾類變權強化緩沖算子的構造方法

袁麗君，姚天祥

（南京信息工程大學經濟管理學院，南京210044）

文章基于沖擊擾動系統(tǒng)的概念，引入了變權強化算子，以便于控制緩沖算子的作用強度；討論了緩沖算子的內部關系，發(fā)現(xiàn)了緩沖算子大小與作用強度的關系并證明其正確性，解決了傳統(tǒng)緩沖算子作用強度過強或者過弱的問題，也解決了當系統(tǒng)行為數(shù)據序列前一部分增長（衰減）過慢后一部分增長（衰減）過快時定性分析與定量預測不符的問題；最后通過實例證明了緩沖算子的有效性和實用性。

緩沖算子；強化算子；灰色模型；GM（1，1）模型；變權緩沖

0 引言

在科學預測過程中，定量研究結果與定性分析預測會出現(xiàn)出入很大的情況，而這些情況的發(fā)生并不是在于模型的優(yōu)劣，而是由于系統(tǒng)本身受到某些沖擊波的干擾而使系統(tǒng)行為數(shù)據失真。通常，沖擊擾動因素對數(shù)據序列的干擾可分為兩類：第一類是加快數(shù)據的發(fā)展趨勢或使數(shù)據序列的振蕩變幅度變大；第二類是減緩數(shù)據的發(fā)展趨勢或使數(shù)據序列的振蕩變幅度變小[3]。一旦通過某種方式尋找出系統(tǒng)行為數(shù)據的內在規(guī)律，就能成功解決定量研究結果與定性分析預測出入很大的問題?；疑到y(tǒng)通過對原始數(shù)據的挖掘、整理來尋求其變化規(guī)律，這種就數(shù)據尋找數(shù)據的現(xiàn)實規(guī)律的途徑被稱為灰色序列生成[2]。通過灰色序列的生成弱化系統(tǒng)行為數(shù)據的隨機性，得出規(guī)律性的數(shù)據。

劉思峰在文獻[1]提出預測陷阱的概念、緩沖算子的特性及公理系統(tǒng)，并構造了兩類緩沖算子。文獻[4]在原有的緩沖算子的基礎上利用反向累積和的概念構造了一類新的弱化算子，并討論緩沖算子之間的相互關系及其性質，并用實例數(shù)據驗證了緩沖算子的有效性和實用性。文獻[5]將變權思想引入了緩沖算子，并利用遺傳算法探討了該類算子的優(yōu)化問題。文獻[6]在原有的緩沖算子的基礎上將緩沖算子與函數(shù)聯(lián)系起來，從而為緩沖算子開辟了新的方向。文獻[7]提出了一類新的弱化緩沖算子，從而解決了系統(tǒng)行為序列前一部分增長（衰減）過快后一部分增長（衰減）過慢的問題。文獻[8]中利用單調函數(shù)構建了弱化緩沖算子，解決了定量預測與定性分析不符的問題。文獻[9]則對以往的緩沖算子進行研究，得出了相關結論。本文將基于沖擊擾動系統(tǒng)的概念，引入變權強化算子，并討論其內部關系，分析緩沖算子大小與作用強度的關系，以期解決傳統(tǒng)緩沖算子作用強度過強或者過弱的問題，和當系統(tǒng)行為數(shù)據序列前一部分增長（衰減）過慢后一部分增長（衰減）過快時定性分析與定量預測不符的問題。

1 基本概念

公理1[10](不動點公理)設X為系統(tǒng)行為數(shù)據序列，D為序列算子，則D滿足

x（n）d=x(n)

不動點公理限定系統(tǒng)行為數(shù)據序列在序列算子的作用下，系統(tǒng)行為數(shù)據序列中的最新信息x(n)保持不變，即運用序列算子對系統(tǒng)行為數(shù)據進行作用，不改變最新信息x(n)這一即成事實[2]。

公理2[10](信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據序列X中的每個數(shù)據x(k)(k=1，2，…，n)都應充分地參與算子作用的全過程。

信息充分利用公理限定序列算子都應以現(xiàn)有數(shù)據序列中的信息為基礎進行構造，不能拋開原始數(shù)據序列另搞一套[2]。

公理3[10](解析化、規(guī)范化公理)任意x(k)(k=1，2，…，n)都可由統(tǒng)一的初等解析式表達。

公理4[2]（單調性不變公理）設X為系統(tǒng)行為數(shù)據序列，X經序列算子D作用后所得數(shù)據序列為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則序列XD與序列X的單調性必須保持一致。

單調性不變公理限定系統(tǒng)行為數(shù)據序列在序列算子的作用下，其單調性不能改變，否則將出現(xiàn)與實際意義相矛盾的情況[2]。

滿足上述四個公理的序列算子D成為緩沖算子，XD稱為緩沖算子作用序列。

定義1[2]設系統(tǒng)行為數(shù)據序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n)d)，

（2）令M=max{x(k)k=1，2，…，n}，m=min{x(k)|k=1，2，…，n}，稱M-m為振蕩序列X的振幅。

定義2[2]設系統(tǒng)行為數(shù)據序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，r(k)為數(shù)據序列X中x(k)到x(n)的平均變化率；D為作用于X的緩沖算子，X經緩沖算子D作用后所得數(shù)據序列為XD={x (1)，x(2)d，…，x(n)d}，則稱

為緩沖算子D在k點的調節(jié)度。

調節(jié)度反映了緩沖算子對原始序列的作用強度。

2 變權強化緩沖算子

2.1 變權強化緩沖算子的構造

定理1設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，t為權重，0≤t≤1。其中

D1不論X為單調增長序列，單調衰減序列或者振蕩序列時都為強化緩沖算子。

定理2 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，t為權重，0

則D2不論X為單調增長序列，單調衰減序列或者振蕩序列時都為強化緩沖算子。

證明略。

定理3 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d3)，t為權重，0≤t<1。其中

則D3不論X為單調增長序列，單調衰減序列或者振蕩序列時都為強化緩沖算子。

證明略。

定理4 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據序列，且x(k)>0（k=1，2，…，n），令XD4=（x(1)d4，x(2)d4，…，x(n)d4），t為權重，0≤t<1。其中

則D4不論X為單調增長序列，單調衰減序列或者振蕩序列時都為強化緩沖算子。

證明略。

定理5 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，XD2= (x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，t為權重，0≤t<1?？傻?/p>

證明略。

定理6 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…x(n) d3)，XD4=(x(1)d4，x(2)d4，…，x(n)d4)，t為權重，0≤t<1。可得

證明略。

定理7 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，x(k)為單調增長序列或者單調衰減序列，令XDi=(x(1)di，x(2)di，…，x(n)di)，令XDj=(x(1)dj，x(2)dj，…，x (n)dj)，并且δi(k)，δj(k)分別為Di，Dj在x(k)上的調節(jié)度（δ(k)代表緩沖算子對系統(tǒng)行為數(shù)據序列調節(jié)度，即越大，緩沖算子對數(shù)據序列的調節(jié)度δ(k)越大，也就是對數(shù)據序列的改變就也大），有

（1）當Di、Dj都為強化緩沖算子時

（2）當Di、Dj都為弱化緩沖算子時

即當為強化緩沖算子時，緩沖后的數(shù)值越大，緩沖算子調節(jié)度越?。划敒槿趸彌_算子時，緩沖后的數(shù)值越大，緩沖算子調節(jié)度也越大。

證明略。

定理8 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，XD2=(x (1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，t為權重，0≤t<1。

XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d3)，XD4=(x(1)d4，x(2)d4，…，x(n) d4)，可得

δ3(k)≥δ4(k)；δ1(k)≥δ2(k)

證明略。

不論X為單調增長序列，單調衰減序列或者振蕩序列，D1、D2、D3、D4都為強化緩沖算子，則當系統(tǒng)行為數(shù)據序列前一部分增長過緩而后一部分增長過快時，D1、D2、D3、D4中任一一個緩沖算子可作用于序列，對序列的數(shù)據進行強化緩沖，從而減少沖擊擾動系統(tǒng)對原始數(shù)據的干擾。但如果強化的程度不夠的話，則可調節(jié)度比較大的強化緩沖算子或者采用多階算子對其進行強化，從而提高預測進度，還原數(shù)據。

2.2 變權強化緩沖算子的應用實例

本文以用品類零售總額[11]為例來說明變權強化緩沖算子在預測過程中的作用。選取2001～2008年用品類零售總額作為原始數(shù)據，如表1。

由表1可計算出用品類零售總額增長速度分別為9.75%，11.10%，9.88%，11.30%，12.84%，14.65%，17.71%。2005年以前的增長速度明顯慢于后面數(shù)據的增長速度。如果直接對其建模，必然導致預測的誤差率很高。為了及時準確地把握用品類零售總額的增長趨勢，對以后的用品類零售總額能夠進行合理的預測，就必須對前面緩慢增長的數(shù)據加以處理，使其符合2005年后的發(fā)展趨勢，在此基礎上進行合理預測。

下面分別運用強化緩沖算子D1、D2、D3、D4作用于2001～2007年的數(shù)據，建立GM（1，1）模型，模擬2008年食品類零售總額，并與原始數(shù)據得到的預測數(shù)據進行對比，從而說明緩沖算子的有效性和優(yōu)越性。

表1 用品類零售總額

表2 誤差對比表

（1）以原始數(shù)據直接建模，得GM（1，1）模型的時間響應式為：作用于2001～2007年的數(shù)據得

XD1=(560.29，661.85，799.83，944.27，1140.60，1411.47，1796.05)

得GM（1，1）模型的時間響應式：

x贊(k+1)=2801.500996e0.203313k-2241.212292

XD2=(562.63，664.09，801.92，946.09，1141.98，1412.23，1796.05)

得GM（1，1）模型的時間響應式：

XD3=(571.06，671.34，807.82，950.32，1144.44，1413.06，1796.05)

得GM（1，1）模型的時間響應式：

x(k+1)=2877.922092e0.200682k-2306.85913

XD4=(574.44，674.40，810.50，952.52，1146.03，1413.88 1796.05)

得GM（1，1）模型的時間響應式：

x(k+1)=2904.287202e0.199806k-2329.846984

由表2的對比結果可以看出，在無緩沖算子作用于系統(tǒng)序列直接進行建模，2008年的用品類零售總額與實際值之間仍有比達差距；在D1、D2緩沖算子的作用下，再次進行建模，預測結果已經得到了相應的改善。在表2中得出D3、D4緩沖之后預測結果提高了很大一部分。由此可以看出，經過強化算子對原數(shù)據處理后使得預測精度明顯提高。因此，當系統(tǒng)行為數(shù)據前部分增長（衰減）相比后一部分增長（衰減）過慢時，可以采用此些強化算子對原數(shù)據進行強化。如果D2的強化程度不夠，則可改用D1，D3、D4；同樣，如果對數(shù)據要再強化，可以采用多階的緩沖算子理論。但四種強化算子往往使用于單調增長或單調衰減序列。

3 結語

本文主要研究了緩沖算子及其相關應用，該緩沖算子的作用主要是對數(shù)據進行預處理，平滑整個數(shù)據的曲線，提高對以后數(shù)據的預測精度。雖然有些數(shù)據離亂，但只要整個數(shù)據存在著整體功能，則必然存在著某種規(guī)律。一旦尋找通過某種方式尋找出系統(tǒng)行為數(shù)據的內在規(guī)律，就能成功解決定量研究結果與定性分析預測出入很大的問題。此時就可以通過緩沖算子的作用對原本離亂的數(shù)據進行緩沖，從而解決定性分析與定量預測不符的問題。本文在原有研究的基礎上，重新構造了變權強化緩沖算子，解決了數(shù)據序列前一部分增長（衰減）速度過緩而后一部分增長（衰減）速度過快的問題，但變權強化緩沖算子往往也只能適用于單調增長序列或者單調衰減序列。這些緩沖算子雖然有其局限性，但對其適用范圍內的數(shù)據緩沖后的預測精度都大幅度提高，從而也驗證了緩沖算子的有效性和實用性，并發(fā)現(xiàn)了緩沖算子大小與調節(jié)度的關系（系統(tǒng)行為數(shù)據為單調增長序列或者單調衰減序列）：當為強化緩沖算子時，緩沖算子越大，調節(jié)度越?。划敒槿趸彌_算子時，緩沖算子越大，調節(jié)度也越大。緩沖算子理論經過這么多年的發(fā)展已經在很多領域得到應用。但緩沖算子本身存在著一定的局限性，雖然在緩沖算子的證明中是所有的單調增長序列、單調衰減序列和振蕩序列都可以應用緩沖算子，但往往只有在單調增長序列和單調衰減序列中的應用得到較好的結果。所以緩沖算子的發(fā)展還存在很大的空間。

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（責任編輯/亦民）

N941.5

A

1002-6487（2011）06-0045-03

教育部人文社會科學研究青年項目(09YJC630129)；江蘇省高校哲學社會科學基金資助項目(09SJD630059)

姚天祥（1971－），男，河南新蔡人，博士，研究方向：灰色系統(tǒng)理論。