彭作軍，陳煜紅

（1.重慶大學建設管理與房地產(chǎn)學院，重慶400045；2.重慶市空港新城管委會，重慶401120）

區(qū)間數(shù)序列處理方法新探

彭作軍1，陳煜紅2

（1.重慶大學建設管理與房地產(chǎn)學院，重慶400045；2.重慶市空港新城管委會，重慶401120）

區(qū)間估計是專家評價中的一種重要方法，目前對給定為區(qū)間數(shù)的決策方法研究較多，而對區(qū)間數(shù)的處理大多基于均勻分布或正態(tài)分布。文章針對這種對區(qū)間數(shù)序列的分析和處理方法研究的不足，提出了一種新的基于β分布的處理方法。該方法通過用β分布對區(qū)間數(shù)序列分布進行擬合，從而解決了對區(qū)間數(shù)序列難以進行分析和處理這一難點，并通過案例驗證了該方法。結果表明，該方法原理正確，簡便可靠，在決策管理中具有廣泛的應用前景和普適性。

區(qū)間數(shù)；β分布；參數(shù)

0 引言

近二十多年來，多指標決策問題的決策理論、方法的研究取得了很大的發(fā)展，已成為決策科學、系統(tǒng)工程、管理科學和運籌學等學科研究中十分活躍的一個課題[1～5]。在實際問題決策過程中，對某一問題或目標的評價往往涉及很多指標。有些指標直接與數(shù)值有關，屬于定量指標；有些指標不直接與數(shù)值有關，屬于定性指標。評價原則一般要求定性分析與定量分析相結合，并且以定量分析為主。目前，對定量指標的分析方法已經(jīng)相當成熟，而對定性指標分析的方法和處理，集中采取專家打分法對評價指標給出相應的評價數(shù)值。在專家評價中，專家憑借自己的經(jīng)驗、知識和預感進行評價或估計，其中運用較多并較典型的就是點估計[6～8]。該方法優(yōu)點是操作簡單，不足之處是精度不高，估計誤差較大，所包含的信息量少，有時因為專家意見不一致，會與實際情況有較大出入。針對點估計的不足，目前較流行的處理方法是區(qū)間估計。區(qū)間估計的優(yōu)點在于貼近實際，并符合人們認識事物的思維和判斷習慣，適用范圍廣、精度高，包含相當豐富的信息，尤其對部分難以定量化的指標，給出適當?shù)膮^(qū)間估計已經(jīng)得到了專家們的高度認可。文獻[9]、[10]將灰色關聯(lián)分析方法推廣到區(qū)間數(shù)環(huán)境，給出了區(qū)間數(shù)多屬性決策的灰色關聯(lián)分析法；文獻[11]、[12]基于可能度法對區(qū)間數(shù)多屬性決策進行排序；文獻[13]提出了誤差分析法；文獻[14]提出了線性規(guī)劃方法,文獻[15]提出了層次分析法(AHP)等。上述文獻分別從不同的角度對評價指標取值為區(qū)間數(shù)的多指標決策問題進行了研究，其研究主要是針對指標為區(qū)間數(shù)的決策方法。對區(qū)間數(shù)序列的處理目前大多是假定方案綜合值的區(qū)間數(shù)服從均勻分布或正態(tài)分布的假定條件下給出的決策方法[11,12,16～19]，很顯然，這不符合一般的情況，因為大多情況下眾多專家對某一指標的區(qū)間估計一般不會服從均勻分布或正態(tài)分布，而恰恰是一種“偏峰”的情形。針對當前對區(qū)間數(shù)沒有進行處理或對區(qū)間數(shù)的處理方法簡單且所包含的信息量較少這一弊端。本文擬提出一種新的基于β分布的區(qū)間數(shù)序列處理方法，該方法將運用β分布覆蓋從均勻分布到近似正態(tài)分布和各種不對稱分布以及β分布隨機變量的取值范圍為有限閉區(qū)間等性質，通過X～β(a,b)的分布來擬合區(qū)間數(shù)序列分布；然后根據(jù)β分布的數(shù)字特征，最終得到反映大多數(shù)專家意見的眾數(shù)。

1 區(qū)間數(shù)序列分析

設第i（i=1,2,…,n）個專家對某一指標給出的評價區(qū)間記為[則n個專家可得n個區(qū)間數(shù)，從而形成一個區(qū)間數(shù)序列[20]則n個區(qū)間序列疊加在一起形成覆蓋在評價軸x上的一種分布，如圖1所示。

從圖1中可知，n個專家憑借自己的知識、經(jīng)驗和預感分別對某一指標進行區(qū)間估計打分，雖然n次打分的結果可能不會都落在某一區(qū)間，但大多數(shù)專家會相對集中在某一范圍內(nèi)，于是區(qū)間序列分布圖中就會出現(xiàn)“單峰”，一般都是“偏峰”的情況。而β分布恰好對“偏峰”具有很強的擬合能力，因為它幾乎覆蓋了從均勻分布到近似正態(tài)分布和各種不對稱分布，且β分布隨機變量的取值范圍為有限閉區(qū)間，故本文通過X～β(a,b)的分布來擬合區(qū)間數(shù)序列數(shù)據(jù)。

2 β分布及其特點

2.1 β分布的定義

若隨機變量X的分布密度函數(shù)為：

2.2 β分布的特點

對于X～β(a,b)，其密度函數(shù)的形狀可由參數(shù)a和b來控制，當a=b時，形狀對稱于均值x=0.5；當a≠b時，形狀不對稱，若ab，形狀右偏；當a=b=1時，對應于均勻分布。其分布的形狀如圖2所示[21]。其眾數(shù)為：

3 分布參數(shù)的確定

從β分布的特點可知，它對區(qū)間數(shù)序列數(shù)據(jù)具有很強的建模能力，特別是對“偏鋒”分布的情形，而眾多專家區(qū)間估計大多數(shù)是這種“偏鋒”分布情況。為了通過已有的區(qū)間數(shù)數(shù)據(jù)擬合β分布，則求解參數(shù)a和b就成為了問題的關鍵，筆者通過迭代方法來確定參數(shù)a和b，其迭代步驟如下[22]：

(1)計算樣本均值和方差

令：Y1=z1(min)，Y2n=z2(max)，Y1≤Y2≤…≤Y2n。

式中：

(4)計算a，b的初始值

(5)計算d的新估計值d贊

4 β分布參數(shù)a、b的檢驗

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求得參數(shù)a、b后，需要檢驗樣本是否服從Z～β(a,b)，現(xiàn)運用擬合優(yōu)度檢定法來檢驗隨機變量Z是否服從β分布，該方法是用來檢驗事件出現(xiàn)的理論頻數(shù)同經(jīng)驗頻數(shù)之間差異顯著程度的一個方法。若統(tǒng)計量[24]：

則認為隨機變量Z服從β(a,b)分布。其中為實際頻數(shù)，有：

5 算例

取ε=1x10-6,經(jīng)過迭代計算，在求得甲、乙各指標β分布參數(shù)a、b后,通過式（2）檢驗，所有指標均服從β分布，按式（1）求得其眾數(shù)。各指標最終計算結果如表2所示。

根據(jù)F=wixPi計算可得甲、乙綜合評價值分別為0.796和0.815，于是開發(fā)商選擇乙設計院的設計方案。

表1 甲、乙各定性指標原始評分表

表2 甲、乙各指標計算結果表

6 結論

區(qū)間估計是專家評價中的一種重要方法，本文運用β分布諸多優(yōu)良性質對區(qū)間序列分布進行擬合，例如，β分布覆蓋了從近似均勻分布到各種不對稱分布、尤其對于“偏鋒”分布具有很強的建模能力以及隨機變量的取值范圍為有限閉區(qū)間等性質，從而解決了對區(qū)間數(shù)序列難以進行分析和處理這一難點。在決策過程中，只需要根據(jù)區(qū)間樣本序列計算出β分布的形狀參數(shù)a和b，則可以根據(jù)β分布的數(shù)字特征求得決策所需要的綜合評價值。本文給出的方法對指標的取值可以為精確實數(shù),也可以為區(qū)間數(shù)；對權重的取值可以為精確實數(shù)，也可以為區(qū)間數(shù)，甚至適用于部分指標取值為區(qū)間數(shù)。部分指標取值為確定值的混合多指標決策問題。因此，該方法在實踐中具有廣泛的應用前景和普適性。

[1]Hwang C L.Yoon K.Multiple Attribute Decision Making and Applications[M].New York:Springer-Verlag,1981.

[2]Hwang C.L.,Lin M.J.Group Decision Making under Multiple Criteria:Methods and Applications[M].Berlin:Springer,1987.

[3]Bryson N.Mobilizing A.Action Learning Evaluation Procedure for Multiple Criteria Decision Making Problems[J].European Journal of Operational Research,1996,96(2).

[4]吳江,黃登仕.區(qū)間數(shù)排序方法研究綜述[J].系統(tǒng)工程,2004,22(8).

[5]Xu Z.S.Projection Method for Uncertain Multi-Attribute Decision Making with Preference Information on Alternatives[J].International Journal of Information Technology&Decision Making, 2004,3(3).

[6]H.J.Miser,E.S.Quade.HandbookofSystemsAnalysis[M].North Holland,1993.

[7]Geoffrey Gregory.Decision Analysis[M].London:Pitman Pullishing,1998.

[8]Gousheng Liu,Jianguo Yu.Gray Correlation Analysis and Prediction Models of Living Refuse Generation in Shanghai City[J]. Waste Management,2007,27(3).

[9]Zhang J.J.,Wu D.S.,Olson D.L..The Method of Grey Related Analysis to Multiple Attribute Decision Making Problems with Interval Numbers[J].Mathematical and Computer Modeling,2005,42 (6).

[10]張吉軍.區(qū)間數(shù)多指標決策問題的灰色關聯(lián)分析法[J].系統(tǒng)工程與電子技術,2005,27(6).

[11]張全,樊治平,潘德惠.區(qū)間數(shù)多屬性決策中一種帶有可能度的排序方法[J].控制與決策,1999,14(6).

[12]徐澤水,達慶利.區(qū)間數(shù)排序的可能度法及其應用[J].系統(tǒng)工程學報,2003,18(1).

[13]Yoon K.The Propagation of Errors in Multiple-Attribute Decision Analysis:a Practical Approach[J].Journal of the Operational Research Society,1989,7(4).

[14]Bryson N,Mobolurih A.An Action Learning Evaluation Procedure for Multiple Criteria Decision Making Problems[J].European Journal of Operational Research,1996,96(10).

[15]Sajjad Z M.Incorporating the Uncertainty of Decision Judgments in the Analytic Hierarchy Process[J].European Journal of Operational Research,1991,53(2).

[16]周光明,劉樹人.不確定多屬性決策中區(qū)間數(shù)的一種新排序法[J].系統(tǒng)工程,2006,24(4).

[17]Zhang Q,Ma J,Fan Z,et al.A Statistical Approach to Multiple-attribute Decision-Making with Interval Numbers[J].International Journal of Systems Science,2003,34(12).

[18]于永生,刁聯(lián)旺.區(qū)間數(shù)多屬性決策的Monte Carlo方法[J].東南大學學報(自然科學版),2008,38(1).

[19]Lui Kungjong.Notes on Interval Estimation of Risk Difference in Stratified Noncompliance Randomized Trials:A Monte Carlo Evaluation[J].Computational Statistics and Data Analysis,2008,52 (7).

[20]傅鴻源.城市舊區(qū)改造投資效果研究[J].重慶建筑工程學院學報，1994,16(3).

[21]劉勇，鄭俊杰.分布的參數(shù)確定及其在巖土工程中的應用[J].巖土工程技術，2006,20(5).

[22]He J.Estimating the Distribution of Manufactured Dimensions with the Beta Probability Density Function[J].Mach.Tools Manufacture,1991,31(3).

[23]汪培莊，劉錫薈.集值統(tǒng)計[J].工程數(shù)學學報,1984,1(1).

[24]陳方櫻，徐賜文.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：機械工業(yè)出版社，2006.

（責任編輯/亦民）

C934

A

1002－6487（2011）06－0038-03

彭作軍（1971-），男，重慶人，博士，研究方向：建筑經(jīng)濟與房地產(chǎn)。

陳煜紅（1979-），男，貴州人，博士，研究方向：城市規(guī)劃系統(tǒng)工程。