胡堯，盧大遠(yuǎn)

(貴州大學(xué)數(shù)學(xué)系，貴陽(yáng)550025)

變環(huán)境條件下型號(hào)設(shè)備的可靠性估計(jì)

胡堯，盧大遠(yuǎn)

(貴州大學(xué)數(shù)學(xué)系，貴陽(yáng)550025)

文章討論了變環(huán)境條件下，Weibull壽命分布型號(hào)設(shè)備可靠性的估計(jì)問(wèn)題：固定形狀參數(shù)，在壽命特征參數(shù)為環(huán)境指標(biāo)一元多項(xiàng)式情形下給出了可靠性估計(jì)方法；利用強(qiáng)大數(shù)律及控制收斂定理證明了估計(jì)量的強(qiáng)相合性，并通過(guò)大量仿真數(shù)據(jù)模擬說(shuō)明了方法的可用性。

變環(huán)境；Weibull分布；可靠性估計(jì)；強(qiáng)相合性

0 引言

變環(huán)境條件下同型號(hào)設(shè)備的可靠性會(huì)發(fā)生變化。隨著環(huán)境指標(biāo)的不斷惡化或不斷改善，可靠性形成環(huán)境指標(biāo)的函數(shù)，稱為可靠性曲線[1][2]。估計(jì)出該條曲線后，就可以對(duì)變環(huán)境情形下的型號(hào)設(shè)備可靠性給出合理的預(yù)測(cè)。文獻(xiàn)[1]針對(duì)Lognoraml類壽命分布，在完全樣本情形下研究了同型號(hào)設(shè)備不同環(huán)境下的可靠性估計(jì)問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]在完全樣本情形下，對(duì)Lognormal與Weibull兩類壽命分布變環(huán)境可靠性估計(jì)問(wèn)題作了進(jìn)一步的研究，得出可靠性與環(huán)境指標(biāo)的單調(diào)遞增關(guān)系。本文擬在文獻(xiàn)[1][2]的基礎(chǔ)上，針對(duì)Weibull類型號(hào)設(shè)備壽命分布情形，研究壽命特征參數(shù)η與環(huán)境指標(biāo)的關(guān)系，給出Weibull類變環(huán)境完全樣本條件下的可靠性估計(jì)問(wèn)題，并證明相關(guān)研究理論，通過(guò)模擬說(shuō)明估計(jì)方法的可用性。

用T表示某型號(hào)設(shè)備在正常使用環(huán)境下的壽命時(shí)間，稱該型號(hào)設(shè)備至少能正常工作t單位時(shí)間的概率R(t)=P(T>t)為型號(hào)設(shè)備的可靠性?？煽啃怨烙?jì)是產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)估中的常見(jiàn)問(wèn)題，如果給定i.i.d.序列T1，T2，…，Tn，定義隨機(jī)事件，用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)估計(jì)F(t)，從而可用Rn(t)=1-Fn(t)估計(jì)型號(hào)設(shè)備的可靠性R (T)。由Glivenko-Cantelli定理可知Fn(t)幾乎必然（a.s.almost surely）收斂于F(t)，理論上可以證明Rn(t)也a.s.收斂于R(t)，即Rn(t)是R(t)的強(qiáng)相合估計(jì)，故用Rn(t)作為R(t)的估計(jì)。當(dāng)n→∞時(shí)，由中心極限定理CLT(central limit theorem)可得

其中

同理，可以構(gòu)造出R(t)的置信度為1-0.05的近似置信上、下限分別為

在具體工程問(wèn)題中，型號(hào)設(shè)備的可靠性隨著使用環(huán)境的惡化或改善其環(huán)境指標(biāo)e也隨之變化，環(huán)境指標(biāo)e可以是單一指標(biāo)如溫度、濕度、震動(dòng)、電流、電壓等，也可以是用級(jí)別表示的變環(huán)境指標(biāo)的綜合。用Te表示在變環(huán)境指標(biāo)e下型號(hào)設(shè)備的使用壽命，Re(t)表示變環(huán)境指標(biāo)e條件下型號(hào)設(shè)備的可靠性。給定總體Te的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

由前所述可用R贊e(t)估計(jì)Re(t)，對(duì)于每個(gè)變環(huán)境指標(biāo)e1

在型號(hào)設(shè)備的可靠性研究中，Weibull分布[4]是一種很有用的壽命分布，已普遍運(yùn)用于各類壽命設(shè)備可靠性評(píng)估分析中。本文從應(yīng)用的角度出發(fā)，假定變環(huán)境指標(biāo)為e時(shí)，型號(hào)設(shè)備壽命總體Te服從Weibull分布，則型號(hào)設(shè)備的可靠性[5]為

由于Weibull分布的形狀參數(shù)β，僅表明失效模式或失效機(jī)理的類型，與型號(hào)設(shè)備的使用環(huán)境關(guān)系不大，變化甚微。在此假定為常數(shù)或恒量(β≥1)，即各類環(huán)境指標(biāo)下其型號(hào)設(shè)備失效機(jī)理相同，而壽命特征參數(shù)η與環(huán)境的變化有緊密聯(lián)系，假定其與環(huán)境指標(biāo)e的函數(shù)關(guān)系為η(e)，本文假定關(guān)系為

如果η(e)在[a，b]內(nèi)單調(diào)增加(或減少)，本文證明了可靠性Re(t)在[a，b]內(nèi)單調(diào)增加(或降低)，并稱此時(shí)的η(e)為(0，e)內(nèi)的環(huán)境改善(或惡化)模型。

給定不同變環(huán)境指標(biāo)下的樣本

其中e(i)為ei的順序統(tǒng)計(jì)量。

下面將給出Re(t)的一致強(qiáng)相合估計(jì)和預(yù)測(cè)，并利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬驗(yàn)證估計(jì)量和預(yù)測(cè)估計(jì)量的實(shí)用性。

1 主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)Te服從Weibull分布，其可靠性由(3)式定義

（1）若η(e)在[a，b]內(nèi)單調(diào)減少，則η(e)為[a，b]內(nèi)的環(huán)境惡化模型；

（2）若η(e)

在[a，b]內(nèi)單調(diào)增加，則η(e)為[a，b]內(nèi)的環(huán)境改善模型。

證明:對(duì)于e∈[a，b]，設(shè)Te服從于Weibull(β，η(e))(β≥ 1)，則對(duì)當(dāng)η(e)單調(diào)減少時(shí)

故Te隨機(jī)小于Ts，根據(jù)可靠性定義，于是得到Re(t)

在實(shí)際問(wèn)題中，由于形狀參數(shù)β如前所述，隨環(huán)境指標(biāo)e變化緩慢，只有壽命特征η(e)隨e變化，即有關(guān)系η(e)，故本文假定在較短的時(shí)間段內(nèi)將β視為微小變化，隨后的模擬計(jì)算視為常數(shù)(通常是(β≥1)且不隨環(huán)境指標(biāo)變化)。

給定環(huán)境指標(biāo)(5)式，對(duì)于每個(gè)固定的i，Te(i)j(j=1，2，…，ni)是來(lái)自分布總體Weibull(βi，ηi),其中βi的極大似然ML(maximum likelihood)估計(jì)值滿足

ηi-η(ei)的可由（7）式計(jì)算得

這樣就可以得到

即

記

則有(10)式可寫成

當(dāng)rank(E)=p+1≤k時(shí),E的前p+1行構(gòu)成Vandermonde行列式。故E是可逆矩陣,即可從(4)式得到

其中ET為E的轉(zhuǎn)置,依據(jù)多元線性回歸模型理論[7]可得回歸系數(shù)b=(b0，b1，…，bp)T的最小二乘估計(jì)LSE(least square estimate)

定理2設(shè)rank(E)=p+1≤k有環(huán)境指標(biāo)數(shù)據(jù)e(1)，e(2)，…，e(k)，總體Ti=Te(i)的可靠性Re(i)由(3)式定義，假設(shè)不同的總體Ti是相互獨(dú)立的,對(duì)于來(lái)自總體Ti的樣本Tij（i=1,2,…,k；j=1,2,…,ni），則有

利用(8)式和內(nèi)積不等式可得

表1樣本為500個(gè)重復(fù)2000次時(shí)的可靠性估計(jì)

即結(jié)論(2)成立。下面討論預(yù)測(cè)問(wèn)題。

對(duì)于a

定義β的估計(jì)量

用

作為可靠性Re(t)的估計(jì)。

證明:由定理2得

其中c0是只與a,b,k,p有關(guān)的常數(shù),由強(qiáng)大數(shù)律SLLN (strong laws of large numbers)可證分別是σ2、η、β的強(qiáng)相合估計(jì),用控制收斂定理即有R贊e(t)幾乎必然a.s.收斂于Re(t),又與Ret(a≤e≤b)單調(diào)連續(xù),故在區(qū)間a≤e≤b上一致收斂于Re(t)。

2 模擬計(jì)算分析

2.1，2 .3，2.5，2.7，2.8，2.9，3.1，3.2，3.4，3.5，3.6，3.7，3.9，4.1，4.2，4.5

用MATLAB分別產(chǎn)生500個(gè)參數(shù)為(η(ei),β)的Weibull隨機(jī)變量，利用(6)、(7)式計(jì)算參數(shù)ηi與βi的極大似然估計(jì)MLE值,利用(13)式與(15)式計(jì)算ai的最小二乘估計(jì)LSE值，再利用(14)式計(jì)算與β,最后利用(16)式計(jì)算出可靠性估計(jì)值

通?？紤]各種隨機(jī)因素的影響,將上述步驟獨(dú)立重復(fù)2000次,用mean(R贊e(t))表示這2000次計(jì)算結(jié)果的樣本均值,用表示這2000次計(jì)算結(jié)果的樣本方差表示各類環(huán)境指標(biāo)下的真值,結(jié)果比較下表1。

圖1是模擬分析一真值η(e)與重復(fù)2000次的估計(jì)值η贊(e)。

案例2 用同樣的方法,取β=2,每次隨機(jī)產(chǎn)生1000個(gè)隨機(jī)數(shù)據(jù),獨(dú)立重復(fù)2000次計(jì)算結(jié)果如表2。

表2 樣本為1000個(gè)重復(fù)2000次時(shí)的可靠性估計(jì)

圖2是模擬分析二真值η(e)與重復(fù)2000次的估計(jì)值η贊(e)。

3 結(jié)論

模擬計(jì)算結(jié)果顯示,前面所提出的變環(huán)境可靠性計(jì)算方法其精度通常能達(dá)到實(shí)際Weibull型號(hào)設(shè)備的可靠性評(píng)估要求。本文提出的變環(huán)境模型基本解決了不同運(yùn)行環(huán)境指標(biāo)下的Weibull類產(chǎn)品的可靠性預(yù)測(cè)問(wèn)題；同時(shí)為變環(huán)境情形下變參數(shù)變動(dòng)統(tǒng)計(jì)學(xué)可靠性問(wèn)題應(yīng)用研究打下了一定的理論基礎(chǔ),為進(jìn)一步研究不完全樣本(刪失、截尾、分組數(shù)據(jù))或無(wú)失效壽終數(shù)據(jù)的可靠性估計(jì)或評(píng)估問(wèn)題帶來(lái)一定的契機(jī)。

[1]何書元,趙宇,房祥忠.估計(jì)不同環(huán)境下的設(shè)備可靠性[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2007,26(6).

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（責(zé)任編輯/亦民）

O212

A

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