戴曉東 江熒 彭定

（蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 蕪湖 241006）

寬板塑性彎曲變薄的理論解

戴曉東 江熒 彭定

（蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 蕪湖 241006）

文章提出了寬板彎曲變薄的兩種理論解法，利用兩種解法分別對(duì)理想塑性和線性硬化板材的彎曲變形進(jìn)行了分析，推導(dǎo)出彎曲過(guò)程中寬板外表面半徑、板料厚度、變薄系數(shù)、以及應(yīng)變中性層內(nèi)移系數(shù)等參數(shù)隨彎板內(nèi)半徑變化的一系列理論解。通過(guò)實(shí)例計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果與生產(chǎn)實(shí)際中廣泛應(yīng)用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)二者非常接近。

塑性彎曲；厚度變化；理論解；近似理論解

寬板塑性彎曲是沖壓生產(chǎn)中的一種典型工藝。由于寬度w遠(yuǎn)大于厚度t，故寬度方向基本上不變形（），一般作為平面變形問(wèn)題處理。在彎曲過(guò)程中整個(gè)板厚不斷變薄，這已是眾所周知的客觀事實(shí)，]早在1950年就介紹了經(jīng)試驗(yàn)得到的彎曲變薄系數(shù)和應(yīng)變中性層內(nèi)移系數(shù)k的部分?jǐn)?shù)據(jù)（見(jiàn)表1-1）。這些數(shù)據(jù)半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，一直為我國(guó)各種沖壓教材、設(shè)計(jì)手冊(cè)和生產(chǎn)企業(yè)廣泛使用。但這些數(shù)據(jù)并未揭示系數(shù)和k在彎曲過(guò)程中連續(xù)變化的內(nèi)在規(guī)律，沒(méi)有揭示和與彎板內(nèi)、外表面的曲率半徑R和r之間有何關(guān)系。為了找出它們的關(guān)系，已有一些學(xué)者[2][3]進(jìn)行了研究，但至今為止還沒(méi)有一種成熟的數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬板厚的變化規(guī)律。為了不使人們對(duì)寬板塑性彎曲變薄的認(rèn)識(shí)長(zhǎng)期停留在低水平的經(jīng)驗(yàn)階段，用科學(xué)的理論去指導(dǎo)工藝實(shí)踐。本文作者提出了兩種彎曲變薄理論及求解方法[4]～[6]（理論解法和近似解法），并結(jié)合數(shù)值實(shí)例對(duì)理論求解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較?，F(xiàn)將該項(xiàng)研究成果系統(tǒng)整理如下。

1.寬板塑性彎曲變薄的理論解

圖1為寬板彎曲過(guò)程中在某一微小時(shí)間間隔△前后的變形情況。經(jīng)過(guò)△時(shí)間，內(nèi)半徑由變?yōu)?，外半徑由變?yōu)?，厚度由變?yōu)椋ㄗ⒁猓汉途鶠樨?fù)值），而彎曲中心角變?yōu)椋檎担?/p>

圖1 板材彎曲過(guò)程中的尺寸變化

設(shè)寬板在彎曲過(guò)程中恒保持圓弧狀，而且橫截面恒保持平面，則彎曲后外表面環(huán)向長(zhǎng)度（）將伸長(zhǎng)，內(nèi)表面環(huán)向長(zhǎng)度將縮短，而且伸長(zhǎng)量與縮短量的比值與內(nèi)、外表面到應(yīng)力中性層的法向距離的比值相等，即：

1.1 理想塑性板材彎曲變薄的理論解

對(duì)于理想塑性板材，其彎曲應(yīng)力中性層半徑：

1.2 線性硬化板材彎曲變薄的理論解

對(duì)于線性硬化板材，設(shè)材料的硬化曲線方程為：

1.3 理想塑性及線性硬化板材彎曲變薄理論解與試驗(yàn)結(jié)果的比較

(1)計(jì)算程序

由（1-7）或（1-12）式求得R以后，依據(jù)以上公式，不難求得寬板在彎曲過(guò)程中任一時(shí)刻的值以及它們隨內(nèi)表面半徑r變化的規(guī)律。

（2）計(jì)算實(shí)例

實(shí)例：設(shè)兩種不同硬化特性的板坯，一種是理想塑性，另一種有線性硬化特性，其硬化特性如式（1-8）所示（其材料性能參數(shù)＝360Mpa，B=520Mpa），二者的原始厚度均為＝1mm。當(dāng)彎到＝10mm、＝9mm時(shí)，厚度都還沒(méi)有明顯變?。ㄒ?yàn)閺澢冃纬潭冗€不夠大）?，F(xiàn)在繼續(xù)彎曲，直到最后＝0.1mm為止。假設(shè)板材仍未發(fā)生破裂。求彎曲過(guò)程中R、t、和K等參數(shù)隨r變化的規(guī)律。計(jì)算結(jié)果如表1-1和圖2、圖3所示。該理論解與當(dāng)前廣泛應(yīng)用的查表法的試驗(yàn)數(shù)據(jù)十分吻合。

圖2 理想塑性板材彎曲變薄系數(shù)的理論值和試驗(yàn)值曲線圖

圖3 線性硬化板材彎曲變薄系數(shù)的理論值和試驗(yàn)值曲線圖

表1-1 寬板塑性彎曲變薄理論解和試驗(yàn)值[1]比較表

2.寬板塑性彎曲變薄的近似解法

上述理論求解方法較為復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化求解過(guò)程，本文提出另一種近似理論求解方法。其推導(dǎo)方法如下：

由塑性變形體積不變條件知，

2.1 理想塑性板材彎曲變薄的近似解

由理想塑性板材厚向應(yīng)力連續(xù)條件知，其應(yīng)力中性層半

將（2-6）式和（2-7）式代入（2-5）式，可以求得：

對(duì)上式利用公式（1-6）進(jìn)行數(shù)值積分，即可求得整個(gè)彎曲過(guò)程中，外表面半徑隨內(nèi)表面半徑變化的表達(dá)式：

2.2 線性硬化板材彎曲變薄的近似解

因?yàn)榫€性硬化板材的應(yīng)力中性層半徑為

2.3 理想塑性及線性硬化板材彎曲變薄的近似解與試驗(yàn)結(jié)果的比較

采用前述相同的計(jì)算程序與計(jì)算示例，由（2-9）或（2-17）式求得R以后，分別代入（1-14）式和（1-15），可求得寬板在彎曲過(guò)程中任一時(shí)刻的值以及它們隨內(nèi)表面半徑r變化的規(guī)律。計(jì)算結(jié)果如表2-1和圖4、圖5所示。即使是近似解法，其計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值仍然相當(dāng)吻合，這也證明了此近似假設(shè)的合理性。

圖4 理想塑性板材、的理論值和經(jīng)驗(yàn)值曲線圖

圖5 線性硬化板材、的理論值和經(jīng)驗(yàn)值曲線圖

表2-1 寬板塑性彎曲變薄的近似解和試驗(yàn)（查表）值比較表

［1］（蘇）祖巴卓夫.冷壓技術(shù)[M].上海：龍門書局，1953.

［2］Hill R.The Mathematical Theory of Plasticity[M].oxford:oxford university press,1950.

［3］王祖唐等.金屬塑性成型原理[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1989.

［4］彭炎榮，江熒等.理想塑性及線性硬化板材彎曲成形的變薄規(guī)律[J].塑性工程學(xué)報(bào)，2003，10（3）：22～25.

［5］江熒，彭炎榮等.關(guān)于寬板塑性彎曲變薄理論解的討論[J].金屬成形工藝，2004，22（3）：30～32.

［6］江熒，彭炎榮等.關(guān)于理想塑性板材彎曲變薄理論解的矛盾及原因分析[J].塑性工程學(xué)報(bào)，2006，13（1）：26～28.

A theoretical solution to thickness variation of bending metal sheet

Dai Xiao-dong，Jiang Ying，Peng Ding
（Wuhu Institute of Technology，Wuhu Anhui 241006，China）

Two theoretical solution to thickness reduction of plastic bending sheet is presented,Utilize two method,the thin out of bending metal sheet with ideal plasticity and linear hardening character are analyzed separately,and the formula calculated the variation of the radius of out side suface,thickness of the sheet,thin out coefficient and the inward removal of neutral layer with the radius of the inside suface of bending sheet are derived.The result of theoretical calculation is compared with the experimental data that is used extensively in production reality.The result is shown that both the theoretical solution and the experimental data are very close.

plastic bending;thickness variation;theoretical solution;similar theoretical solution

TG386.31

A

1672-0547（2011）01-0098-03

2010-10-29

戴曉東（1968-），男，安徽繁昌人，蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械系講師，工程師，研究方向：數(shù)控技術(shù)；江熒（1976-），女，蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，碩士，研究方向：材料成形。