林志熙 黃富貴

(①福建工程學(xué)院機(jī)電及自動(dòng)化工程系，福建福州350108;②華僑大學(xué)機(jī)電系，福建泉州362021)

檢驗(yàn)端面對(duì)軸線垂直度誤差的傳統(tǒng)方法，一般將基準(zhǔn)軸線調(diào)至與平板垂直，用指示計(jì)在整個(gè)被測(cè)表面上測(cè)量，并取指示計(jì)的最大讀數(shù)差作為被測(cè)端面對(duì)基準(zhǔn)軸線的垂直度誤差。這種檢測(cè)方法不符合GB/T 1958—2004規(guī)定中端面對(duì)軸線垂直度誤差的定義，只能用于檢驗(yàn)位置精度要求較低的零件，且調(diào)整、測(cè)量效率低。

如何應(yīng)用簡(jiǎn)單方便但又符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)定義的方法來(lái)測(cè)量和評(píng)定面對(duì)線垂直度誤差，一直是該領(lǐng)域研究人員的研究熱點(diǎn)之一。文獻(xiàn)［1］用萬(wàn)能工具顯微鏡測(cè)量，介紹了端面對(duì)軸線垂直度誤差最小二乘評(píng)定法，測(cè)量設(shè)備成本較高，且不符合形位誤差國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的定義。針對(duì)這一問題，本文采用光學(xué)分度頭測(cè)量，建立基準(zhǔn)符合最小條件法、最小二乘法、端點(diǎn)連線法的面對(duì)線垂直度誤差的數(shù)學(xué)模型，基于該模型研發(fā)了計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，該系統(tǒng)既能求出基準(zhǔn)軸線的空間任意方向直線度誤差，還能求出端面對(duì)軸線垂直度誤差，并繪出直觀形象的三維模擬圖形。該方法符合垂直度誤差國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的定義，且測(cè)量方便，數(shù)據(jù)處理效率高。

1 數(shù)學(xué)模型

在評(píng)定端面對(duì)軸線垂直度誤差時(shí)，首先要確定基準(zhǔn)要素的方向，即對(duì)空間任意方向直線度誤差進(jìn)行評(píng)定。然后垂直于基準(zhǔn)要素方向，對(duì)被測(cè)平面作兩個(gè)最小包容平行平面，此平行平面即形成被測(cè)要素最小包容區(qū)域，該平行平面間距離，即為被測(cè)要素在給定方向上相對(duì)基準(zhǔn)要素的垂直度誤差。

1.1 建立基準(zhǔn)軸線

基準(zhǔn)軸線的建立，即對(duì)空間任意方向上直線度誤差的測(cè)量與評(píng)定。形狀和位置誤差檢測(cè)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 1958—2004中提出的“最小條件原則”，即評(píng)定時(shí)被測(cè)提取要素對(duì)其擬合要素的最大變動(dòng)量為最?。?］。如圖1所示。首先是對(duì)被測(cè)孔或軸的不同橫截面圓進(jìn)行測(cè)量采點(diǎn)，按最小條件法擬合出各橫截面圓的擬合圓心C，連接這些圓心即得到空間提取軸線2，包容提取空間軸線上的各測(cè)點(diǎn)、且直徑最小的最小包容圓柱面4的直徑就是被測(cè)實(shí)際孔心線或軸心線的直線度誤差，該圓柱體的軸線1即為基準(zhǔn)軸線。

1.1.1 空間提取軸線的確定

對(duì)被測(cè)孔或軸的不同橫截面圓進(jìn)行等角度間隔采樣，如圖2中所示，在某一截面各采樣點(diǎn)分布。O為分度頭回轉(zhuǎn)中心，即坐標(biāo)原點(diǎn)，Δri為該截面測(cè)得的半徑變化量，θi為各被測(cè)點(diǎn)的回轉(zhuǎn)角(i=1，2，…，n)。因此測(cè)點(diǎn)直角坐標(biāo)值 xi=(r0+ Δri)cosθi，yi=(r0+ Δri)sinθi。其中r0為基圓半徑(這是個(gè)未知數(shù)，但接近零件的基本尺寸)。

滿足最小化時(shí)，F(xiàn)(x，y)的(x，y)即為各采樣截面內(nèi)實(shí)際輪廓的符合最小條件的擬合圓心?；鶞?zhǔn)提取軸線就由各擬合圓心C1，C2，…，Cn連成的空間折線來(lái)體現(xiàn)，如圖1所示。

1．1．2 空間任意方向直線度誤差的評(píng)定和基準(zhǔn)方向的確定

在空間任意方向評(píng)定直線度誤差時(shí)，常用最小條件法、最小二乘法、兩端點(diǎn)連線法。其中按最小包容區(qū)域法評(píng)定符合公差帶概念，求得的誤差值最小，一般作為爭(zhēng)議時(shí)的仲裁依據(jù)。

設(shè)擬合基準(zhǔn)軸線L為

方向由 j、k、q 三個(gè)參數(shù)決定，位置由 u、v、g 決定。各擬合圓心點(diǎn)C(xi，yi，zi)到擬合基準(zhǔn)軸線的距離為

(1)最小條件法

按最小區(qū)域法評(píng)定直線度誤差實(shí)質(zhì)上是尋找最小外包容圓柱，則其目標(biāo)函數(shù)定義為 F(u，v，g，j，k，q)={max(di)}，滿足最小化時(shí)，F(xiàn)(u，v，g，j，k，q)的(u，v，g，j，k，q)即為理想空間軸線 L，且該六元函數(shù) F(u，v，g，j，k，q)的最小值的兩倍即為空間任意方向直線度誤差。

(2)最小二乘法

根據(jù)最小二乘原理，找到最小二乘中線即擬合基準(zhǔn)軸線L，使擬合圓心到該直線的距離平方和為最小。即目標(biāo)函數(shù) F(u，v，g，j，k，q)={∑d2i}滿足最小化。最小二乘中線的最小包容圓柱面的直徑即為空間任意方向直線度誤差。

(3)端點(diǎn)連線法

擬合基準(zhǔn)軸線L與兩端點(diǎn)連線平行(或重合)，并具有最小直徑的兩端點(diǎn)連線包容圓柱面。兩端點(diǎn)坐標(biāo)已知，分別為(x1，y1，z1)和(xn，yn，zn)，因此擬合基準(zhǔn)軸線方向向量為

其目標(biāo)函數(shù)F(u，v，g)={max(di)}滿足最小化時(shí)，即可求得空間任意方向直線度誤差及擬合基準(zhǔn)軸線L。

1．2 評(píng)定垂直度誤差

擬合基準(zhǔn)軸線確定后，就可進(jìn)一步計(jì)算被測(cè)端面對(duì)基準(zhǔn)軸線的垂直度誤差。根據(jù)定義，定向最小區(qū)域是指按擬合要素的方向包容被測(cè)提取要素時(shí)，具有最小寬度f(wàn)或直徑Φf的包容區(qū)域［2］。包容被測(cè)提取端面、垂直于擬合基準(zhǔn)軸線并且相距最近的兩平行平面間的距離，即為端面對(duì)軸線的垂直度誤差值。

2 Matlab程序設(shè)計(jì)

最小區(qū)域圓心的確定，用最小條件法、最小二乘法、端點(diǎn)連線法，評(píng)定空間任意方向直線度誤差和基準(zhǔn)方向，分別屬于求解二元、六元、三元函數(shù)在指定點(diǎn)附近最小值，即求解無(wú)約束條件非線性極小值。Matlab 7的優(yōu)化工具箱中的優(yōu)化算法函數(shù) fminsearch和Fminunc均可解決此類問題。只要建立以上所述的目標(biāo)函數(shù)，調(diào)用相應(yīng)的函數(shù)，即可求得結(jié)果，無(wú)需編寫求解的程序，求解過程非常簡(jiǎn)單。而評(píng)定垂直度誤差運(yùn)用Matlab數(shù)值計(jì)算功能，通過正確的數(shù)學(xué)模型即可得［3-5］。

筆者還設(shè)計(jì)了可供用戶方便操作的圖形用戶界面［6-7］，用戶可直接在界面上將所測(cè)得的數(shù)據(jù)輸入到相應(yīng)的文本框中，選定方法，即可得到基準(zhǔn)要素3種評(píng)定方法的空間任意方向直線度誤差以及垂直度誤差評(píng)定結(jié)果。利用Matlab強(qiáng)大的圖形功能對(duì)實(shí)際被測(cè)平面進(jìn)行三維顯示［3-5］。繪制出基準(zhǔn)要素3種評(píng)定方法確定的基準(zhǔn)理想要素，被測(cè)要素的實(shí)際輪廓即折面圖和上、下包容面，并可將該圖進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、縮放，可清楚地反映出被測(cè)量的幾何特征及評(píng)定準(zhǔn)則的應(yīng)用情況，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。該軟件計(jì)算精度高，直觀明了，實(shí)用性強(qiáng)。

3 測(cè)量實(shí)例

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)

用光學(xué)分度頭對(duì)一工件(如圖4所示)進(jìn)行實(shí)際測(cè)量。在工件圓柱上相鄰15 mm截取8個(gè)截面，每個(gè)截面每轉(zhuǎn)過45°由指示表在被測(cè)輪廓上測(cè)取相應(yīng)的半徑變化量△r。在光學(xué)分度工作臺(tái)上加裝一垂直導(dǎo)向定位塊，移動(dòng)杠桿千分表，在工件端面上從圓心開始向外每10 mm測(cè)量端面變化量，共測(cè)量5個(gè)截面，每截面測(cè)量間隔也為45°。所測(cè)數(shù)據(jù)如表1所示。

將測(cè)量數(shù)據(jù)輸入系統(tǒng)界面，選擇基準(zhǔn)要素的評(píng)定方法，可分別計(jì)算直線度及垂直度誤差。并在界面左邊繪出誤差示意圖，進(jìn)一步驗(yàn)證算法的正確性。如圖5所示。

表2 測(cè)量結(jié)果

最小條件法、最小二乘法、端點(diǎn)連線法等3種數(shù)據(jù)處理方法所得的結(jié)果見表2。其中最小條件法求出的基準(zhǔn)軸線直線度誤差值最小，符合國(guó)標(biāo)規(guī)定，而垂直度誤差由被測(cè)平面決定。

4 結(jié)語(yǔ)

(1)本文介紹的基準(zhǔn)符合最小條件法、最小二乘法、端點(diǎn)連線法的面對(duì)線垂直度誤差的評(píng)定方法，具有數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單、編程容易、程序短和運(yùn)行速度快等特點(diǎn)。

(2)該系統(tǒng)可同時(shí)滿足符合最小包容條件的基準(zhǔn)軸線空間直線度誤差和端面對(duì)軸線垂直度誤差的求解。

(3)檢測(cè)示意圖清楚地反映出被測(cè)量的幾何特征及評(píng)定準(zhǔn)則的應(yīng)用情況，對(duì)計(jì)算結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

(4)通過測(cè)量實(shí)例，證明了這種測(cè)量及評(píng)定方法準(zhǔn)確度高、處理效率高、成本低、適用范圍廣、實(shí)用性強(qiáng);具有較高的理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值，是一種較好的計(jì)算機(jī)輔助形位誤差評(píng)定系統(tǒng)。

［1］甘永立.幾何量公差與檢測(cè)［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2004.

［2］中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 1958—2004:產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范(GPS)形狀和位置公差檢測(cè)規(guī)定［S］.北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2005.

［3］張志涌.精通 MATLAB 6.5版［M］.北京:航空航天大學(xué)出版社，2003.

［4］飛思科技產(chǎn)品開發(fā)中心.MATLAB 7基礎(chǔ)與提高［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2005.

［5］Gerald Recktenwald.數(shù)值方法和MATLAB實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用［M］.伍衛(wèi)國(guó)，方群，張輝，等譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2004.

［6］王默玉，宗偉，劉春磊，等.基于MATLAB的圖形用戶界面的構(gòu)造方式與應(yīng)用［J］.現(xiàn)代電力.2002.19(1):76-78.

［7］梁輝.MATLAB制作圖形用戶界面的應(yīng)用［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，21(4):403-407.