楊潔榮，宋向東，明喆，胡蓓蓓，王樹力

(燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島066004)

基于兩種轉(zhuǎn)換的非正態(tài)過程能力研究的比較

楊潔榮，宋向東，明喆，胡蓓蓓，王樹力

(燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島066004)

文章應(yīng)用Box-Cox轉(zhuǎn)換和Johnson轉(zhuǎn)換對幾種非正態(tài)分布進(jìn)行了研究，并計(jì)算出了其過程能力指數(shù)，通過大量的重復(fù)模擬研究了該方法在過程能力分析中的適用性和效果。結(jié)果顯示，Johnson轉(zhuǎn)換比Box-Cox轉(zhuǎn)換更有效。文章用相應(yīng)的matlab分析軟件來輔助實(shí)現(xiàn)這個方法，具有可操作性，可以用于指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐。

非正態(tài)；過程能力指數(shù)；Box-Cox轉(zhuǎn)換；Johnson轉(zhuǎn)換

0 引言

在許多統(tǒng)計(jì)過程控制(SPC)技術(shù)的應(yīng)用中,要求所關(guān)心的質(zhì)量特性服從正態(tài)分布。然而,實(shí)際中存在大量不符合正態(tài)假設(shè)的質(zhì)量特性。此時若應(yīng)用正態(tài)假設(shè)下的SPC技術(shù),則會增加第1類風(fēng)險。研究表明:正態(tài)性的明顯偏離會嚴(yán)重影響與控制圖相關(guān)的平均運(yùn)行長度。解決該問題的方法是：一是找到這種質(zhì)量特性本身的分布函數(shù),則可通過函數(shù)間的轉(zhuǎn)換將非正態(tài)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為正態(tài)數(shù)據(jù)，即基于非正態(tài)分布的過程能力指數(shù)的計(jì)算方法；二是將非正態(tài)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為“正態(tài)分布”的數(shù)據(jù)，然后用傳統(tǒng)方法計(jì)算過程能力指數(shù)[1]。

1 主要用到的方法

1.1 Box和Cox提出的冪轉(zhuǎn)換方法[2]

設(shè)X表示的是質(zhì)量特性，則

這里要求變量取值為正，如果數(shù)據(jù)有負(fù)，可同時增加一個常數(shù)使其為正值。λ的估計(jì)值采用極大似然估計(jì)法。

1.2 Johnson分布曲線族[3]

針對一個具體的非正態(tài)應(yīng)用場合，如何根據(jù)樣本選擇合適的Johnson曲線類型是首要的問題，其步驟如下：

選擇一個合適的z,通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表找出對應(yīng)于{-SZ,-Z, Z,SZ}的分布概率p-sz、p-z、pz、psz。在樣本數(shù)據(jù)中找出對應(yīng)的分位數(shù)x-sz、x-z、xz、x3z，并令m=xsz-xz,n=x-z-x-sz,p=xz-x-z定義分位數(shù)比率QR=mn/p2。Bowman和Shenton根據(jù)QR提供了選擇SB、 SU的一般規(guī)則：如果則選擇SB；如果，s≥，則選擇SU。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，只有在s=3時才能找到區(qū)分SB、SL和SU的規(guī)則：

當(dāng)QR＜1時，選擇SB分布；當(dāng)QR=1時，選擇SL分布，當(dāng)QR>1時，選擇SU分布。

而在s=3的情況下，只有確定合適的z值，就可以確定需要擬合數(shù)據(jù)的Johnson系統(tǒng)。在轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，就可以應(yīng)用正態(tài)假設(shè)下的質(zhì)量控制技術(shù)了。

接下來討論以下三種轉(zhuǎn)換類型的具體參數(shù)的確定方法：

(1)對于SB曲線：

(2)對于SU曲線：

表1 Johnson分布系統(tǒng)

一旦求得Johnson曲線的位置參數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)(ε,γ,λ,η)，便可以求得概率為0.5，0.0135和0.99865所對應(yīng)的百分位數(shù)x0.5，x0.00135和x0.99865[4]。從而可以求出相應(yīng)的過程能力指數(shù)。

2 主要的研究過程及結(jié)果

2.1 運(yùn)用兩種轉(zhuǎn)換比較分析

（1）生成一組服從自由度為10和20的分布的隨機(jī)數(shù)（100行1列），求得其0.00135分位數(shù)為0.1188,0.99865分位數(shù)為4.0931,將其分別作為公差下限和公差上限，即其USL=4.0931，LSL=0.1188。

轉(zhuǎn)換前：其過程能力指數(shù)為0.9019,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.1234，臨界值為0.0890，其檢驗(yàn)的p值為0.0010，可判斷它不服從正態(tài)分布。

Box-Cox轉(zhuǎn)換后：

其過程能力指數(shù)為0.8838，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.0520，臨界值為0.0890，其檢驗(yàn)的p值為0.5000，可判斷它服從正態(tài)分布。

Johnson轉(zhuǎn)換后：

其過程能力指數(shù)為0.7482，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.0502，臨界值為0.0890，其檢驗(yàn)的p值為0.5000，可判斷它服從正態(tài)分布。

(2)生成參數(shù)為a=1.5和b=2的Γ分布的隨機(jī)數(shù)（100行1列），求得其0.00135分位數(shù)為0.1084,0.99865分位數(shù)為10.9457,將其分別作為公差下限和公差上限，即USL= 10.9457，LSL=0.1084。

轉(zhuǎn)換前：其過程能力指數(shù)為0.8776,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.1131，臨界值為0.0890，其檢驗(yàn)的p值為0.0031，可判斷它不服從正態(tài)分布。

Box-Cox轉(zhuǎn)換后：

其過程能力指數(shù)為0.7973，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.0469，臨界值為0.0890，其檢驗(yàn)的p值為0.5000，可判斷它服從正態(tài)分布。

Johnson轉(zhuǎn)換后：

其過程能力指數(shù)為0.7864，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.0429，臨界值為0.0890，其檢驗(yàn)的p值為0.5000，可判斷它服從正態(tài)分布。

(3)生成自由度為5的χ2分布的隨機(jī)數(shù)（100行1列）求得其0.00135分位數(shù)為0.4737,0.99865分位數(shù)為13.9823,將其分別作為公差下限和公差上限，即USL=13.9823，LSL= 0.4737。

轉(zhuǎn)換前：其過程能力指數(shù)為0.7223,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.1513，臨界值為0.0890，其檢驗(yàn)的p值為0.0010，可判斷它不服從正態(tài)分布。

Box-Cox轉(zhuǎn)換后：

其過程能力指數(shù)為0.7444，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.0614，臨界值為0.0890，其檢驗(yàn)的p值為0.4628，可判斷它服從正態(tài)分布。

Johnson轉(zhuǎn)換后：

其過程能力指數(shù)為0.7202，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.0564，臨界值為0.0890，檢驗(yàn)的p值為0.5000，可判斷它服從正態(tài)分布。

(4)生成參數(shù)為a=0.5和b=0.6的β分布的隨機(jī)數(shù)（100行1列）求得其0.00135分位數(shù)為0.0001,0.99865分位數(shù)為0.9999，將其分別作為公差下限和公差上限，即USL=0.9999，LSL=0.0001。

轉(zhuǎn)換前：其過程能力指數(shù)為0.4857,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.1602，臨界值為0.0890，其檢驗(yàn)的p值為0.0010，可判斷它不服從正態(tài)分布。

Box-Cox轉(zhuǎn)換后:

其過程能力指數(shù)為0.5659，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.0948，臨界值為0.0890，檢驗(yàn)的p值為0.0275，可判斷它不服從正態(tài)分布。

Johnson轉(zhuǎn)換后：

其過程能力指數(shù)為0.5937，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn)，求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.0611，臨界值為0.0890，檢驗(yàn)的p值為0.4714，可判斷它服從正態(tài)分布。

從上面的四種分布的各自隨機(jī)模擬的100個數(shù)據(jù)來看，兩種轉(zhuǎn)換基本都能實(shí)現(xiàn)正態(tài)轉(zhuǎn)換，但轉(zhuǎn)換效果不明顯。

2.2 基于隨機(jī)模擬的轉(zhuǎn)換效果評價

下面我們通過多數(shù)據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn):每次產(chǎn)生1000個隨機(jī)數(shù)，重復(fù)模擬1000次，比較兩種轉(zhuǎn)換的過程能力指數(shù)Cp的平均值，更接近于1的轉(zhuǎn)換效果較好。

（1）F分布

通過Box-Cox轉(zhuǎn)換對應(yīng)的Cp的平均值為1.0287，Johnson轉(zhuǎn)換對應(yīng)的的平均值為1.0244，可見對于F分布，Johnson轉(zhuǎn)換較好。

（2）Γ分布

通過Box-Cox轉(zhuǎn)換對應(yīng)的Cp的平均值為0.9489，Johnson轉(zhuǎn)換對應(yīng)的的平均值為1.0040，可見對于F分布，也是Johnson轉(zhuǎn)換較好。

（3）χ2分布

通過Box-Cox轉(zhuǎn)換對應(yīng)的Cp的平均值為0.9712，Johnson轉(zhuǎn)換對應(yīng)的的平均值1.0150，可見對于χ2分布，也是Johnson轉(zhuǎn)換較好。

（4）β分布

對于β分布，通過兩種轉(zhuǎn)換對應(yīng)的Cp的平均值都比較小，分別為0.5551和0.6743，與理論值1的差距較大，說明將兩種轉(zhuǎn)換用于β分布是不合適的。

綜上評價，認(rèn)為Johnson轉(zhuǎn)換效果好。

[1]Kotz S,Johnson N L.Process Capability Indices-a Review,1992-2002[J].Journal of Quality Technology,2002,34(1).

[2]Yang Jian-feng.Liu Yumin.Jin-feng.Yang Jianfeng.Liu Yumin. He Jinfeng.Based Box-Cox Power Transformation of Non-Normal Process Capability Analysis[J].Engineering,2006,24(8).

[3]Zhou Qun Yan.Conversion System Based on Johnson's Non-Normal Process Capability Index Estimates[J].Engineering,2004,22(5).

[4]Kong Xiangfen,He Zhen.Non-Normal Process Capability Analysis and Control Method[J].Dissertation,2007，5.

[5]Chou，C．Y，Chen，C．H．,Liu，H．R．Economic—statisticalDesignof X-bar Charts for Non-normal Data by Considering Quality Loss [J]．Journal of the Applied Statistics，2000，27．

[6]Chou，C．Y，Chen，C．H．,Liu，H．R．Effect of Non-normality on the Economic Design of Warning Limit X—barcharts[J]．Quality Engineering，2004，16(4)．

[7]Clements,J A.Process Capability Calculationsfor Nono-normal Distributions[J].Quality Progress，1989,(22).

[8]Tang Shuming,Fei-Yue Wang.Process Capability Indices[J].Application of Probability and Statistics,2004,(2).

[9]Zhang Gongxu Editor.Modern Quality Management[M].Beijing: China Financial and Economic Publishing House，1999.

（責(zé)任編輯/易永生）

F273．2

A

1002－6487（2011）06－0165-02

楊潔榮（1984-），山西臨汾人，碩士研究生，研究方向：質(zhì)量控制理論。