宋立軍 嚴(yán) 冬 蓋永杰 王玉波

1)(長春大學(xué)理學(xué)院，長春 130022)

2)(長春理工大學(xué)理學(xué)院，長春 130022)

Dicke模型的量子經(jīng)典對(duì)應(yīng)關(guān)系*

宋立軍嚴(yán) 冬1)蓋永杰1)王玉波2)

1)(長春大學(xué)理學(xué)院，長春 130022)

2)(長春理工大學(xué)理學(xué)院，長春 130022)

(2010年3月22日收到;2010年5月3日收到修改稿)

非旋波近似條件下Dicke模型表現(xiàn)為量子混沌動(dòng)力學(xué)特征.在詳細(xì)考察Dicke模型經(jīng)典相空間結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，采用經(jīng)典-量子“一對(duì)多”的思想，即經(jīng)典相空間中的一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于量子體系兩個(gè)初始相干態(tài)的演化，利用對(duì)兩個(gè)初態(tài)量子糾纏動(dòng)力學(xué)演化取統(tǒng)計(jì)平均的方法，得到了與經(jīng)典相空間對(duì)應(yīng)非常好的量子相空間結(jié)構(gòu).數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明:經(jīng)典混沌有利地促進(jìn)系統(tǒng)兩體糾纏的產(chǎn)生，平均糾纏可以作為量子混沌的標(biāo)識(shí)，利用平均糾纏可以得到一種較好的量子動(dòng)力學(xué)與經(jīng)典相空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

Dicke模型，非旋波近似，量子混沌，經(jīng)典量子對(duì)應(yīng)

PACS:03.65.Ud，03.67.Hk，05.45.Mt，42.50.Dv

1.引 言

自然界中的混沌是普遍存在的，并且在許多科學(xué)領(lǐng)域都扮演了重要的角色［1，2］.在經(jīng)典物理學(xué)中，混沌可以由系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感性來刻畫.在量子力學(xué)中，根據(jù)玻爾的對(duì)應(yīng)原理，量子力學(xué)應(yīng)用到宏觀運(yùn)動(dòng)上所得到的結(jié)果應(yīng)該與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果一樣.因此，經(jīng)典力學(xué)中的混沌特征也必然要在其量子性質(zhì)上有所表現(xiàn).自從20世紀(jì)中期以來，人們?cè)谠S多非線性系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了量子混沌并逐漸認(rèn)識(shí)到其重要性.但是，由于不確定關(guān)系，在量子力學(xué)中并不能像經(jīng)典力學(xué)那樣對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)做確定性的相空間描述，所以，有關(guān)經(jīng)典混沌的量子標(biāo)識(shí)問題和量子經(jīng)典對(duì)應(yīng)關(guān)系的研究充滿了挑戰(zhàn)性.近年來，隨著量子信息科學(xué)的發(fā)展，人們開始嘗試?yán)靡恍┝孔有畔⒏拍顏砝斫饬孔踊煦绮⑷〉昧艘恍┴S碩的研究成果.例如量子關(guān)聯(lián)或糾纏［3—13］、保真度［14—16］和自旋壓縮［17—20］等，這些成果揭示了量子動(dòng)力學(xué)過程中混沌行為存在的本質(zhì)，特別是有關(guān)量子混沌中糾纏性質(zhì)成為人們的研究熱點(diǎn)之一.其根本原因在于糾纏是量子力學(xué)的核心和量子信息過程的一種重要資源，因此可以將糾纏作為量子混沌的一種標(biāo)識(shí)，從而為量子混沌研究提供一種有效方法.Furuya等［3］研究 N個(gè)原子的 Jaynes-Cummings模型時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)處于經(jīng)典混沌軌道，原子與光場之間線性熵的增長率比系統(tǒng)處在規(guī)則軌道時(shí)要大.在2009年的一期《Nature》雜志上，Chaudhury等［21］報(bào)道了實(shí)現(xiàn)有關(guān)量子混沌的一種實(shí)驗(yàn).他們?cè)诹孔邮軗敉勇菽Ｐ椭?，利用糾纏作為量子混沌的標(biāo)識(shí)，發(fā)現(xiàn)量子糾纏動(dòng)力學(xué)與經(jīng)典相空間結(jié)構(gòu)之間具有一種非常好的對(duì)應(yīng)關(guān)系.那么，對(duì)于描述光與物質(zhì)相互作用系統(tǒng)的 Dicke模型［22］，由于非旋波近似條件下也表現(xiàn)為量子混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，是否在經(jīng)典相空間結(jié)構(gòu)與量子動(dòng)力學(xué)之間也存在著這種較好的量子經(jīng)典對(duì)應(yīng)關(guān)系呢?本文在對(duì)非旋波近似條件下 Dicke模型經(jīng)典相空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)考察后，發(fā)現(xiàn)經(jīng)典相空間的任意一點(diǎn)與量子系統(tǒng)的兩個(gè)初始相干態(tài)相對(duì)應(yīng)，利用對(duì)兩個(gè)初態(tài)的糾纏動(dòng)力學(xué)演化取統(tǒng)計(jì)平均的方法，定義平均線性熵概念，得到了一種非常好的量子經(jīng)典對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而為腔場中量子混沌實(shí)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)提供一種新的思路.

2.Dicke模型

一般而言，Dicke模型是描述N個(gè)二能級(jí)原子與n模光場相互作用的典型理論模型.它在許多物理研究領(lǐng)域具有重要應(yīng)用，例如原子核物理、量子混沌以及量子耗散等.本文只考慮N個(gè)二能級(jí)原子(量子比特)和一個(gè)單模輻射場相互作用情況，通過改變耦合系數(shù)來實(shí)現(xiàn)旋波近似和非旋波近似.忽略原子(量子比特)之間的相互作用，將原子系統(tǒng)作為一個(gè)大的自旋系統(tǒng)(N=2j)來處理.這時(shí)Dicke模型的哈密頓量可以寫成下列形式［4］:

式中ω和ω0分別是N個(gè)二能級(jí)原子的躍遷頻率和單模光場的頻率;λ是原子與場相互作用過程中的耦合系數(shù);a，a是光場的湮滅和產(chǎn)生算符;Jz，J±是與原子的可觀測量有關(guān)的贗自旋算符，它們滿足SU (2)李代數(shù)

利用哈密頓量(1)式可以研究系統(tǒng)的糾纏動(dòng)力學(xué)性質(zhì).但一個(gè)首要問題是如何選擇初始的量子態(tài).這里，我們?yōu)榱丝疾霥icke模型經(jīng)典相空間結(jié)構(gòu)與量子糾纏動(dòng)力學(xué)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以通過選擇相干態(tài)作為初態(tài)來實(shí)現(xiàn)，即最小不確定波包中心集中在對(duì)應(yīng)的經(jīng)典相空間中.初始量子態(tài)選擇如下:

其中

為了得到與(1)式相對(duì)應(yīng)的經(jīng)典哈密頓量，從而更直觀地研究混沌動(dòng)力學(xué)過程，利用 Holstein-Primakoff變換將Dicke模型的量子哈密頓量轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的經(jīng)典哈密頓量［23］

上式對(duì)應(yīng)的哈密頓運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

3.經(jīng)典相空間結(jié)構(gòu)

根據(jù)經(jīng)典動(dòng)力學(xué)方程(9)，通過數(shù)值模擬計(jì)算，得到經(jīng)典相空間的龐加萊截面圖.以往絕大多數(shù)研究工作都將四維相空間龐加萊截面降維到二維平面［5］，即只取(p1，q1，p2，q2)四個(gè)量中 q2=0，p2>0情形的龐加萊截面圖進(jìn)行研究［2—4］.本文的目的是考察Dicke模型中經(jīng)典相空間結(jié)構(gòu)與量子糾纏動(dòng)力學(xué)性質(zhì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以首先將四維相空間龐加萊截面降維到三維空間，即只取q2=0情形，得到系統(tǒng)整體三維龐加萊截面如圖1所示.三維龐加萊截面圖顯示包含有兩個(gè)子龐加萊截面圖，他們的空間結(jié)構(gòu)具有以下明顯特點(diǎn):1)每個(gè)子截面圖都有兩個(gè)較大的規(guī)則區(qū)和一些小的規(guī)則區(qū)域，這些區(qū)域具有周期性軌道的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，區(qū)域的中心一般為不動(dòng)點(diǎn)，規(guī)則區(qū)域外為混沌區(qū)域，運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的;2)兩個(gè)子截面圖分別代表 Dicke模型p2>0和 p2<0情形的經(jīng)典相空間，而且它們以 p2=0為軸具有反對(duì)稱性;3)每個(gè)子截面圖都是以q1=0為軸對(duì)稱的.以上這些特點(diǎn)對(duì)于分析系統(tǒng)整體量子糾纏動(dòng)力學(xué)與經(jīng)典相空間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是至關(guān)重要的.

圖1 經(jīng)典相空間的三維龐加萊截面圖 (參數(shù)分別為 ω=ω0=1，E=8.5

在圖1中我們可以清楚地看到，對(duì)于每個(gè)子截面圖而言，在上面任取一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于一組確定的(p1，q1，p2)值，但是如果考察Dicke模型整個(gè)體系的相空間結(jié)構(gòu)，需要將兩個(gè)子截面圖作為一個(gè)整體進(jìn)行分析.這時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，在圖1中(p1，q1)平面內(nèi)任取一點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)于每個(gè)子截面上的一點(diǎn).例如取(p1，q1)平面內(nèi)一點(diǎn)M，則分別對(duì)應(yīng)于兩個(gè)子截面圖上的M1和M2兩個(gè)點(diǎn)，即確定一個(gè)(p1，q1)值后，p2應(yīng)該分別取p2>0和p2<0兩個(gè)值.所以，在量子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化過程中，(6)式中經(jīng)典相空間(p1，q1)取某個(gè)確定值μ后，則一定要對(duì)應(yīng)(7)式ν(p2>0)和ν(p2<0)兩個(gè)值，將它們分別代入(3)—(5)式得到量子體系動(dòng)力學(xué)演化的兩個(gè)初態(tài).以上分析說明，考察Dicke模型中經(jīng)典混沌對(duì)量子體系的影響，取每個(gè)子龐加萊截面圖經(jīng)典相空間上的一點(diǎn)作為初始條件，必須對(duì)應(yīng)兩個(gè)初始相干態(tài)的量子動(dòng)力學(xué)演化，這樣才能完整地描述整個(gè)物理系統(tǒng)的量子力學(xué)性質(zhì).這種“一對(duì)多”現(xiàn)象經(jīng)常出現(xiàn)在經(jīng)典物理與量子力學(xué)之間.例如，如果兩個(gè)經(jīng)典力學(xué)量之間滿足對(duì)易關(guān)系，則一個(gè)經(jīng)典哈密頓量可以對(duì)應(yīng)兩個(gè)量子哈密頓量.

4.平均糾纏動(dòng)力學(xué)

在詳細(xì)分析Dicke模型經(jīng)典相空間的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)后，下面我們利用約化密度線性熵來考察系統(tǒng)的糾纏動(dòng)力學(xué)演化性質(zhì)，嘗試找到一種好的量子經(jīng)典對(duì)應(yīng)關(guān)系.

糾纏線性熵定義如下［18］:

這里，Tr1表示對(duì)第一個(gè)子系統(tǒng)取跡，ρ1(t)=是約化密度矩陣，其中下角標(biāo)1和2分別表示原子和輻射場子系統(tǒng)，ψ(t)是整個(gè)系統(tǒng)的量子態(tài).

為討論問題的方便，我們將圖1中的三維龐加萊截面圖重新降維為二維平面圖，如圖2所示.其中，圖2(a)代表p2>0子龐加萊截面圖，圖2(b)代表p2<0子龐加萊截面圖.在圖2(a)中分別取p1= 2.2，p1=0，p1=-3.2三條直線穿過經(jīng)典相空間兩個(gè)較大的規(guī)則區(qū)域和混沌海區(qū)域.由于每個(gè)子龐加萊截面圖是關(guān)于q1=0左右對(duì)稱的，分別在三條直線上q1=0左右兩邊對(duì)稱取兩點(diǎn)q1=-1.0和q1= 1.0考察糾纏動(dòng)力學(xué)的演化規(guī)律.數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果見圖3.

圖2 經(jīng)典相空間的二維龐加萊截面圖 (a)p>0情形，(b)p<0情形(參數(shù)分別為ω=ω=1，E=8.5，λ220=0.32)

圖3 經(jīng)典相空間對(duì)稱點(diǎn)糾纏動(dòng)力學(xué)演化曲線 (a)實(shí)線代表初始點(diǎn)為(p1=2.2，q1=1.0)，虛線代表初始點(diǎn)為(p1=2.2，q1=-1.0);(b)實(shí)線代表初始點(diǎn)為(p1=0，q1=1.0)，虛線代表初始點(diǎn)為(p1=0，q1=-1.0);(c)實(shí)線代表初始點(diǎn)為(p1=-3.2，q1=1.0)，虛線代表初始點(diǎn)為(p1=-3.2，q1=-1.0) (其他參數(shù)同圖1)

由圖3可以明顯發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)典相空間無論規(guī)則區(qū)域和混沌區(qū)域，取對(duì)稱兩點(diǎn)作為量子動(dòng)力學(xué)演化的初態(tài)，線性熵的變化曲線都是不相同的，存在著一定的差異，說明量子相空間糾纏動(dòng)力學(xué)不具有對(duì)稱性.造成這一差異的主要原因就是前面對(duì)經(jīng)典相空間結(jié)構(gòu)分析中所指出的，動(dòng)力學(xué)演化過程中初態(tài)選擇具有經(jīng)典量子“一對(duì)多”的特點(diǎn).為了解決這個(gè)問題，得到較好的量子動(dòng)力學(xué)與經(jīng)典相空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，下面我們定義平均線性熵來描述量子糾纏動(dòng)力學(xué)的演化特點(diǎn).平均線性熵定義如下:

其中，δ(p2>0)和δ(p2<0)分別表示體系任取一組(p1，q1)初始值，對(duì)應(yīng)每個(gè)子龐加萊截面圖上一個(gè)初始值作為初態(tài)的線性熵.利用這種方法，我們以圖2(a)所示的子龐加萊截面圖為例，重新考察 p1分別取2.2，0和 -3.2時(shí)，糾纏動(dòng)力學(xué)演化關(guān)于 q1=0的對(duì)稱性，數(shù)值模擬計(jì)算平均線性熵δm(t)隨q1的變化曲線如圖4所示.

圖4 對(duì)應(yīng)子龐加萊截面圖2(a)平均線性熵δm(t)隨q1變化曲線 (a)p1=2.2，(b)p1=0，(c)p1=-3.2(其他參數(shù)同圖1)

由圖4可以發(fā)現(xiàn)，在三個(gè)不同的區(qū)域，平均線性熵δm(t)關(guān)于q1=0都具有非常好的對(duì)稱性(這里應(yīng)該注意，圖4(a)—(c)三個(gè)子圖的橫坐標(biāo)是不同的).在圖4(a)中，我們發(fā)現(xiàn)在q1=0處存在一個(gè)δm(t)極小值，正好對(duì)應(yīng)經(jīng)典子龐加萊截面圖2(a)中較大的規(guī)則區(qū)域，而極小值兩側(cè)的曲線逐漸增大，較好地刻畫了規(guī)則區(qū)域經(jīng)周期性軌道過渡到混沌區(qū)域的變化;圖2(a)中p1=0這條直線是貫穿于混沌區(qū)域的，所以δm(t)值應(yīng)該較大，在圖4(b)給出的曲線值較大且形狀非常平緩，很好地反映了經(jīng)典相空間的結(jié)構(gòu);當(dāng)p1=-3.2時(shí)，該直線貫穿于另一個(gè)較大的規(guī)則區(qū)域，而圖4(c)中的δm(t)曲線在中間剛好出現(xiàn)一段平緩部分，對(duì)應(yīng)于圖2(a)中的規(guī)則區(qū)域.通過以上分析，我們發(fā)現(xiàn)在系統(tǒng)經(jīng)典相空間與量子糾纏動(dòng)力學(xué)演化之間存在一種非常好的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用平均線性熵可以有效地標(biāo)識(shí)量子混沌，而且經(jīng)典混沌是促進(jìn)系統(tǒng)原子與光場之間糾纏產(chǎn)生的，這一結(jié)論與文獻(xiàn)［2］是一致的.

圖5 取經(jīng)典相空間上所有點(diǎn)為初態(tài)時(shí)，δm(t)隨時(shí)間演化灰度圖 (a)p2>0情況，(b)p2<0情況(截?cái)鄷r(shí)間為t =30)

為了考察Dicke模型中糾纏動(dòng)力學(xué)的整體演化情況，這里將每個(gè)子龐加萊截面圖(圖2)上的全體點(diǎn)作為初態(tài)進(jìn)行演化，結(jié)果也驗(yàn)證了上面的結(jié)論.如圖5所示，時(shí)間截?cái)酁閠=30，其中灰度圖的值為δm(t)值.可以發(fā)現(xiàn)，量子相空間的δm(t)分布結(jié)構(gòu)與經(jīng)典相空間(圖2)結(jié)構(gòu)相比較非常相似，兩個(gè)較大的規(guī)則區(qū)域明顯，特別是經(jīng)典相空間的一些小規(guī)則區(qū)域也得到了非常好的刻畫，這種相似的分布結(jié)構(gòu)說明系統(tǒng)經(jīng)典動(dòng)力學(xué)與量子力學(xué)糾纏動(dòng)力學(xué)之間存在緊密聯(lián)系，二者具有較好的對(duì)應(yīng)關(guān)系.特別是，在經(jīng)典相空間中除了兩個(gè)大的規(guī)則區(qū)域外，在其他一些混沌區(qū)域我們很難判斷系統(tǒng)混沌發(fā)生的強(qiáng)弱程度.但是δm(t)灰度圖可以十分清楚地給出空間不同區(qū)域混沌的強(qiáng)弱程度及規(guī)則區(qū)域到混沌區(qū)域的過渡效應(yīng)，從而更好地揭示相空間結(jié)構(gòu).

5.結(jié) 論

本文研究了非旋波近似條件下Dicke模型的糾纏動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，在詳細(xì)分析系統(tǒng)經(jīng)典相空間結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)在經(jīng)典龐加萊截面圖上任取一點(diǎn)作為體系量子糾纏動(dòng)力學(xué)演化的初態(tài)時(shí)，存在經(jīng)典-量子“一對(duì)多”現(xiàn)象.我們利用統(tǒng)計(jì)平均的方法，通過定義平均線性熵，研究 Dicke模型經(jīng)典相空間與量子動(dòng)力學(xué)演化之間的關(guān)系，結(jié)果得到一種較好的量子-經(jīng)典對(duì)應(yīng)關(guān)系.此外，通過考察體系的整體糾纏動(dòng)力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)可以更好地揭示相空間的混沌和規(guī)則結(jié)構(gòu).希望本文工作對(duì)推動(dòng)腔場中量子混沌的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)有所裨益.

感謝浙江大學(xué)王曉光教授對(duì)本文的有益指導(dǎo).

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Relations of classical-quantum correspondence in Dicke model*

Song Li-JunYan Dong1)Gai Yong-Jie1)Wang Yu-Bo2)
1)(School of Science，Changchun University，Changchun 130022，China)
2)(School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022，China)

22 March 2010;revised manuscript

3 May 2010)

Dicke model displays quantum chaotic dynamic properties in the non-rotating wave approximation.On the basis of properties of the classical phase space of Dicke model，we employ the one-to-many notion，namely，evolution from one point on the classical phase space to two initial coherent states.Then we obtain a good quantum phase space，which corresponds to the classical one，by using the method of averaging the statistical entangled values of two initial states in the evolution.The numerical computation shows that classical chaos can promote the origination of bipartite entanglement，and simultaneously，the average entanglement can be regarded as the signature of quantum chaos.A good classica-quantum correspondence can be obtained by using the average entanglement.

Dicke model，non rotating wave approximation，quantum chaos，classical-quantum correspondence

*國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):10947019)、吉林省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):20101514)和吉林省教育廳科技研究基金(批準(zhǔn)號(hào):2009237)資助的課題.

PACS:03.65.Ud，03.67.Hk，05.45.Mt，42.50.Dv

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10947019)，the Natural Science Foundation of Jilin Province of China(Grant No.20101514)and the Science and Technology Research Program of the Education Bureau of Jilin Province，China(Grant No. 2009237).