林洪樺

(北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛工程學(xué)院)

1 概述

《測(cè)量不確定度指南》ISO 1993（E）[1]（簡(jiǎn)稱GUM）頒布至今幾近廿載，對(duì)于我國(guó)使用和評(píng)定測(cè)量不確定度起到了促進(jìn)和規(guī)范化的作用。尤其在計(jì)量基準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)的建立、量?jī)x檢定、各種計(jì)量技術(shù)法規(guī)的制定等方面更有利于國(guó)際比對(duì)及與之接軌。盡管在此期間與其相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)和技術(shù)規(guī)范都曾作過(guò)修訂和補(bǔ)充,然而均未做出本質(zhì)性更改，而只是完善和增補(bǔ)了些術(shù)語(yǔ)和定義、更明確了適用范圍、添加了應(yīng)用技術(shù)等。GUM(ISO/IEC Guide98-3-2008)以及我國(guó)報(bào)審的JJF1059.1 《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》均基于誤差理論，且是在國(guó)內(nèi)外有關(guān)專家繼承、發(fā)展測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)上，經(jīng)“求同存異”而商討的結(jié)果，因而在GUM實(shí)施中不免會(huì)有不同的見(jiàn)解和異議，也包含誤差理論發(fā)展上要求擴(kuò)展應(yīng)用GUM的問(wèn)題。

作者自1962年從事測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理的教學(xué)與科研以來(lái)，就一直在探討誤差的量化表示方法。在GUM 頒布之前的一些征求意見(jiàn)的討論中，就已認(rèn)為測(cè)量不確定度實(shí)質(zhì)上是測(cè)量誤差的一種規(guī)范性量化形式，有利于量值準(zhǔn)確度的國(guó)際比對(duì)。GUM 頒布之時(shí)又恰在誤差分類不一、誤差估算與合成方法眾說(shuō)紛紜的發(fā)展階段，GUM 的頒布及時(shí)地取得了統(tǒng)一一致的規(guī)范化效果。然而，GUM ISO 1993（E）版本仍然不免存在某些矯枉過(guò)正之弊，如免用真值、不涉及誤差、不主張誤差，按其性質(zhì)分類：系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差等等，引起當(dāng)時(shí)科技界專家和學(xué)者對(duì)GUM理解的差異，甚至是錯(cuò)誤見(jiàn)解，如將不確定度與誤差對(duì)立起來(lái)。盡管經(jīng)過(guò)GUM不斷貫徹實(shí)施以及修訂和補(bǔ)充，已漸統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，但仍不免有些異議。

可見(jiàn)，捋清測(cè)量不確定度評(píng)定與誤差理論關(guān)系，仍是當(dāng)前值得論述的問(wèn)題。下面在作者編著的“測(cè)量誤差與不確定度評(píng)估”[2]中有關(guān)論述的基礎(chǔ)上，再作如下的歸納。

2 測(cè)量不確定度與真值和測(cè)量誤差

無(wú)論以往還是現(xiàn)今，對(duì)于測(cè)量不確定度的定義都是指表征賦予被測(cè)量值分散性的非負(fù)參數(shù)。顯然，這里可以不涉及真值，也避免了測(cè)量誤差定義為測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量真值而引起的不可確定性，卻并無(wú)法表明不確定度與真值、誤差的關(guān)系。

首先，測(cè)量不確定度的來(lái)源：被測(cè)量定義及其體現(xiàn)；計(jì)量基準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)件；測(cè)量設(shè)備；測(cè)量方法；測(cè)量環(huán)境條件；測(cè)量人員等方面，幾乎與傳統(tǒng)上分析測(cè)量誤差來(lái)源完全一致。也可以說(shuō)，這是繼承了測(cè)量誤差來(lái)源分析經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果。

其次，測(cè)量不確定度評(píng)定是在已修正顯著系統(tǒng)影響且不計(jì)及異常值的條件下進(jìn)行。這樣的前提條件，實(shí)質(zhì)上都不免應(yīng)針對(duì)被測(cè)量真值而言。顯然，被測(cè)量值的分散性可以圍繞著或接近于真值而分散，也可能遠(yuǎn)離其真值而分散。在實(shí)現(xiàn)定量化分析中真值多以約定真值來(lái)替代，也都需要繼承、吸取傳統(tǒng)系統(tǒng)誤差和粗大誤差的分析、估計(jì)和識(shí)別經(jīng)驗(yàn)。

問(wèn)題在于對(duì)誤差定義的理解上有些絕對(duì)化。在測(cè)量中，測(cè)量誤差Δx定義為被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的真值x0，即Δx=-x0。而x0卻是待定的未知真實(shí)值，因而誤差似乎就是難以確知的。其實(shí)誤差歷來(lái)都是針對(duì)無(wú)誤差的目標(biāo)值定義的，只不過(guò)應(yīng)予合理地規(guī)范化定量表示而已。傳統(tǒng)的誤差理論上對(duì)測(cè)量結(jié)果的表示為：其中為測(cè)量數(shù)據(jù)的均值；Δ0為系統(tǒng)誤差修正值(針對(duì)真值/約定真值做出的估計(jì))；Δlim為極限誤差。通常Δlim= k s+∑iei，前項(xiàng)為測(cè)量數(shù)據(jù)的k倍標(biāo)準(zhǔn)差；后項(xiàng)為剩余系統(tǒng)誤差、先驗(yàn)隨機(jī)誤差等等的總和。這與GUM中所論述的不確定度評(píng)定方法并不存在本質(zhì)性矛盾。

因此，不確定度評(píng)定不僅不應(yīng)與誤差理論割裂，反而應(yīng)繼承且依據(jù)傳統(tǒng)的誤差理論及其發(fā)展現(xiàn)狀。同時(shí)，也不可能完全避開(kāi)真值和測(cè)量誤差，應(yīng)視為測(cè)量誤差在已修正顯著系統(tǒng)誤差，且經(jīng)識(shí)別并剔除異常值后，關(guān)于被測(cè)量值分散性的一種規(guī)范化定量表示形式。以下的幾點(diǎn)繼續(xù)論述將更有力地支持這種統(tǒng)一一致的論點(diǎn)。

3 測(cè)量不確定度評(píng)定方法與誤差分類

不確定度評(píng)定強(qiáng)調(diào)可操作性，且在GUM中提出了兩類評(píng)定方法：對(duì)測(cè)量列用統(tǒng)計(jì)分析的A類評(píng)定與其它不同于A類的B類評(píng)定(列舉出了一系列B類評(píng)定的提示性方法)，且均以標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)定量表示不確定度u，又表明無(wú)需予以嚴(yán)格區(qū)分。同時(shí)指出，這兩類評(píng)定方法并不對(duì)應(yīng)著隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差兩種分類，這無(wú)疑有利于對(duì)被測(cè)量值分散性做出規(guī)范化定量表示。盡管這種分散性中含有隨機(jī)性影響因素，也含有已修正顯著系統(tǒng)影響后剩余系統(tǒng)性影響因素，卻無(wú)需糾纏其起因。

然而，誤差來(lái)源不同對(duì)測(cè)量結(jié)果影響就各異。在誤差理論中，傳統(tǒng)上對(duì)誤差按其性質(zhì)不同劃分為兩類：系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。前者指的是對(duì)同一量多次測(cè)量過(guò)程中，保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差分量，并定義為在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多(或足夠多)次測(cè)量結(jié)果的平均值減去被測(cè)量的真值；后者則是以不可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差分量，并定義為測(cè)量結(jié)果減去在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多(或足夠多)次測(cè)量結(jié)果的平均值。這種分類既是客觀存在也是應(yīng)予認(rèn)知的。以往存在定量化與估計(jì)形式不一致問(wèn)題，尤其系統(tǒng)誤差定量化分析、估計(jì)主要依賴于專業(yè)技能，“個(gè)性”強(qiáng)而共性弱，難有普適性方法可循。這也就是造成誤差量化指標(biāo)(如隨機(jī)性系統(tǒng)誤差、半系統(tǒng)誤差、不定常差等[2])，不易統(tǒng)一 一致的主要原因，即便是共性強(qiáng)的隨機(jī)誤差其量化指標(biāo)也不一致(如標(biāo)準(zhǔn)差、平均誤差、四分位差、中位絕對(duì)差等[2])。

因此，應(yīng)強(qiáng)調(diào)統(tǒng)一規(guī)范化定量評(píng)定指標(biāo)與估計(jì)方法，而非免用誤差分類。如前已述，GUM 中只規(guī)范化了不確定度的評(píng)定方法，至于顯著性的系統(tǒng)誤差仍有待進(jìn)一步規(guī)范化其評(píng)定指標(biāo)和估計(jì)及修正方法，這仍然需要依據(jù)傳統(tǒng)誤差理論及其在系統(tǒng)誤差評(píng)定上成熟經(jīng)驗(yàn)。

4 測(cè)量不確定度評(píng)定與概率分布

GUM中強(qiáng)調(diào)指出，對(duì)不確定度的A類評(píng)定和B類評(píng)定分別按基于頻率、基于信任度的概率分布所估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)定量表示。這點(diǎn)與誤差理論完全吻合，只不過(guò)其適用范圍還未能滿足當(dāng)前誤差理論發(fā)展要求，如對(duì)于測(cè)量模型輸入分量的概率分布未能適用于不對(duì)稱分布，其合成后輸出量的概率分布還僅適用于近似正態(tài)分布或t分布等，以及測(cè)量模型的非線性度較嚴(yán)重等情況。盡管當(dāng)前已補(bǔ)充了《用蒙特卡洛法評(píng)定測(cè)量不確定度》標(biāo)準(zhǔn)，卻仍感不足，尤其在常見(jiàn)小樣本數(shù)據(jù)處理中很難確定不確定度應(yīng)基于那一個(gè)典型概率分布來(lái)定量表示。建議應(yīng)用概率分布統(tǒng)示法[2～4]，即統(tǒng)一采用一種模式分布密度函數(shù)p(x,θi)，通過(guò)改變其參數(shù)i值來(lái)表示各種不同形態(tài)的具體分布pi(x)，并要求表示出范圍較廣的各種常用對(duì)稱分布和非對(duì)稱分布，這樣更加合乎實(shí)際情況。

因此，GUM 有待于進(jìn)一步擴(kuò)展應(yīng)用于非正態(tài)分布和非對(duì)稱分布，以及非線性測(cè)量模型等當(dāng)前科技與誤差理論發(fā)展現(xiàn)況的需要。

5 合成不確定度與誤差合成理論

在GUM中按隨機(jī)變量的方差傳遞規(guī)律導(dǎo)出不確定度傳遞律進(jìn)行不確定度分量合成。這點(diǎn)也與誤差理論中的誤差合成理論基本符合。當(dāng)測(cè)量模型y=f (x1, x2,…,xm)可線性化，即按Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)可略去其二階以上高階項(xiàng)條件下，依據(jù)方差/協(xié)方差分量之和的合成方法，所得即為合成方差，也即可得合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：

式中，uy為 y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；為函數(shù)y=f (x 1 , x2,…,xm)在與測(cè)量結(jié)果y對(duì)應(yīng)的輸入量值{}點(diǎn)處對(duì)xi的偏導(dǎo)數(shù)，即輸入量xi單獨(dú)對(duì)輸出量y影響的線性化誤差傳遞系數(shù)，也稱為不確定度傳遞的靈敏系數(shù)；ui為輸入量xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；rij為xi與xj相關(guān)系數(shù)估計(jì)。這樣的誤差合成規(guī)律在傳統(tǒng)誤差理論中早已公認(rèn)，只不過(guò)GUM再予以規(guī)范化而已。于是，在合成不確定度評(píng)定中，關(guān)鍵問(wèn)題之一即確定靈敏系數(shù)Ci，估計(jì)相關(guān)系數(shù)rij及對(duì)相關(guān)項(xiàng)的處理方法等，均需借鑒以往誤差合成方面的經(jīng)驗(yàn)。

不僅如此，在擴(kuò)展不確定度評(píng)定即U = kuc及確定包含因子k方面，就更離不開(kāi)誤差合成與極限誤差估計(jì)方面的經(jīng)驗(yàn)以及當(dāng)今誤差理論發(fā)展。實(shí)際上表述測(cè)量結(jié)果y的擴(kuò)展不確定度 U目的，就是以很大的概率表示出被測(cè)量的真實(shí)值所在范圍±U，顯然將涉及誤差合成概率分布這個(gè)難題。

在GUM中對(duì)擴(kuò)展不確定度評(píng)定近作了簡(jiǎn)要的規(guī)定，如包含因子k一般取2或3，或者依據(jù)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc的有效自由度νeff而按t分布取kp= tp(νeff)，p = 0.90～0.99。顯然僅當(dāng)合成概率分布接近于正態(tài)分布或t分布時(shí)可應(yīng)用。實(shí)踐以及用蒙特卡洛法仿真合成概率分布的結(jié)果[2,5]均已表明現(xiàn)有 GUM 的適用范圍偏小了些，因此又補(bǔ)充了《用蒙特卡洛法評(píng)定測(cè)量不確定度》的標(biāo)準(zhǔn)?？磥?lái)至少還應(yīng)補(bǔ)充在非對(duì)稱分布方面的應(yīng)用。

由此可見(jiàn)，在測(cè)量不確定度評(píng)定上應(yīng)用到誤差理論的成果方面還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

6 關(guān)于GUM在擴(kuò)展應(yīng)用誤差理論上的看法

誤差理論隨著科技的飛躍發(fā)展而不斷地發(fā)展，顯然測(cè)量不確定度評(píng)定技術(shù)也應(yīng)隨之有所進(jìn)展，這點(diǎn)在GUM 中已有所注明。諸如：表明了只是評(píng)定和表示不確定度的通用規(guī)則，而不是詳細(xì)技術(shù)規(guī)范和說(shuō)明；未涉及專門(mén)測(cè)量領(lǐng)域的特殊問(wèn)題，或不確定度定量表示的各種用途；只提供了評(píng)定不確定度的框架，并不能替代周密的思考、誠(chéng)實(shí)的理智和專業(yè)的技巧；對(duì)不確定度的A類評(píng)定并未談完，還有許多復(fù)雜的情況需用統(tǒng)計(jì)方法處理；對(duì)不確定度的B類評(píng)定也只是提示性的討論等等。同時(shí)，在某些相應(yīng)的條文中也提及應(yīng)用最大熵方法、Bayes方法等一些非傳統(tǒng)方法[1]。

顯然，對(duì)于GUM也存在應(yīng)適應(yīng)于當(dāng)前科技發(fā)展需要，及對(duì)測(cè)量可靠性和準(zhǔn)確度有更高的要求形式，用于擴(kuò)展應(yīng)用問(wèn)題。作者據(jù)當(dāng)今誤差理論發(fā)展的現(xiàn)況，提出以下若干應(yīng)予擴(kuò)展應(yīng)用方面的意見(jiàn)供參考[2]。

——從傳統(tǒng)正態(tài)分布誤差擴(kuò)展至非正態(tài)分布誤差，尤其是非對(duì)稱分布誤差的分析與統(tǒng)計(jì)處理。實(shí)踐表明非正態(tài)誤差是客觀存在的，因而近年來(lái)廣泛開(kāi)展對(duì)非正態(tài)誤差各種概率分布形式描述、評(píng)定指標(biāo)、估算及合成等各方面探討，尤其對(duì)利用高階矩或累積量（cumulant）分析方法與概率分布的級(jí)數(shù)展開(kāi)法、統(tǒng)示法的研究。

——在傳統(tǒng)最小二乘法基礎(chǔ)上擴(kuò)展至各種最小距離準(zhǔn)則的處理方法。為適應(yīng)各種不同專業(yè)領(lǐng)域技術(shù)要求、不同數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性條件等，需要擴(kuò)展至其它最小范數(shù)或最小距離準(zhǔn)則下處理方法，如殘差絕對(duì)值和為最小的最小一乘法、殘差最大值為最小的最小∝乘法、以及其他的最小距離法等。還為了適應(yīng)各種不同應(yīng)用場(chǎng)合，而發(fā)展其處理方法，如采用正交變換、特征值或奇異值分解等算法、各種形式加權(quán)處理等，以及非線性模型處理方法等。

——從傳統(tǒng)的最佳統(tǒng)計(jì)處理擴(kuò)展至穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)(robust statistic)處理。因?yàn)閷?shí)際數(shù)據(jù)常難滿足獨(dú)立性、正態(tài)性、無(wú)異常外部干擾或稱“污染”等最佳性假定條件，而偏離這些條件，所采用的最佳估計(jì)或擬合方法將失去其最佳性，甚至?xí)?。而穩(wěn)健估計(jì)和擬合方法可在數(shù)據(jù)稍有偏離原假定的概率分布模式，及受少量粗大誤差或一些異常小誤差污染下，僅使其估計(jì)或擬合結(jié)果作較小改變，其他仍基本上保持原有最佳性而不致失效，故穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)已成為現(xiàn)代數(shù)據(jù)處理中頗具活力的分支[2,6]。

——從傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)處理方法擴(kuò)展至Bayes統(tǒng)計(jì)處理方法。不僅只依靠現(xiàn)有數(shù)據(jù)作統(tǒng)計(jì)處理，而是再充分利用已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、資料等先驗(yàn)信息，一起進(jìn)行Bayes統(tǒng)計(jì)處理，以得出更為準(zhǔn)確、可靠的結(jié)果，不確定度B類評(píng)定方法就考慮到應(yīng)用這一統(tǒng)計(jì)原理[2]。

——從概率統(tǒng)計(jì)分析方法擴(kuò)展到熵分析及熵優(yōu)化分析方法。依據(jù)熵可作為信息不確定的唯一性度量，熵最大就意味著最大不確定性，以及每種隨機(jī)變量概率分布都對(duì)應(yīng)著一個(gè)熵值(逆轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)并不成立)等原理，即可用誤差熵值反映其離散度，形成熵分析方法。又為避免求解具有多種可能解的各種不適定問(wèn)題，只依據(jù)所得的數(shù)據(jù)含有的全部信息，而不再作任何主觀假定，即在最不確定性即最大熵準(zhǔn)則下求出不適定問(wèn)題的解，簡(jiǎn)稱最大熵方法。進(jìn)而，在依據(jù)數(shù)據(jù)及所要求的約束條件上，又有已知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、資料等可靠先驗(yàn)信息可用時(shí)，為使兩種信息最大限度地相符合，即相互間的不確定性應(yīng)最小，而按最小互熵準(zhǔn)則來(lái)解題，簡(jiǎn)稱最小互熵方法。于是可統(tǒng)歸為熵分析與熵優(yōu)化方法，這種方法的特點(diǎn)在于可不涉及概率分布的主觀假定[2,7]。

——從靜態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)處理擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)處理?；陔S機(jī)變量統(tǒng)計(jì)方法靜態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)處理在變量動(dòng)態(tài)測(cè)量廣泛應(yīng)用下已不盡適用，需擴(kuò)展至基于隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)方法。尤其是長(zhǎng)過(guò)程測(cè)量，包括變量測(cè)量過(guò)程和常量重復(fù)測(cè)量過(guò)程(如在線測(cè)量或質(zhì)量控制中的長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)等)，為適應(yīng)其未知復(fù)雜變化規(guī)律，及跟蹤分析、處理和顯示其時(shí)變統(tǒng)計(jì)特性(即特性量、技術(shù)參數(shù)或評(píng)定指標(biāo)等)，出現(xiàn)了各種自適應(yīng)統(tǒng)計(jì)處理方法，包括各種遞推式算法(recursive algorithm)，以及近年來(lái)興起的著重于精確描述上的移動(dòng)式算法(moving algorithm)[2,8]。

還需特別指出，在計(jì)算機(jī)及其各種算法軟件廣泛應(yīng)用與普及后，為了分析和解決誤差分析及數(shù)據(jù)處理中的各種難題及開(kāi)發(fā)新技術(shù)，又?jǐn)U展應(yīng)用了非統(tǒng)計(jì)方法。如計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬或仿真分析方法；具有多分辨和變尺度的小波分析方法；模擬生物生存、進(jìn)化、遺傳等仿生分析方法；智能化分析方法等等。

總之，上述種種擴(kuò)展應(yīng)用均為GUM所未予涵蓋，又是當(dāng)前誤差理論及數(shù)據(jù)處理中一直不斷開(kāi)發(fā)應(yīng)用的技術(shù)。

可見(jiàn)，GUM實(shí)施實(shí)質(zhì)上是對(duì)測(cè)量誤差的一種(被測(cè)量值的分散性)定量表示起到規(guī)范化作用，今后對(duì)GUM 進(jìn)行修訂、補(bǔ)充、及拓展等顯然仍應(yīng)基于誤差理論。

[1] 劉智敏,劉增明譯.測(cè)量不確定度表示指南[J].BIPM-IECIFCC-ISO-IUPAC-IUPAP-OIML,《標(biāo)準(zhǔn)化文摘》增刊，1995,43.

[2] 林洪樺.測(cè)量誤差與不確定度評(píng)估[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2010.

[3] 林洪樺.再薦誤差的分布統(tǒng)示法[J].中國(guó)計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào)，2004,2：96-101.

[4] 林洪樺,潘鋒.重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù) β分布的自助法估計(jì)[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2004,11：947-951.

[5] 林洪樺,馬升.誤差分布及其合成分布判別的數(shù)值仿真分析[C],全國(guó)計(jì)量測(cè)試學(xué)術(shù)大會(huì)論文集,計(jì)量學(xué)報(bào)期刊社,1998.

[6] 林洪樺,席秀英.常量測(cè)試數(shù)據(jù)穩(wěn)健性自動(dòng)處理[J].全國(guó)現(xiàn)代誤差理論及應(yīng)用學(xué)術(shù)交流研討會(huì)論文集,宇航計(jì)測(cè)技術(shù),1997,增刊,48-54.

[7] 林洪樺,測(cè)量不確定度評(píng)定的熵方法[J].全國(guó)現(xiàn)代誤差理論及應(yīng)用學(xué)術(shù)交流研討會(huì)論文集,宇航計(jì)測(cè)技術(shù),1997,增刊，20-27.

[8] 林洪樺,動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)處理[M].北京理工大學(xué)出版社.1995.