籍艷麗，趙麗琴

（1.常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇常熟215500；2.山西財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，太原030006）

一種效率測度的新方法：隨機(jī)非參數(shù)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法

籍艷麗1，趙麗琴2

（1.常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇常熟215500；2.山西財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，太原030006）

考慮到隨機(jī)前沿法（SFA）和數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法（DEA）的不足，文章介紹了一種新的效率測度方法——隨機(jī)非參數(shù)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（StoNED）。該方法結(jié)合了SFA和DEA兩者的優(yōu)點(diǎn)，具有更好的理論基礎(chǔ)；而且，借助于軟件GAMS，可以進(jìn)行求解。新的方法可以更加科學(xué)地對效率進(jìn)行測度。

效率；隨機(jī)前沿法（SFA）；數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法（DEA）；隨機(jī)非參數(shù)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法（StoNED）

0 引言

近年來，對于效率測度的研究很多，這些研究大多采用兩種方法——參數(shù)方法或非參數(shù)方法，它們的區(qū)別在于是否構(gòu)造一個“生產(chǎn)前沿面”。參數(shù)方法根據(jù)不同假設(shè)選定生產(chǎn)函數(shù)的不同形式并對其中的參數(shù)進(jìn)行估計，而非參數(shù)方法無需估計前沿生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)及函數(shù)具體形式。使用較多的分析技術(shù)有兩種，一是數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法（Data Envelopment Analysis-DEA），其屬于非參數(shù)方法；另一是隨機(jī)前沿法（Stochastic Frontier Approach-SFA），其屬于參數(shù)方法。其中，DEA是一種運(yùn)用線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)過程，用于評價生產(chǎn)決策單位的效率，其目的就是構(gòu)建出一條非參數(shù)的包絡(luò)前沿線，有效點(diǎn)位于生產(chǎn)前沿上無效點(diǎn)處于前沿的下方；SFA是把生產(chǎn)前沿面看作是隨機(jī)的生產(chǎn)邊界而采用統(tǒng)計方法求解參數(shù)的隨機(jī)性參數(shù)前沿生產(chǎn)函數(shù)方法。

那么，DEA法和SFA法在測算決策單位的效率時，何者更優(yōu)？作為一種非參數(shù)方法，DEA方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于不需要指定生產(chǎn)函數(shù)的形式或分布假設(shè)，從而避免了相應(yīng)的設(shè)定誤差，同時解決了各決策單位的最優(yōu)化問題，并能同時提供多個效率測算指標(biāo)；但是，該方法將任何對生產(chǎn)邊界的偏離都度量為非效率成分，即不能將隨機(jī)誤差分離出來。作為一種參數(shù)方法，SFA方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于，能夠較好地將純粹的隨機(jī)誤差與非效率值相分離；但是，在估計生產(chǎn)函數(shù)的相關(guān)參數(shù)時，不恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形式或誤差項的分布假設(shè)會潛在地將設(shè)定誤差與效率估計混淆。這樣看來，在測度效率時，兩者各具優(yōu)點(diǎn)，但也有各自的不足，沒有經(jīng)驗顯示其中一種方法絕對優(yōu)于另一種。因此，在結(jié)合兩者的優(yōu)點(diǎn)基礎(chǔ)上，我們介紹一種測度效率的新方法——隨機(jī)非參數(shù)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法（StoNED）。

1 模型設(shè)定

StoNED方法是Kuosmanen在SFA和DEA的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種非參數(shù)前沿分析方法。為簡便起見，我們這里使用一種代表性模型。用經(jīng)典的生產(chǎn)函數(shù)f:y=f(x)表示生產(chǎn)技術(shù)，該函數(shù)概括了生產(chǎn)可能集。而生產(chǎn)函數(shù)事先并不知道，與DEA法相同，假定f屬于單調(diào)遞増的凹函數(shù)，用F2來表示，這些假設(shè)和生產(chǎn)函數(shù)的公理相一致。不同于SFA法，事先沒有假定具體的函數(shù)形式。相反地，我們內(nèi)生地選擇函數(shù)f，這樣，確定部分的生產(chǎn)函數(shù)采用了與DEA法相同的非參數(shù)處理技術(shù)。

與DEA法不同，我們引入隨機(jī)成分，而這一隨機(jī)成分遵循SFA的通常設(shè)定。決策單位i產(chǎn)出的觀察值yi不同于f(xi)，合成殘差εi=vi-ui，其中ui為無效率項，vi為誤差項。正式地：

2 模型估計

與SFA文獻(xiàn)的修正普通最小二乘法（MOLS）相似，我們采用矩方法來估計StoNED模型（1）。估計方法包括三步：①對殘差贊=（贊1，…，贊n）的最小二乘估計；②基于殘差分布的二階m2和三階矩m3，對于方差σ2u和σ2v的估計；③基于條件分布的無效率項贊i的估計。此外，在得出無效率項后，可以繼續(xù)通過計算，最終求出StoNED的效率值E。基于此，本文對模型的估計采用三個步驟。

為便于計算，在StoNED模型中，我們采用非參數(shù)回歸技術(shù)（稱為凹面非參數(shù)最小二乘法（CLNS））代替普通最小二乘法OLS。與OLS相比較，CNLS不同點(diǎn)在于考慮了單調(diào)和凹回歸函數(shù)的更一般的非參數(shù)形式。正式地，CNLS模型可以改寫為一個二次規(guī)劃問題。

對于一個事先未設(shè)定的函數(shù)形式，模型(2)的CNLS估計n個切超平面。斜率系數(shù)β'i代表投入i的邊際產(chǎn)出。第二個約束條件通過應(yīng)用一系列不等式（被稱為“Afriat inequalities”）對函數(shù)施加了凹性限制。第三個約束條件對函數(shù)施加了單調(diào)遞增性限制。

生產(chǎn)函數(shù)f的CNLS估計為分段線性方程，這點(diǎn)與DEA前沿面非常相像。然而，模型（2）的最小二乘與線性規(guī)劃DEA在許多方面都不同。首先，DEA模型對每個決策單位分別進(jìn)行線性規(guī)劃求解，而模型（2）同時考慮所有決策單位的殘差ε贊，進(jìn)而求解。其次，DEA模型借助于相對尺度的乘法效率，而模型（2）采用絕對尺度的偏離前沿面的加法效率，這點(diǎn)與SFA文獻(xiàn)相一致。再次，EDA模型僅僅提供生產(chǎn)前沿面的隱性代表，而模型（2）清晰地描述了生產(chǎn)函數(shù)的邊際特征。最后，最重要的不同之處在于DEA模型對ui限制在單側(cè)，而CNLS模型（2）對ui不加限制。

這里CNLS可以通過GMAS（General Algebraic Modeling System）軟件進(jìn)行估計。

這些矩是真實(shí)矩μ2和μ3的一致估計量，它們依賴于無效率項和誤差項。

因此，方差σ2u和σ2v能夠從m2和m3簡單地估計出來。這個估計以合成誤差ε的分布的偏斜為基礎(chǔ)，它是由于無效率項導(dǎo)致的。因此，三階矩m3理論上應(yīng)該是負(fù)。

關(guān)于方差估計，我們可以對無效率項使用條件估計量。Jondow等（1982）指出，考慮到贊的無效率項ui的條件分布是截尾正態(tài)分布，且均值，方差作為ui的一個點(diǎn)估計量，我們可以使用條件期望值E(ui|i)，作為無效率項的值。也即：

其中，覬是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)，ψ標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)。公式（7）的條件均值有一直觀解釋：條件分布的眾數(shù)μ*和標(biāo)準(zhǔn)差σ*與正態(tài)危險函數(shù)覬（-μ*/σ*）/（1-ψ（-μ*/σ*））的乘積之和。作為可供選擇的點(diǎn)估計，可能在條件分布的眾數(shù)μ*與0兩者中選擇較小者。同樣，我們能夠得到基于條件分布的無效率項的區(qū)間估計（見Horrace和Schmidt，1996）。100（1-a）%置信區(qū)間為：

其中，zL=覬-1（1-（α/2）α（μ*/σ*）），zU=覬-1(1-(1-α/2))覬(μ*/σ*)。

2.3 效率值E的估計

在公式（1）中，由無效率項ui和誤差項vi組成的合成殘差εi，使得決策單位的產(chǎn)出yi觀測值會與f(xi)值出現(xiàn)差異，同時給方程兩邊除以f(xi)，由于兩者之間的差異是無效率項引起的，而不是誤差項，因此決策單位的效率計算公式為：

其中E（vi）=0，因此（9）式變?yōu)?/p>

這樣，采用凹面非參數(shù)最小二乘CNLS技術(shù)以及一些矩估計，我們得到了決策單位的效率值。這只是一種簡單可行方法之一，比如在求方差時，還可采用極大似然估計法，而且，這里我們只討論了簡單的截面模型，同樣的思路可以擴(kuò)展到面板模型（見Kuosmanen,2006）。這里不再討論。

3 結(jié)束語

隨機(jī)非參數(shù)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（StoNED）既考慮了SFA的殘差分解為無效率項和隨機(jī)誤差項的優(yōu)點(diǎn)，同時也考慮了DEA的非參數(shù)分段線性前沿的優(yōu)點(diǎn)。該方法把前沿分析中的參數(shù)和非參數(shù)方法綜合到統(tǒng)一框架下。從根本上來看，StoNED在沒有影響DEA和SFA優(yōu)點(diǎn)的同時把兩者結(jié)合起來。該模型建立在SFA和DEA認(rèn)可的標(biāo)準(zhǔn)公理和假設(shè)之下；在分析過程中極大地依賴于SFA和DEA所建立的概念和原理，不需要引入新的概念或工具，因此該方法比較容易理解和掌握。而且，借助于軟件GAMS，我們可以對決策單位的效率進(jìn)行測度?？傊?，StoNED法具有巨大的現(xiàn)實(shí)意義。

[1]Aigner D.J.,P.Schmidt.Formulation and Estimation of Stochastic Frontier Models[J].Journal of Econometrics,1977,(6).

[2]Horrace W.C.,P.Schmidt.Confidence Statements for Efficiency Estimation from Stochastic Frontier Models[J].Journal of Productivity Analysis,1996，(7).

[3]Jondrow J.,I.S.Materov,P.Schmidt.On Estimation of Technical Inefficiency in the Stochastic Frontier Production Function Model [J].Journal of Econometrics,1982，(19).

[4]Kuosmanen T.Stochastic Nonparametric EnvelopmentofData: Combining Virtue of SFA and DEA in a Unified Framework[C]. MTT Discussion Paper,2006.

（責(zé)任編輯/易永生）

O21

A

1002－6487（2011）05-0033-02

籍艷麗（1978-），女，山西長治人，博士，講師，研究方向:統(tǒng)計理論與方法。

趙麗琴（1978-），女，山西原平人，博士，講師，研究方向：多元和數(shù)據(jù)分析。