韓 利，韓立國(guó)，崔 杰，鞏向博

(吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春130026)

VTI介質(zhì)隱式有限差分平面波偏移

韓 利，韓立國(guó)，崔 杰，鞏向博

(吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春130026)

這里研究了VTI(Vertical Transverse Isotropy)介質(zhì)隱式有限差分(IFD)波場(chǎng)外推算子和VTI介質(zhì)平面波偏移。在文中設(shè)計(jì)了VTI介質(zhì)IFD波場(chǎng)外推算子，將Taylor分析法求得的差分系數(shù)，作為初始解，用非線性優(yōu)化方法迭代求得算子系數(shù)。將設(shè)計(jì)的外推算子頻散曲線和偏移脈沖響應(yīng)與理論解進(jìn)行了對(duì)比分析，驗(yàn)證出外推算子有較高的精度。從各向同性介質(zhì)平面波偏移理論出發(fā)，結(jié)合VTI介質(zhì)IFD波場(chǎng)外推算子，將平面波偏移推廣到VTI介質(zhì)中。對(duì)Hess VTI標(biāo)準(zhǔn)模型擬合數(shù)據(jù)進(jìn)行偏移，偏移結(jié)果驗(yàn)證了平面波偏移在VTI介質(zhì)中的有效性，以及在加強(qiáng)特定陡傾界面成像方面的優(yōu)勢(shì)。并且，與常規(guī)VTI介質(zhì)疊前深度偏移相比，VTI介質(zhì)平面波偏移在保證成像質(zhì)量的前提下，大大減少了計(jì)算量，為各向異性偏移成像研究提供了新的技術(shù)思路。

平面波偏;VTI介質(zhì)偏移;各向異性偏移;VTI介質(zhì)波場(chǎng)外推;隱式有限差分算子

0 前言

波動(dòng)方程疊前深度偏移，可以克服Kirchhoff偏移多路徑和高頻假設(shè)的限制，能在橫向變速?gòu)?qiáng)烈的復(fù)雜地區(qū)產(chǎn)生更好的成像。但是，波動(dòng)方程疊前偏移耗時(shí)很大。為此，許多學(xué)者研究了平面波偏移在減少計(jì)算量，提高波動(dòng)方程偏移效率上的潛力。Berkhout［1]提出面炮偏移技術(shù);張叔倫等［2]實(shí)現(xiàn)了傅立葉有限差分平面波偏移;Zhang等［3]實(shí)現(xiàn)3D延遲放炮偏移;Stoffa等［4]對(duì)共檢波點(diǎn)道集和共炮道集分別作平面波偏移，再疊加以提高成像精度;崔興福等［5]利用平面波偏移進(jìn)行了分角度成像和AVA分析;葉月明等［6]研究了起伏地表下的平面波偏移;Shan等［7]提出傾斜坐標(biāo)系下平面波偏移以提高高角度成像準(zhǔn)確度;韓利［8]實(shí)現(xiàn)對(duì)稱非穩(wěn)態(tài)相移法平面波偏移。平面波偏移還可以自然地產(chǎn)生共角度道集，用來進(jìn)行速度更新［3]。

但這些關(guān)于平面波偏移的研究，基本都是在各向同性介質(zhì)下，沒有考慮各向異性介質(zhì)情況。而各向異性在石油勘探中普遍存在，如果地下介質(zhì)存在較強(qiáng)各向異性而在偏移時(shí)被忽略，反射波將不能被正確歸位［9]，甚至扭曲構(gòu)造形態(tài)，這對(duì)地層連續(xù)性和橫向構(gòu)造均有較大影響［10、11]。VTI模型可以有效地刻畫地下許多沉積地質(zhì)模型，常被用來進(jìn)行各向異性偏移研究。

與各向同性介質(zhì)相比在VTI介質(zhì)中波的頻散關(guān)系要復(fù)雜些，因?yàn)槠鋫鞑ニ俣纫蕾囉谙辔唤恰Ｋ?，在VTI介質(zhì)波場(chǎng)外推經(jīng)常使用相移加內(nèi)插［12]或顯性卷積方法［13、14]，因?yàn)閺?fù)雜的頻散關(guān)系并不增加這些方法的復(fù)雜性。但是對(duì)于相移加內(nèi)插法，需要大量的參考波場(chǎng)。顯性卷積方法在各向同性下都很難保證穩(wěn)定性，而且需要很長(zhǎng)的卷積濾波算子以保證精度。作者在本文選用能很好處理橫向變速問題的隱式有限差分(Implicit Finite Difference:IFD)算法［15]。Ristow等［16]基于弱各向異性假設(shè)和Taylor分析將其拓展到VTI介質(zhì)。為了改善精度，Liu等［17]在有限差分后加入了相位改正算子。Shan［18、19]提出了優(yōu)化的方法，將非線性問題降解為線性優(yōu)化問題，再利用線性優(yōu)化解出的系數(shù)求解差分系數(shù)。作者在本文延用Shan避開弱各向異性假設(shè)及優(yōu)化的思想，不同的是作者直接建立非線性優(yōu)化問題，并將Taylor序列展開法求得的系數(shù)作為初始解，直接使用非線性最小二乘求解差分系數(shù)，得到VTI介質(zhì)中IFD外推算子。

首先，作者介紹了各向同性介質(zhì)下的平面波偏移理論，接著闡述了在VTI介質(zhì)中IFD算子系數(shù)設(shè)計(jì)，結(jié)合二者，將平面波偏移推廣到VTI介質(zhì)中。將設(shè)計(jì)的外推算子頻散曲線和偏移脈沖響應(yīng)，分別與理論解做了對(duì)比分析，應(yīng)用Hess VTI標(biāo)準(zhǔn)模型數(shù)據(jù)來驗(yàn)證平面波偏移的有效性，并展示了平面波偏移在加強(qiáng)陡傾目標(biāo)界面成像方面的優(yōu)勢(shì)。

1 各向同性介質(zhì)平面波偏移

常規(guī)疊前偏移是通過對(duì)單個(gè)炮集進(jìn)行獨(dú)立偏移得到單炮成像，并通過疊加所有的單炮成像得到整個(gè)地下成像。波動(dòng)方程單炮偏移過程需要兩步:①將震源波場(chǎng)和接收波場(chǎng)從地表外推到地下所有的深度;②在每個(gè)深度通過對(duì)震源波場(chǎng)和接收波場(chǎng)，應(yīng)用成像條件(如做互相關(guān))得到成像。

炮集記錄可以合成一個(gè)新的數(shù)據(jù)體，來表征一個(gè)現(xiàn)實(shí)中沒有進(jìn)行的物理實(shí)驗(yàn)。這種數(shù)據(jù)合成方法的一個(gè)重要的例子，就是組合炮集記錄建立平面波震源記錄。在數(shù)學(xué)上，可以通過對(duì)共檢波點(diǎn)道集進(jìn)行傾斜疊加(線性Radon變換)來實(shí)現(xiàn):

其中R=R(sx，x，z，ω)是接收波場(chǎng);sx是震源位置;psx是相應(yīng)于sx的射線參數(shù);rx是地表檢波器位置。相應(yīng)的地表平面波震源波場(chǎng)為:

和常規(guī)波動(dòng)方程炮域偏移一樣，典型的平面波偏移也需要二步:①將震源波場(chǎng)Sp和接收波場(chǎng)Rp，分別用單程波動(dòng)方程獨(dú)立地外推到地下所有深度點(diǎn);②含有射線參數(shù)Psx的平面波成像，通過對(duì)震源波場(chǎng)和用圓頻率ω加權(quán)了的檢波波場(chǎng)作互相關(guān)實(shí)現(xiàn):

其中S*p是震源波場(chǎng)Sp的復(fù)共軛。

整個(gè)圖像通過疊加所有Psx值的平面波成像得到:

因?yàn)閮A斜疊加和偏移都是線性算子，在連續(xù)情況下，平面波偏移與傳統(tǒng)的炮剖面偏移效果一樣［2]。在實(shí)際離散形式下，需要有足夠數(shù)量的P值使二種成像等同。Zhang等討論了在平面波偏移方法實(shí)際應(yīng)用中需要的共P剖面數(shù)量Np及分量采樣步長(zhǎng)Δp:

其中f=ω/2π，Ns為一個(gè)共檢波道集中的炮數(shù);Δxs為炮間距，所以NsΔxs為一個(gè)共檢波道集的長(zhǎng)度;入射角α1≤αs≤α2;vs為地表速度。

2 VTI介質(zhì)中IFD算子設(shè)計(jì)

2.1 VTI介質(zhì)中的頻散關(guān)系

VTI介質(zhì)有一個(gè)豎向旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，相速度依賴于介質(zhì)的豎向速度及相速度的傳播角。在VTI介質(zhì)中，qP－波和qSV－波的相速度，可以用Thomsen符號(hào)表示(Tsvankin，1996):

其中 θ為波的相位角，即波傳播方向與豎向軸之間的夾角;f=1－(vs0/vp0)2;vp0和vs0分別為qP－波和qSV－波在豎向方向的速度。

在式(6)中，當(dāng)根號(hào)前符號(hào)為正時(shí)，v(θ)為qP－波的相速度，為負(fù)時(shí)，v(θ)為qSV－波的相速度。

通過式(6)及相位角θ和波數(shù)的關(guān)系，可以得到VTI介質(zhì)中的頻散關(guān)系［18]:

其中sz=kzvp0/ω，系數(shù)d0、d2和d4分別為:4

其中sx=kxvp0/ω。

VTI介質(zhì)中的頻散關(guān)系式(7)是一個(gè)有四個(gè)解的四次方程，其中二個(gè)解代表上行/下行qP－波，另外二解代表上行/下行qSV－波。我們只考慮qP－波的外推。

2.2 IFD算子系數(shù)設(shè)計(jì)

在實(shí)際應(yīng)用中，假設(shè)在qSV－波速比qP－波速度小得多時(shí)有f≈1，Shan［18、19]根據(jù)這個(gè)假設(shè)，從式(7)中簡(jiǎn)化qP－波的頻散關(guān)系為:

該頻散關(guān)系雖然有一點(diǎn)假設(shè)，但不受弱各向異性的限制。對(duì)式(8)進(jìn)行逆Fourier變換，得到VTI介質(zhì)下的上行和下行單程聲波方程式(9)(用代替sz，用代替s2x)。

為了設(shè)計(jì)式(9)的IFD模式，需要用一個(gè)加權(quán)函數(shù)式(10)近似sz:

這里加權(quán)函數(shù)系數(shù)αi和βi也可以通過Pade展開得到。Shan提出用優(yōu)化的方法求解，首先建立加權(quán)優(yōu)化函數(shù)，并將其化為線性最小二乘可解的優(yōu)化函數(shù)，在求得優(yōu)化系數(shù)后進(jìn)一步分裂為式(11)的形式:

其中 系數(shù)ai和bi通過αi和βi，i=1、…、n計(jì)算得到。

作者直接從式(8)設(shè)計(jì)加權(quán)函數(shù)式(11)，建立如式(12)的優(yōu)化問題。

式(12)是一個(gè)非線性優(yōu)化問題，需要用非線性最小二乘法解。作者采用高斯～牛頓迭代法解［23]，利用Taylor展開分析算出一組ai和bi，i=1、…、n作為迭代的初始解，這樣就可以減少迭代的計(jì)算量。在算出系數(shù)ai和bi后，VTI介質(zhì)中的IFD波場(chǎng)外推和各向同性下相同。

圖1是當(dāng)各向異性參數(shù)為ε=0.2、δ=0.15時(shí)，對(duì)幾種頻散關(guān)系與VTI介質(zhì)頻散關(guān)系解析解進(jìn)行的比較。在圖1中，曲線“True”是由式(8)得到的真實(shí)頻散關(guān)系;曲線“Isotropic”是不考慮各向異性影響時(shí)的頻散關(guān)系;曲線“Taylor－weak”是由D Ristow等［16]方法解出的頻散關(guān)系。可以看出，這種近似在低相位角時(shí)擬合的很好，而在高相位角時(shí)有些偏差;曲線“Optimization”為用本文建立的優(yōu)化式(12)解出的頻散關(guān)系，由圖1中可以看出，這種近似與真實(shí)頻散關(guān)系幾乎完全匹配，精度很高。幾種近似方法在各向異性參數(shù)為ε=0.2、δ=0.15時(shí)，對(duì)應(yīng)的四階優(yōu)化系數(shù)(n=2)見表1。用同樣的辦法也可以擬合更高階差分系數(shù)。

圖1 頻散關(guān)系曲線比較(ε=0．2，δ=0．15)Fig.1 Dispersion relation comparison withε=0．2，δ=0．15

表1 ε=0．2、δ=0．15幾種方法求出的四階(n=2)優(yōu)化系數(shù)Tab.1 The coefficients of different approximately operators withε=0．2，δ=0．15

圖2(見下頁(yè))是在各向異性參數(shù)為ε=0.2、δ=0.15，速度vp0=2 000 m/s，時(shí)間t=0.8 s時(shí)，幾種方法的偏移脈沖響應(yīng)。其中，深色線是根據(jù)式(6)及速度時(shí)間等參數(shù)算出的理論曲線(理論曲線單程按t=0.4 s計(jì)算)。圖2(a)是各向同性IFD 80°差分算子對(duì)各向異性介質(zhì)下的脈沖響應(yīng)，從圖2(a)中可以明顯看出，忽略各向異性將會(huì)帶來很大誤差，尤其是在橫向方向誤差較大;圖2(b)是由Taylor展開法計(jì)算得到的差分系數(shù)構(gòu)建差分算子得到的脈沖響應(yīng)，從圖2(b)中可以看出，脈沖響應(yīng)與理論曲線基本吻合，但在在大角度時(shí)失真。圖2(c)為解本文構(gòu)建的非線性優(yōu)化問題式(12)得到的差分系數(shù)得到的偏移脈沖響應(yīng)，與理論曲線匹配的非常好，這就證明本文使用直接解非線性優(yōu)化問題得到的差分系數(shù)非常準(zhǔn)確。

圖2 幾種方法的脈沖響應(yīng)，VTI介質(zhì)參數(shù):vp0=2 000 m/s，ε=0．2，δ=0．15，t=0．8 sFig.2 Impulse response of a tilted VTImedia with vp0=2 000 m/s，ε=0．2，δ=0．15，t=0．8s

3 VTI介質(zhì)平面波偏移

在各向同性介質(zhì)中，平面波偏移通過解上行/下行波方程，再利用式(3)和式(4)的成像過程成像。在VTI介質(zhì)中，平面波的合成過程和成像物理過程是不變的，但應(yīng)用的波傳播方程不一樣了。利用上面構(gòu)建的VTI介質(zhì)中IFD外推算子，來解VTI介質(zhì)中聲波方程(9)。VTI介質(zhì)中波場(chǎng)外推算子的精度越高，成像越精確，但算子精度越高需要求解的優(yōu)化問題計(jì)算量就越大，這就使得各向異性偏移計(jì)算量一般要高于各向同性情況。應(yīng)用平面波偏移，較常規(guī)各向異性偏移大大減少了偏移的計(jì)算量。

另外，在常規(guī)VTI介質(zhì)偏移中，由于偏移孔徑的限制，單炮偏移只能加強(qiáng)很窄孔徑內(nèi)的成像，而應(yīng)用平面波偏移，每一個(gè)P面的成像孔徑是整個(gè)測(cè)線，參數(shù)P又與地下界面傾角有一定的關(guān)系，根據(jù)這一原理，對(duì)特定P參數(shù)成像，可加強(qiáng)地下特定角度界面的成像。

4 模擬算例

理論實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿?shù)據(jù)采用Hess VTI標(biāo)準(zhǔn)模型，擬合數(shù)據(jù)由Amerada Hess提供，該數(shù)據(jù)是用Standford University SEP實(shí)驗(yàn)室的有限差分正演軟件正演的，不包含與地表有關(guān)的多次波。數(shù)據(jù)由720個(gè)炮集組成，網(wǎng)格間距d x=d z=6.096 m，炮間距30.48 m，道間距12.192 m，最小偏移距0 m，最大偏移距7 985.8 m，采樣時(shí)長(zhǎng)為7.992 s，采樣間隔為6 ms。模型如圖3所示。

圖3 Hess VTI標(biāo)準(zhǔn)模型Fig.3 Hess VTImodel

圖4是應(yīng)用各向同性介質(zhì)下有限差分做的疊前深度偏移。

圖4 各向同性波動(dòng)方程IFD法偏移結(jié)果Fig.4 Imaging obtained by Isotropic IFD operator

圖5是使用式(12)構(gòu)造的VTI介質(zhì)中波場(chǎng)外推算子做的常規(guī)炮剖面法VTI介質(zhì)疊前深度偏移。

對(duì)比圖4與圖5，從A、B二處可以看出，如果地下是各向異性介質(zhì)，用各向同性的方程偏移不能將地質(zhì)體正確歸位。

根據(jù)方程(5)，NsΔxs取最大偏移距長(zhǎng)度為7 986 m，f取45 Hz，α 取 正、負(fù)30°，vs取1 500 m/s，則得到 Δp=2.8μs/m，Np=240。如果NsΔxs取小一點(diǎn)還可以取更少的P面。圖6是用240個(gè)P面疊加得到的VTI介質(zhì)中平面波偏移結(jié)果，與圖5比較，平面波偏移用小于常規(guī)偏移幾倍的計(jì)算量得到與之相同質(zhì)量的成像。

從圖5和圖6可以看出，不管是常規(guī)炮剖面偏移方法還是平面波偏移方法，在鹽體左腰處陡界面成像質(zhì)量都較差。因此，通過偏移加強(qiáng)陡傾界面成像意義重大。

圖5 VTI介質(zhì)中傳統(tǒng)波動(dòng)方程IFD偏移結(jié)果Fig.5 Imaging obtained by conventional VTImedia shotprofilemethod wave equationmigration

圖6 VTI介質(zhì)中平面波IFD法偏移結(jié)果Fig.6 Imaging obtained by VTImedia plane wave IFDmigration

圖7(見下頁(yè))是平面波偏移加強(qiáng)圖5、圖6中陡傾界面C的說明。圖7(a)分別為炮點(diǎn)在1 738 m、3 048 m、4 816 m、6 200 m處的單炮偏移剖面，圖7(b)分別為P等于 －131μs/m、－197μs/m、－262μs/m、－329μs/m時(shí)的單P偏移剖面。對(duì)比圖7(a)和圖7(b)可以發(fā)現(xiàn)，受偏移孔徑限制，單炮偏移不能由某一炮或幾炮對(duì)地下陡傾界面進(jìn)行成像加強(qiáng)，而在平面波偏移中，一個(gè)單P面偏移對(duì)與之對(duì)應(yīng)傾角的地下界面成像貢獻(xiàn)較大，通過對(duì)特定的某個(gè)或幾個(gè)P面成像加權(quán)，就能加強(qiáng)特定地下界面成像。如圖7(c)為P等于300μs/m附近五個(gè)偏移剖面疊加之和，只對(duì)與之角度對(duì)應(yīng)的界面成像(如界面C)。圖7(d)與圖7(e)分別為平面波偏移對(duì)界面C加強(qiáng)前后的效果。由圖7可見，陡傾界面C成像明顯加強(qiáng)。

圖8(見后面)為特定陡傾界面加強(qiáng)后的效果，從圖8中可以看出，陡傾界面C有了明顯的加強(qiáng)。在基本沒有增加計(jì)算量的情況下，在平面波偏移中，特定P面偏移改善了陡傾界面成像效果。

5 結(jié)論

作者在本文用優(yōu)化方法設(shè)計(jì)了VTI介質(zhì)隱式有限差分波場(chǎng)外推算子，將Taylor展開法求得的差分系數(shù)作為初始解，用非線性優(yōu)化方法迭代求得差分算子系數(shù)。通過與VTI介質(zhì)頻散關(guān)系和偏移脈沖響應(yīng)理論解對(duì)比分析證明，各向同性IFD算子在VTI介質(zhì)偏移中會(huì)帶來很大誤差，尤其是在橫向方向。Taylor展開法VTI介質(zhì)IFD算子在低相位角時(shí)比較準(zhǔn)，但高相位角時(shí)有一定誤差。而作者在文中用優(yōu)化的方法求取的VTI介質(zhì)IFD算子頻散曲線和偏移脈沖響應(yīng)，與解析解匹配的都非常好，這也證明了設(shè)計(jì)算子的精度很高，而且不受弱各向異性假設(shè)限制。從計(jì)算量方面考慮，優(yōu)化的VTI介質(zhì)IFD算子比各向同性介質(zhì)多出的計(jì)算量部份，為求取差分系數(shù)的部份，如果建立優(yōu)化VTI差分系數(shù)庫(kù)，采用表格查找系數(shù)方式，這部份時(shí)間就可忽略，而求取系數(shù)之后的計(jì)算量和各向同性下相同。

圖7 平面波偏移加強(qiáng)特定陡傾界面成像Fig.7 Enhancing steep reflectors imaging by plane wavemigration

圖8 特定P剖面加強(qiáng)陡傾界面C成像后的效果Fig.8 Imaging after steep reflectors enhancing by specifical Pmigration

作者在文中，結(jié)合設(shè)計(jì)的VTI介質(zhì)下IFD波場(chǎng)外推算子，將平面波偏移理論推廣到VTI介質(zhì)中，并將該算法用于國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)Hess VTI模型。擬合數(shù)據(jù)算例表明，VTI介質(zhì)下平面波偏移在保證成像質(zhì)量的同時(shí)，大大降低了計(jì)算量，這對(duì)各向異性偏移研究有重要意義。作者還給出了平面波偏移在加強(qiáng)特定陡傾界面成像方面的應(yīng)用，平面波偏移用很少的計(jì)算量就能加強(qiáng)陡傾界面成像，這是常規(guī)炮剖面法偏移沒有的一個(gè)優(yōu)勢(shì)。

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P 631.4

A

1001—1749(2011)02—0115—07

國(guó)家“973”項(xiàng)目(2007CB209603);國(guó)家863項(xiàng)目(2007AA060801)

2010－07－15改回日期:2010－10－25

韓利(1984－)，男，河北保定人，博士，主要從事地震偏移成像和反演方面的研究。